Номер 5.34, страница 44 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 5. Логарифмическая функция и её свойства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 5.34, страница 44.

5.34. Найдите область определения функции:

1) $y = \frac{1}{\lg(x^2 + 1)};$

2) $y = \lg(1 + \sin x);$

3) $y = \sqrt{\lg(1 + x^2)};$

4) $y = \sqrt{\lg \sin x};$

5) $y = \lg(x + 8) - \frac{5}{\lg(-x - 1)};$

6) $y = \lg(10x - x^2) - \frac{1}{\lg(8 - x)};$

7) $y = \frac{x}{\lg(4 - x^2)};$

8) $y = \lg(9x - x^2) - \frac{1}{\lg(5 - x)};$

9) $y = \log_{2-x}(8 + 7x - x^2);$

10) $y = \sqrt{\frac{(x + 5)(2 - x)}{\lg(x^2 + 1)}}.$

1) Область определения функции $y = \frac{1}{\lg(x^2 + 1)}$ находится из следующих условий:

1. Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: $x^2 + 1 > 0$.

2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $\lg(x^2 + 1) \neq 0$.

Рассмотрим первое условие: $x^2 + 1 > 0$. Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $x^2 + 1 \ge 1$. Следовательно, это условие выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$.

Рассмотрим второе условие: $\lg(x^2 + 1) \neq 0$. Это эквивалентно тому, что $x^2 + 1 \neq 10^0$, то есть $x^2 + 1 \neq 1$. Отсюда получаем $x^2 \neq 0$, что означает $x \neq 0$.

Объединяя условия, получаем, что область определения функции — это все действительные числа, кроме нуля.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

2) Область определения функции $y = \lg(1 + \sin x)$ находится из условия, что аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$1 + \sin x > 0$

$\sin x > -1$

Мы знаем, что значение функции синуса лежит в диапазоне $[-1, 1]$. Неравенство $\sin x > -1$ выполняется для всех значений $x$, кроме тех, для которых $\sin x = -1$.

Уравнение $\sin x = -1$ имеет решения $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, кроме $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$.

Ответ: $x \neq -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

3) Область определения функции $y = \sqrt{\lg(1 + x^2)}$ находится из следующих условий:

1. По-первых, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $\lg(1 + x^2) \ge 0$.

2. Во-вторых, аргумент логарифма должен быть строго положительным: $1 + x^2 > 0$.

Рассмотрим второе условие: $1 + x^2 > 0$. Поскольку $x^2 \ge 0$ для всех $x$, то $1+x^2 \ge 1$. Условие выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$.

Рассмотрим первое условие: $\lg(1 + x^2) \ge 0$. Это неравенство эквивалентно $1 + x^2 \ge 10^0$, то есть $1 + x^2 \ge 1$.

$x^2 \ge 0$

Это неравенство также выполняется для любого действительного числа $x$.

Так как оба условия выполняются для всех $x \in \mathbb{R}$, область определения функции — все действительные числа.

Ответ: $x \in (-\infty, +\infty)$.

4) Область определения функции $y = \sqrt{\lg \sin x}$ находится из системы неравенств:

$\begin{cases} \lg \sin x \ge 0 \\ \sin x > 0 \end{cases}$

Из первого неравенства $\lg \sin x \ge 0$ следует, что $\sin x \ge 10^0$, то есть $\sin x \ge 1$.

Из второго неравенства имеем $\sin x > 0$.

Объединяя условие $\sin x \ge 1$ с известным свойством функции синуса $(\sin x \le 1)$, получаем единственное возможное значение: $\sin x = 1$.

Значение $\sin x = 1$ удовлетворяет и второму условию системы ($\sin x > 0$).

Находим все $x$, для которых $\sin x = 1$. Это происходит при $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

5) Функция $y = \lg(x + 8) - \frac{5}{\lg(-x - 1)}$ определена, если выполнены следующие условия:

1. Аргумент первого логарифма положителен: $x + 8 > 0 \Rightarrow x > -8$.

2. Аргумент второго логарифма положителен: $-x - 1 > 0 \Rightarrow -x > 1 \Rightarrow x < -1$.

3. Знаменатель не равен нулю: $\lg(-x - 1) \neq 0 \Rightarrow -x - 1 \neq 1 \Rightarrow -x \neq 2 \Rightarrow x \neq -2$.

Объединяем все условия в систему:

$\begin{cases} x > -8 \\ x < -1 \\ x \neq -2 \end{cases}$

Пересечение интервалов $x > -8$ и $x < -1$ дает интервал $(-8, -1)$. Из этого интервала необходимо исключить точку $x = -2$.

Таким образом, получаем объединение двух интервалов.

Ответ: $x \in (-8, -2) \cup (-2, -1)$.

6) Область определения функции $y = \lg(10x - x^2) - \frac{1}{\lg(8 - x)}$ задается системой условий:

1. $10x - x^2 > 0 \Rightarrow x(10 - x) > 0$. Решая методом интервалов, получаем $x \in (0, 10)$.

2. $8 - x > 0 \Rightarrow x < 8$.

3. $\lg(8 - x) \neq 0 \Rightarrow 8 - x \neq 1 \Rightarrow x \neq 7$.

Найдем пересечение всех условий: $x \in (0, 10)$, $x < 8$ и $x \neq 7$.

Пересечение $(0, 10)$ и $(-\infty, 8)$ дает интервал $(0, 8)$. Из этого интервала нужно исключить точку $x = 7$.

Ответ: $x \in (0, 7) \cup (7, 8)$.

7) Область определения функции $y = \frac{x}{\lg(4 - x^2)}$ находится из условий:

1. Аргумент логарифма положителен: $4 - x^2 > 0 \Rightarrow x^2 < 4 \Rightarrow -2 < x < 2$.

2. Знаменатель не равен нулю: $\lg(4 - x^2) \neq 0 \Rightarrow 4 - x^2 \neq 1 \Rightarrow x^2 \neq 3 \Rightarrow x \neq \sqrt{3}$ и $x \neq -\sqrt{3}$.

Совмещая условия, получаем, что из интервала $(-2, 2)$ нужно исключить точки $\sqrt{3}$ и $-\sqrt{3}$.

Ответ: $x \in (-2, -\sqrt{3}) \cup (-\sqrt{3}, \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, 2)$.

8) Область определения функции $y = \lg(9x - x^2) - \frac{1}{\lg(5 - x)}$ находится из системы условий:

1. $9x - x^2 > 0 \Rightarrow x(9 - x) > 0$. Решая методом интервалов, получаем $x \in (0, 9)$.

2. $5 - x > 0 \Rightarrow x < 5$.

3. $\lg(5 - x) \neq 0 \Rightarrow 5 - x \neq 1 \Rightarrow x \neq 4$.

Найдем пересечение всех условий: $x \in (0, 9)$, $x < 5$ и $x \neq 4$.

Пересечение $(0, 9)$ и $(-\infty, 5)$ дает интервал $(0, 5)$. Из него исключаем точку $x=4$.

Ответ: $x \in (0, 4) \cup (4, 5)$.

9) Область определения функции $y = \log_{2-x}(8 + 7x - x^2)$ задается следующими условиями для логарифма с переменным основанием:

1. Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $8 + 7x - x^2 > 0$. Умножим на -1: $x^2 - 7x - 8 < 0$. Корни уравнения $x^2 - 7x - 8 = 0$ это $x_1 = -1, x_2 = 8$. Неравенство $(x+1)(x-8) < 0$ выполняется при $x \in (-1, 8)$.

2. Основание логарифма должно быть строго положительным: $2 - x > 0 \Rightarrow x < 2$.

3. Основание логарифма не должно быть равно единице: $2 - x \neq 1 \Rightarrow x \neq 1$.

Найдем пересечение полученных условий: $x \in (-1, 8)$, $x < 2$ и $x \neq 1$.

Пересечение интервала $(-1, 8)$ и луча $(-\infty, 2)$ дает интервал $(-1, 2)$. Из него нужно исключить точку $x=1$.

Ответ: $x \in (-1, 1) \cup (1, 2)$.

10) Область определения функции $y = \sqrt{\frac{(x + 5)(2 - x)}{\lg(x^2 + 1)}}$ находится из следующих условий:

1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $\frac{(x + 5)(2 - x)}{\lg(x^2 + 1)} \ge 0$.

2. Знаменатель не должен быть равен нулю: $\lg(x^2 + 1) \neq 0 \Rightarrow x^2 + 1 \neq 1 \Rightarrow x^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 0$.

3. Аргумент логарифма должен быть положителен: $x^2+1 > 0$. Это верно для всех $x \in \mathbb{R}$.

Рассмотрим знак знаменателя $\lg(x^2 + 1)$. При $x \neq 0$, имеем $x^2 > 0$, следовательно $x^2 + 1 > 1$. Тогда $\lg(x^2+1) > \lg(1) = 0$. Значит, знаменатель всегда положителен при $x \neq 0$.

Так как знаменатель дроби положителен, знак всей дроби совпадает со знаком числителя. Таким образом, неравенство сводится к следующему:

$(x + 5)(2 - x) \ge 0$.

Решая это неравенство методом интервалов, находим, что оно выполняется при $x \in [-5, 2]$.

Теперь необходимо учесть условие $x \neq 0$. Исключаем точку 0 из отрезка $[-5, 2]$.

Ответ: $x \in [-5, 0) \cup (0, 2]$.