Номер 5.16, страница 42 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 5. Логарифмическая функция и её свойства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 5.16, страница 42.

графиков.

5.16. Постройте на одной координатной плоскости графики функций $y = \log_3 x$ и $y = \log_{\frac{1}{3}} x$. Каково взаимное расположение построенных графиков?

Построение графиков функций $y = \log_3 x$ и $y = \log_{1/3} x$

Область определения обеих логарифмических функций: $x > 0$. Следовательно, графики обеих функций расположены в правой полуплоскости (справа от оси $Oy$). Ось $Oy$ (прямая $x=0$) является вертикальной асимптотой для обоих графиков.

1. Для функции $y = \log_3 x$. Так как основание логарифма $a = 3 > 1$, функция является возрастающей. Для построения графика найдем координаты нескольких точек:
- если $x = 1/3$, то $y = \log_3(1/3) = -1$;
- если $x = 1$, то $y = \log_3(1) = 0$;
- если $x = 3$, то $y = \log_3(3) = 1$;
- если $x = 9$, то $y = \log_3(9) = 2$.
График функции $y = \log_3 x$ проходит через точки $(1/3, -1)$, $(1, 0)$, $(3, 1)$, $(9, 2)$.

2. Для функции $y = \log_{1/3} x$. Так как основание логарифма $a = 1/3$ и $0 < 1/3 < 1$, функция является убывающей. Найдем координаты нескольких точек:
- если $x = 1/3$, то $y = \log_{1/3}(1/3) = 1$;
- если $x = 1$, то $y = \log_{1/3}(1) = 0$;
- если $x = 3$, то $y = \log_{1/3}(3) = -1$;
- если $x = 9$, то $y = \log_{1/3}(9) = -2$.
График функции $y = \log_{1/3} x$ проходит через точки $(1/3, 1)$, $(1, 0)$, $(3, -1)$, $(9, -2)$.

Взаимное расположение построенных графиков

Чтобы определить взаимное расположение графиков, проанализируем связь между функциями. Преобразуем функцию $y = \log_{1/3} x$, используя свойство логарифма $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$.

Представим основание $1/3$ в виде степени числа $3$: $1/3 = 3^{-1}$. Тогда:

$y = \log_{1/3} x = \log_{3^{-1}} x$

Применяя указанное свойство, получаем:

$\log_{3^{-1}} x = \frac{1}{-1} \log_3 x = -\log_3 x$

Таким образом, мы показали, что функция $y = \log_{1/3} x$ эквивалентна функции $y = -\log_3 x$.

Это означает, что для любого допустимого значения $x$, ордината (значение $y$) графика функции $y = \log_{1/3} x$ равна ординате графика функции $y = \log_3 x$, взятой с противоположным знаком. Если точка $(x_0, y_0)$ принадлежит графику $y = \log_3 x$, то точка $(x_0, -y_0)$ принадлежит графику $y = \log_{1/3} x$.

Геометрически такое преобразование является симметрией (зеркальным отражением) относительно оси абсцисс ($Ox$). Оба графика пересекаются в общей точке $(1, 0)$, так как логарифм единицы по любому основанию равен нулю.

Ответ: Графики функций $y = \log_3 x$ и $y = \log_{1/3} x$ симметричны друг другу относительно оси абсцисс ($Ox$).