Номер 5.32, страница 43 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 5. Логарифмическая функция и её свойства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 5.32, страница 43.

5.32. Докажите, что $\log_{\frac{1}{3}} 4 + \log_4 \frac{1}{3} < -2.$

Для доказательства данного неравенства преобразуем его левую часть, используя свойства логарифмов.

Сначала преобразуем первое слагаемое, $ \log_{\frac{1}{3}} 4 $. Основание логарифма можно представить как $ \frac{1}{3} = 3^{-1} $. Используя свойство логарифма $ \log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b $, получаем: $ \log_{\frac{1}{3}} 4 = \log_{3^{-1}} 4 = \frac{1}{-1} \log_3 4 = -\log_3 4 $.

Теперь преобразуем второе слагаемое, $ \log_4 \frac{1}{3} $. Используя свойство логарифма $ \log_a \frac{1}{b} = -\log_a b $, получаем: $ \log_4 \frac{1}{3} = -\log_4 3 $.

Подставив преобразованные выражения в левую часть исходного неравенства, мы получим: $ \log_{\frac{1}{3}} 4 + \log_4 \frac{1}{3} = (-\log_3 4) + (-\log_4 3) = -(\log_3 4 + \log_4 3) $.

Таким образом, исходное неравенство $ \log_{\frac{1}{3}} 4 + \log_4 \frac{1}{3} < -2 $ эквивалентно неравенству: $ -(\log_3 4 + \log_4 3) < -2 $.

Умножим обе части этого неравенства на $-1$. При этом знак неравенства меняется на противоположный: $ \log_3 4 + \log_4 3 > 2 $.

Для доказательства последнего неравенства воспользуемся неравенством о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши) для двух положительных чисел $x$ и $y$: $ x+y \ge 2\sqrt{xy} $. Равенство достигается только при $ x=y $.

Пусть $ x = \log_3 4 $ и $ y = \log_4 3 $. Оба числа являются положительными. Применим к ним неравенство Коши: $ \log_3 4 + \log_4 3 \ge 2\sqrt{\log_3 4 \cdot \log_4 3} $.

Найдем произведение под корнем, используя формулу замены основания логарифма $ \log_b a = \frac{1}{\log_a b} $: $ \log_3 4 \cdot \log_4 3 = \log_3 4 \cdot \frac{1}{\log_3 4} = 1 $.

Подставим это значение в неравенство: $ \log_3 4 + \log_4 3 \ge 2\sqrt{1} $, $ \log_3 4 + \log_4 3 \ge 2 $.

Равенство в данном случае возможно, только если $ \log_3 4 = \log_4 3 $. Однако, $ \log_3 4 > \log_3 3 = 1 $, а $ \log_4 3 < \log_4 4 = 1 $. Следовательно, эти два числа не равны, и равенство в неравенстве Коши не достигается. Это означает, что неравенство является строгим: $ \log_3 4 + \log_4 3 > 2 $.

Поскольку мы доказали это неравенство, а все предыдущие преобразования были равносильными, то исходное неравенство также верно.

Ответ: Неравенство $ \log_{\frac{1}{3}} 4 + \log_4 \frac{1}{3} < -2 $ доказано.