Номер 5.30, страница 43 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 5. Логарифмическая функция и её свойства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 5.30, страница 43.

5.30. Сколько корней имеет уравнение:

1) $\left(\frac{1}{2}\right)^x = \log_2 x;$

2) $\log_2 x = \frac{1}{x}?$

1) Рассмотрим уравнение $(\frac{1}{2})^x = \log_2 x$.

Для того чтобы определить количество корней этого уравнения, воспользуемся графическим методом. Проанализируем функции, стоящие в левой и правой частях уравнения: $y_1(x) = (\frac{1}{2})^x$ и $y_2(x) = \log_2 x$. Количество корней уравнения будет соответствовать количеству точек пересечения графиков этих функций.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Функция $y_1(x)$ определена для всех действительных $x$. Функция $y_2(x)$ определена для $x > 0$. Следовательно, ОДЗ всего уравнения: $x > 0$.

Теперь исследуем поведение каждой функции на интервале $(0, +\infty)$:

Функция $y_1(x) = (\frac{1}{2})^x$ является показательной функцией с основанием $a = \frac{1}{2}$. Так как $0 < a < 1$, эта функция является строго убывающей на всей своей области определения, включая интервал $(0, +\infty)$.

Функция $y_2(x) = \log_2 x$ является логарифмической функцией с основанием $a = 2$. Так как $a > 1$, эта функция является строго возрастающей на всей своей области определения $(0, +\infty)$.

Поскольку одна функция строго убывает, а другая строго возрастает на их общей области определения, их графики могут пересечься не более одного раза. Таким образом, уравнение может иметь не более одного корня.

Чтобы доказать, что корень действительно существует, проверим, пересекаются ли графики. Для этого рассмотрим вспомогательную функцию $f(x) = (\frac{1}{2})^x - \log_2 x$. Эта функция непрерывна на $(0, +\infty)$. Найдем значения функции в двух точках:
При $x=1$: $f(1) = (\frac{1}{2})^1 - \log_2 1 = 0.5 - 0 = 0.5 > 0$.
При $x=2$: $f(2) = (\frac{1}{2})^2 - \log_2 2 = 0.25 - 1 = -0.75 < 0$.

Так как функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[1, 2]$ и на его концах принимает значения разных знаков ($f(1) > 0$ и $f(2) < 0$), то по теореме о промежуточных значениях существует хотя бы одна точка $c$ на интервале $(1, 2)$, в которой $f(c) = 0$. Это означает, что уравнение имеет по крайней мере один корень.

Из того, что уравнение имеет не более одного корня и хотя бы один корень, следует, что оно имеет ровно один корень.

Ответ: 1 корень.

2) Рассмотрим уравнение $\log_2 x = \frac{1}{x}$.

Как и в предыдущем случае, исследуем функции в левой и правой частях: $y_1(x) = \log_2 x$ и $y_2(x) = \frac{1}{x}$. Количество корней уравнения равно числу точек пересечения их графиков.

ОДЗ уравнения определяется условием $x > 0$ для логарифма и $x \neq 0$ для дроби. Таким образом, ОДЗ: $x > 0$.

Проанализируем монотонность функций на интервале $(0, +\infty)$:

Функция $y_1(x) = \log_2 x$ является строго возрастающей, так как основание логарифма $2 > 1$.

Функция $y_2(x) = \frac{1}{x}$ является строго убывающей на интервале $(0, +\infty)$ (это ветвь гиперболы в первом квадранте).

Графики строго возрастающей и строго убывающей функций могут пересечься не более чем в одной точке. Следовательно, уравнение имеет не более одного корня.

Для доказательства существования корня рассмотрим функцию $f(x) = \log_2 x - \frac{1}{x}$. Функция непрерывна на $(0, +\infty)$. Найдем значения $f(x)$ в двух точках, чтобы проверить, меняется ли ее знак:
При $x=1$: $f(1) = \log_2 1 - \frac{1}{1} = 0 - 1 = -1 < 0$.
При $x=2$: $f(2) = \log_2 2 - \frac{1}{2} = 1 - 0.5 = 0.5 > 0$.

Поскольку функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[1, 2]$ и на его концах принимает значения разных знаков ($f(1) < 0$ и $f(2) > 0$), то по теореме о промежуточных значениях на интервале $(1, 2)$ существует по крайней мере один корень уравнения $f(x)=0$.

Сопоставляя выводы о том, что корень не более чем один, и что он как минимум один, заключаем, что уравнение имеет ровно один корень.

Ответ: 1 корень.