Номер 5.28, страница 43 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 5. Логарифмическая функция и её свойства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 5.28, страница 43.

5.28. Решите графически уравнение:

1) $log_{1/2} x = x + \frac{1}{2};$

2) $log_3 x = 4 - x.$

Чтобы решить уравнение графически, необходимо построить в одной системе координат графики функций, соответствующих левой и правой частям уравнения. Абсцисса точки (или точек) пересечения этих графиков и будет являться решением уравнения.

1) $\log_{\frac{1}{2}} x = x + \frac{1}{2}$

Построим в одной системе координат графики двух функций: $y_1 = \log_{\frac{1}{2}} x$ и $y_2 = x + \frac{1}{2}$.

Функция $y_1 = \log_{\frac{1}{2}} x$ — это логарифмическая функция. Область её определения — $x > 0$. Так как основание логарифма $\frac{1}{2} < 1$, функция является убывающей. Построим её по точкам:

• При $x = \frac{1}{4}$, $y = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{4} = 2$.
• При $x = \frac{1}{2}$, $y = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} = 1$.
• При $x = 1$, $y = \log_{\frac{1}{2}} 1 = 0$.
• При $x = 2$, $y = \log_{\frac{1}{2}} 2 = -1$.

Функция $y_2 = x + \frac{1}{2}$ — это линейная функция, её график — прямая. Она является возрастающей. Построим её по двум точкам:

• При $x = -\frac{1}{2}$, $y = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0$.
• При $x = \frac{1}{2}$, $y = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.

Построив графики, мы видим, что они пересекаются в одной точке. Абсцисса этой точки — $x = \frac{1}{2}$. Выполним проверку, подставив найденное значение в исходное уравнение:

$\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

$1 = 1$

Равенство верное, значит, корень найден правильно. Так как одна функция является строго убывающей, а другая — строго возрастающей, они могут пересечься не более чем в одной точке. Следовательно, это единственное решение.

Ответ: $x = \frac{1}{2}$

2) $\log_3 x = 4 - x$

Построим в одной системе координат графики двух функций: $y_1 = \log_3 x$ и $y_2 = 4 - x$.

Функция $y_1 = \log_3 x$ — это логарифмическая функция. Область её определения — $x > 0$. Так как основание логарифма $3 > 1$, функция является возрастающей. Построим её по точкам:

• При $x = 1$, $y = \log_3 1 = 0$.
• При $x = 3$, $y = \log_3 3 = 1$.
• При $x = 9$, $y = \log_3 9 = 2$.

Функция $y_2 = 4 - x$ — это линейная функция, её график — прямая. Она является убывающей. Построим её по двум точкам:

• При $x = 0$, $y = 4 - 0 = 4$.
• При $x = 4$, $y = 4 - 4 = 0$.

Построив графики, мы видим, что они пересекаются в одной точке с абсциссой $x = 3$. Сделаем проверку:

$\log_3 3 = 4 - 3$

$1 = 1$

Равенство верное. Так как функция $y_1 = \log_3 x$ строго возрастает, а функция $y_2 = 4 - x$ строго убывает, то у уравнения может быть не более одного корня. Следовательно, найденное решение является единственным.

Ответ: $x = 3$