Страница 43 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.23. Найдите область определения функции:

1) $f(x) = \frac{1}{\lg x}$;

2) $f(x) = \frac{4}{\log_{5}(10 - x)}$;

3) $f(x) = \log_{2} \cos x$;

4) $f(x) = \log_{3} \operatorname{tg} x$.

1) Область определения функции $f(x) = \frac{1}{\lg x}$ находится из следующих условий:

1. Аргумент логарифма должен быть строго положительным. Для десятичного логарифма $\lg x$ это означает, что $x > 0$.

2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю. Это означает, что $\lg x \neq 0$.

Чтобы найти значения $x$, при которых знаменатель равен нулю, решим уравнение $\lg x = 0$. По определению логарифма, это эквивалентно уравнению $x = 10^0$, откуда получаем $x = 1$.

Следовательно, необходимо исключить значение $x = 1$.

Объединяя оба условия, $x > 0$ и $x \neq 1$, получаем область определения функции.

Ответ: $x \in (0; 1) \cup (1; +\infty)$.

2) Область определения функции $f(x) = \frac{4}{\log_5(10 - x)}$ находится из следующих условий:

1. Аргумент логарифма $\log_5(10 - x)$ должен быть строго положительным: $10 - x > 0$. Решая это неравенство, получаем $x < 10$.

2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $\log_5(10 - x) \neq 0$.

Решим уравнение $\log_5(10 - x) = 0$. По определению логарифма, это эквивалентно $10 - x = 5^0$, то есть $10 - x = 1$. Отсюда находим $x = 9$.

Следовательно, необходимо исключить значение $x = 9$.

Объединяя оба условия, $x < 10$ и $x \neq 9$, получаем область определения.

Ответ: $x \in (-\infty; 9) \cup (9; 10)$.

3) Область определения функции $f(x) = \log_2 \cos x$ определяется условием, что аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$\cos x > 0$.

Функция косинуса положительна в I и IV координатных четвертях. Решением неравенства является совокупность интервалов. Учитывая периодичность функции косинуса (период $2\pi$), общее решение можно записать в виде:

$-\frac{\pi}{2} + 2\pi k < x < \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (Z - множество целых чисел).

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

4) Область определения функции $f(x) = \log_3 \tg x$ определяется двумя условиями:

1. Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $\tg x > 0$.

2. Сам тангенс должен быть определен, то есть $\cos x \neq 0$, что означает $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Неравенство $\tg x > 0$ выполняется, когда $x$ находится в I или III координатной четверти. Это соответствует интервалам, где синус и косинус имеют одинаковые знаки.

Решением неравенства $\tg x > 0$ является объединение интервалов. Учитывая периодичность тангенса (период $\pi$), общее решение можно записать в виде:

$\pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

На этих интервалах условие $\cos x \neq 0$ выполняется автоматически.

Ответ: $x \in (\pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

5.24. Найдите область определения функции:

1) $y = \frac{5}{\lg(x + 3)};$

2) $y = \lg \sin x.$

1) $y = \frac{5}{\lg(x + 3)}$

Область определения функции (ОДЗ) находится из двух условий:

1. Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: $x + 3 > 0$.

2. Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $\lg(x + 3) \neq 0$.

Решим эти условия в виде системы:

$ \begin{cases} x + 3 > 0 \\ \lg(x + 3) \neq 0 \end{cases} $

Из первого неравенства получаем:

$x > -3$

Из второго условия, зная, что логарифм равен нулю, когда его аргумент равен единице ($\lg(1)=0$), получаем:

$x + 3 \neq 1$

$x \neq 1 - 3$

$x \neq -2$

Объединяя оба условия, мы получаем, что $x$ должен быть больше -3, но при этом не должен быть равен -2. Таким образом, область определения функции — это все числа из интервала $(-3, +\infty)$, за исключением точки -2.

Ответ: $x \in (-3; -2) \cup (-2; +\infty)$.

2) $y = \lg \sin x$

Область определения этой логарифмической функции определяется условием, что ее аргумент должен быть строго положительным:

$\sin x > 0$

Функция синус принимает положительные значения, когда угол $x$ находится в первой или второй координатной четверти. На тригонометрической окружности это соответствует интервалу $(0; \pi)$.

Поскольку функция синус является периодической с периодом $2\pi$, то для нахождения всех решений нужно к границам интервала добавить $2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Следовательно, общее решение неравенства имеет вид:

$2\pi k < x < \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x \in (2\pi k; \pi + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

5.25. Постройте график функции:

1) $y = \log_2 (x - 1)$;

2) $y = \log_2 (x + 3)$;

3) $y = \log_2 x - 1$;

4) $y = \log_2 x + 3$;

5) $y = -\log_2 x$;

6) $y = \log_2 (-x)$.

Для построения графиков всех указанных функций мы будем использовать метод преобразований графика базовой логарифмической функции $y = \log_2 x$.

Основные характеристики базовой функции $y = \log_2 x$:

• Область определения: $x > 0$.
• Область значений: все действительные числа.
• Вертикальная асимптота: $x = 0$ (ось Oy).
• График проходит через ключевые точки: $(\frac{1}{2}, -1)$, $(1, 0)$, $(2, 1)$, $(4, 2)$.
• Функция является возрастающей, так как основание логарифма $2 > 1$.

1) $y = \log_2 (x - 1)$

График этой функции получается из графика базовой функции $y = \log_2 x$ путем сдвига (параллельного переноса) на 1 единицу вправо вдоль оси абсцисс (Ox). Это преобразование вида $f(x) \to f(x-a)$ при $a=1$.

• Преобразование точек: Каждая точка $(x_0, y_0)$ на графике $y = \log_2 x$ переходит в точку $(x_0+1, y_0)$.
  • $(1, 0) \to (1+1, 0) = (2, 0)$
  • $(2, 1) \to (2+1, 1) = (3, 1)$
  • $(4, 2) \to (4+1, 2) = (5, 2)$
• Область определения: Аргумент логарифма должен быть положителен: $x - 1 > 0 \implies x > 1$.
• Вертикальная асимптота: Сдвигается вместе с графиком и становится прямой $x = 1$.

Ответ: График функции $y = \log_2(x-1)$ — это график функции $y = \log_2 x$, сдвинутый на 1 единицу вправо. Вертикальная асимптота — $x=1$. График проходит через точки $(2, 0)$, $(3, 1)$ и $(5, 2)$.

2) $y = \log_2 (x + 3)$

График этой функции получается из графика $y = \log_2 x$ путем сдвига на 3 единицы влево вдоль оси абсцисс (Ox). Это преобразование вида $f(x) \to f(x+a)$ при $a=3$.

• Преобразование точек: Каждая точка $(x_0, y_0)$ на графике $y = \log_2 x$ переходит в точку $(x_0-3, y_0)$.
  • $(1, 0) \to (1-3, 0) = (-2, 0)$
  • $(2, 1) \to (2-3, 1) = (-1, 1)$
  • $(4, 2) \to (4-3, 2) = (1, 2)$
• Область определения: $x + 3 > 0 \implies x > -3$.
• Вертикальная асимптота: Сдвигается на 3 единицы влево и становится прямой $x = -3$.

Ответ: График функции $y = \log_2(x+3)$ — это график функции $y = \log_2 x$, сдвинутый на 3 единицы влево. Вертикальная асимптота — $x=-3$. График проходит через точки $(-2, 0)$, $(-1, 1)$ и $(1, 2)$.

3) $y = \log_2 x - 1$

График этой функции получается из графика $y = \log_2 x$ путем сдвига на 1 единицу вниз вдоль оси ординат (Oy). Это преобразование вида $f(x) \to f(x)-c$ при $c=1$.

• Преобразование точек: Каждая точка $(x_0, y_0)$ на графике $y = \log_2 x$ переходит в точку $(x_0, y_0-1)$.
  • $(1, 0) \to (1, 0-1) = (1, -1)$
  • $(2, 1) \to (2, 1-1) = (2, 0)$
  • $(4, 2) \to (4, 2-1) = (4, 1)$
• Область определения: $x > 0$. Не изменяется.
• Вертикальная асимптота: $x = 0$. Не изменяется.

Ответ: График функции $y = \log_2 x - 1$ — это график функции $y = \log_2 x$, сдвинутый на 1 единицу вниз. Вертикальная асимптота — $x=0$. График проходит через точки $(1, -1)$, $(2, 0)$ и $(4, 1)$.

4) $y = \log_2 x + 3$

График этой функции получается из графика $y = \log_2 x$ путем сдвига на 3 единицы вверх вдоль оси ординат (Oy). Это преобразование вида $f(x) \to f(x)+c$ при $c=3$.

• Преобразование точек: Каждая точка $(x_0, y_0)$ на графике $y = \log_2 x$ переходит в точку $(x_0, y_0+3)$.
  • $(1, 0) \to (1, 0+3) = (1, 3)$
  • $(2, 1) \to (2, 1+3) = (2, 4)$
  • $(4, 2) \to (4, 2+3) = (4, 5)$
• Область определения: $x > 0$. Не изменяется.
• Вертикальная асимптота: $x = 0$. Не изменяется.

Ответ: График функции $y = \log_2 x + 3$ — это график функции $y = \log_2 x$, сдвинутый на 3 единицы вверх. Вертикальная асимптота — $x=0$. График проходит через точки $(1, 3)$, $(2, 4)$ и $(4, 5)$.

5) $y = -\log_2 x$

График этой функции получается из графика $y = \log_2 x$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс (Ox). Это преобразование вида $f(x) \to -f(x)$.

• Преобразование точек: Каждая точка $(x_0, y_0)$ на графике $y = \log_2 x$ переходит в точку $(x_0, -y_0)$.
  • $(1, 0) \to (1, 0)$
  • $(2, 1) \to (2, -1)$
  • $(4, 2) \to (4, -2)$
  • $(\frac{1}{2}, -1) \to (\frac{1}{2}, 1)$
• Область определения: $x > 0$. Не изменяется.
• Вертикальная асимптота: $x = 0$. Не изменяется.
• Поведение функции: Функция становится убывающей.

Ответ: График функции $y = -\log_2 x$ — это график функции $y = \log_2 x$, отраженный симметрично относительно оси Ox. Вертикальная асимптота — $x=0$. График проходит через точки $(1, 0)$, $(2, -1)$ и $(4, -2)$.

6) $y = \log_2 (-x)$

График этой функции получается из графика $y = \log_2 x$ путем симметричного отражения относительно оси ординат (Oy). Это преобразование вида $f(x) \to f(-x)$.

• Преобразование точек: Каждая точка $(x_0, y_0)$ на графике $y = \log_2 x$ переходит в точку $(-x_0, y_0)$.
  • $(1, 0) \to (-1, 0)$
  • $(2, 1) \to (-2, 1)$
  • $(4, 2) \to (-4, 2)$
• Область определения: Аргумент логарифма должен быть положителен: $-x > 0 \implies x < 0$.
• Вертикальная асимптота: $x = 0$. Не изменяется.

Ответ: График функции $y = \log_2(-x)$ — это график функции $y = \log_2 x$, отраженный симметрично относительно оси Oy. Вертикальная асимптота — $x=0$. Область определения $x < 0$. График проходит через точки $(-1, 0)$, $(-2, 1)$ и $(-4, 2)$.

5.26. Постройте график функции:

1) $y = \log_{\frac{1}{3}}(x - 2);$

2) $y = \log_{\frac{1}{3}}(x + 1);$

3) $y = \log_{\frac{1}{3}}x - 2;$

4) $y = \log_{\frac{1}{3}}x + 1;$

5) $y = -\log_{\frac{1}{3}}x;$

6) $y = \log_{\frac{1}{3}}(-x).$

Для построения графиков данных функций мы будем исходить из графика базовой логарифмической функции $y_0 = \log_{1/3} x$.

Основные характеристики базовой функции $y_0 = \log_{1/3} x$:

• Основание логарифма $a = 1/3$ находится в интервале $(0, 1)$, следовательно, функция является убывающей.
• Область определения функции: $x > 0$, то есть $(0, +\infty)$.
• Вертикальная асимптота: прямая $x = 0$ (ось $Oy$).
• График проходит через ключевые точки: $(1, 0)$, так как $\log_{1/3} 1 = 0$; $(1/3, 1)$, так как $\log_{1/3} (1/3) = 1$; $(3, -1)$, так как $\log_{1/3} 3 = -1$.

Все остальные графики будут получены путем геометрических преобразований (сдвигов, отражений) графика базовой функции.

1) $y = \log_{\frac{1}{3}} (x - 2)$

График этой функции получается из графика $y = \log_{1/3} x$ путем его сдвига на 2 единицы вправо вдоль оси абсцисс ($Ox$).

Область определения: $x - 2 > 0 \implies x > 2$.

Вертикальная асимптота: $x = 2$.

Ключевые точки:

• Точка $(1, 0)$ базового графика смещается в точку $(1+2, 0) = (3, 0)$. Проверка: $y = \log_{1/3} (3-2) = \log_{1/3} 1 = 0$.
• Точка $(1/3, 1)$ смещается в точку $(1/3+2, 1) = (7/3, 1)$. Проверка: $y = \log_{1/3} (7/3-2) = \log_{1/3} (1/3) = 1$.
• Точка $(3, -1)$ смещается в точку $(3+2, -1) = (5, -1)$. Проверка: $y = \log_{1/3} (5-2) = \log_{1/3} 3 = -1$.

Ответ: График функции представляет собой убывающую логарифмическую кривую, смещенную на 2 единицы вправо относительно графика $y=\log_{1/3} x$. Вертикальная асимптота $x=2$. График проходит через точки $(3, 0)$, $(7/3, 1)$, $(5, -1)$.

2) $y = \log_{\frac{1}{3}} (x + 1)$

График этой функции получается из графика $y = \log_{1/3} x$ путем его сдвига на 1 единицу влево вдоль оси абсцисс ($Ox$).

Область определения: $x + 1 > 0 \implies x > -1$.

Вертикальная асимптота: $x = -1$.

Ключевые точки:

• Точка $(1, 0)$ смещается в точку $(1-1, 0) = (0, 0)$. Проверка: $y = \log_{1/3} (0+1) = \log_{1/3} 1 = 0$.
• Точка $(1/3, 1)$ смещается в точку $(1/3-1, 1) = (-2/3, 1)$. Проверка: $y = \log_{1/3} (-2/3+1) = \log_{1/3} (1/3) = 1$.
• Точка $(3, -1)$ смещается в точку $(3-1, -1) = (2, -1)$. Проверка: $y = \log_{1/3} (2+1) = \log_{1/3} 3 = -1$.

Ответ: График функции представляет собой убывающую логарифмическую кривую, смещенную на 1 единицу влево относительно графика $y=\log_{1/3} x$. Вертикальная асимптота $x=-1$. График проходит через начало координат $(0, 0)$, а также точки $(-2/3, 1)$, $(2, -1)$.

3) $y = \log_{\frac{1}{3}} x - 2$

График этой функции получается из графика $y = \log_{1/3} x$ путем его сдвига на 2 единицы вниз вдоль оси ординат ($Oy$).

Область определения: $x > 0$.

Вертикальная асимптота: $x = 0$.

Ключевые точки:

• Точка $(1, 0)$ смещается в точку $(1, 0-2) = (1, -2)$. Проверка: $y = \log_{1/3} 1 - 2 = 0 - 2 = -2$.
• Точка $(1/3, 1)$ смещается в точку $(1/3, 1-2) = (1/3, -1)$. Проверка: $y = \log_{1/3} (1/3) - 2 = 1 - 2 = -1$.
• Точка $(3, -1)$ смещается в точку $(3, -1-2) = (3, -3)$. Проверка: $y = \log_{1/3} 3 - 2 = -1 - 2 = -3$.

Ответ: График функции представляет собой убывающую логарифмическую кривую, смещенную на 2 единицы вниз относительно графика $y=\log_{1/3} x$. Вертикальная асимптота $x=0$. График проходит через точки $(1, -2)$, $(1/3, -1)$, $(3, -3)$.

4) $y = \log_{\frac{1}{3}} x + 1$

График этой функции получается из графика $y = \log_{1/3} x$ путем его сдвига на 1 единицу вверх вдоль оси ординат ($Oy$).

Область определения: $x > 0$.

Вертикальная асимптота: $x = 0$.

Ключевые точки:

• Точка $(1, 0)$ смещается в точку $(1, 0+1) = (1, 1)$. Проверка: $y = \log_{1/3} 1 + 1 = 0 + 1 = 1$.
• Точка $(1/3, 1)$ смещается в точку $(1/3, 1+1) = (1/3, 2)$. Проверка: $y = \log_{1/3} (1/3) + 1 = 1 + 1 = 2$.
• Точка $(3, -1)$ смещается в точку $(3, -1+1) = (3, 0)$. Проверка: $y = \log_{1/3} 3 + 1 = -1 + 1 = 0$.

Ответ: График функции представляет собой убывающую логарифмическую кривую, смещенную на 1 единицу вверх относительно графика $y=\log_{1/3} x$. Вертикальная асимптота $x=0$. График проходит через точки $(1, 1)$, $(1/3, 2)$, $(3, 0)$.

5) $y = -\log_{\frac{1}{3}} x$

График этой функции получается из графика $y = \log_{1/3} x$ путем его симметричного отражения относительно оси абсцисс ($Ox$).
Используя свойство логарифма $-\log_a b = \log_{1/a} b$, функцию можно переписать в виде $y = \log_3 x$. Это возрастающая логарифмическая функция.

Область определения: $x > 0$.

Вертикальная асимптота: $x = 0$.

Ключевые точки:

• Точка $(1, 0)$ отражается в точку $(1, -0) = (1, 0)$. Проверка: $y = -\log_{1/3} 1 = -0 = 0$.
• Точка $(1/3, 1)$ отражается в точку $(1/3, -1)$. Проверка: $y = -\log_{1/3} (1/3) = -(1) = -1$.
• Точка $(3, -1)$ отражается в точку $(3, -(-1)) = (3, 1)$. Проверка: $y = -\log_{1/3} 3 = -(-1) = 1$.

Ответ: График функции представляет собой возрастающую логарифмическую кривую (эквивалентную $y=\log_3 x$), полученную отражением графика $y=\log_{1/3} x$ относительно оси $Ox$. Вертикальная асимптота $x=0$. График проходит через точки $(1, 0)$, $(1/3, -1)$, $(3, 1)$.

6) $y = \log_{\frac{1}{3}} (-x)$

График этой функции получается из графика $y = \log_{1/3} x$ путем его симметричного отражения относительно оси ординат ($Oy$).

Область определения: $-x > 0 \implies x < 0$.

Вертикальная асимптота: $x = 0$.

Ключевые точки:

• Точка $(1, 0)$ отражается в точку $(-1, 0)$. Проверка: $y = \log_{1/3} (-(-1)) = \log_{1/3} 1 = 0$.
• Точка $(1/3, 1)$ отражается в точку $(-1/3, 1)$. Проверка: $y = \log_{1/3} (-(-1/3)) = \log_{1/3} (1/3) = 1$.
• Точка $(3, -1)$ отражается в точку $(-3, -1)$. Проверка: $y = \log_{1/3} (-(-3)) = \log_{1/3} 3 = -1$.

Ответ: График функции представляет собой убывающую логарифмическую кривую, полученную отражением графика $y=\log_{1/3} x$ относительно оси $Oy$. Вертикальная асимптота $x=0$. График проходит через точки $(-1, 0)$, $(-1/3, 1)$, $(-3, -1)$.

5.27. Решите графически уравнение:

1) $\log_2 x = 3 - x;$

2) $\log_{\frac{1}{3}} x = x - 1;$

3) $\log_2 x = -x - 0,5.$

1)

Для решения уравнения $\log_2 x = 3 - x$ графическим методом, построим в одной системе координат графики двух функций: $y_1 = \log_2 x$ и $y_2 = 3 - x$.

Функция $y_1 = \log_2 x$ — это логарифмическая функция. Её область определения $x > 0$. Так как основание логарифма $2 > 1$, функция является возрастающей. Для построения графика найдём несколько точек:
- при $x=1$, $y_1=\log_2 1 = 0$; точка (1, 0).
- при $x=2$, $y_1=\log_2 2 = 1$; точка (2, 1).
- при $x=4$, $y_1=\log_2 4 = 2$; точка (4, 2).

Функция $y_2 = 3 - x$ — это линейная функция, её график — прямая. Для построения прямой достаточно двух точек:
- при $x=0$, $y_2 = 3 - 0 = 3$; точка (0, 3).
- при $x=3$, $y_2 = 3 - 3 = 0$; точка (3, 0).

Построив оба графика, мы видим, что они пересекаются в одной точке. Абсцисса этой точки и является решением уравнения. Из графиков видно, что точка пересечения — (2, 1). Следовательно, $x=2$.

Поскольку функция $y_1 = \log_2 x$ является строго возрастающей, а функция $y_2 = 3 - x$ — строго убывающей, они могут иметь не более одной точки пересечения. Таким образом, найденное решение является единственным.

Проверка: подставим $x=2$ в исходное уравнение.
$\log_2 2 = 1$
$3 - 2 = 1$
$1 = 1$. Равенство верное.

Ответ: 2.

2)

Решим уравнение $\log_{\frac{1}{3}} x = x - 1$ графически. Для этого построим в одной системе координат графики функций $y_1 = \log_{\frac{1}{3}} x$ и $y_2 = x - 1$.

Функция $y_1 = \log_{\frac{1}{3}} x$ — логарифмическая. Область определения $x > 0$. Основание $0 < \frac{1}{3} < 1$, поэтому функция является убывающей. Ключевые точки для построения:
- при $x=\frac{1}{3}$, $y_1=\log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{3} = 1$; точка (1/3, 1).
- при $x=1$, $y_1=\log_{\frac{1}{3}} 1 = 0$; точка (1, 0).
- при $x=3$, $y_1=\log_{\frac{1}{3}} 3 = -1$; точка (3, -1).

Функция $y_2 = x - 1$ — линейная, её график — прямая. Возьмем две точки:
- при $x=0$, $y_2 = 0 - 1 = -1$; точка (0, -1).
- при $x=1$, $y_2 = 1 - 1 = 0$; точка (1, 0).

Построив графики, видим, что они пересекаются в точке (1, 0). Абсцисса этой точки $x=1$ является решением уравнения.

Так как функция $y_1 = \log_{\frac{1}{3}} x$ строго убывающая, а функция $y_2 = x - 1$ строго возрастающая, они могут пересечься только в одной точке. Следовательно, решение $x=1$ единственное.

Проверка: подставим $x=1$ в исходное уравнение.
$\log_{\frac{1}{3}} 1 = 0$
$1 - 1 = 0$
$0 = 0$. Равенство верное.

Ответ: 1.

3)

Для решения уравнения $\log_2 x = -x - 0.5$ построим графики функций $y_1 = \log_2 x$ и $y_2 = -x - 0.5$ в одной системе координат.

График функции $y_1 = \log_2 x$ — возрастающая логарифмическая кривая, проходящая через точки (0.5, -1), (1, 0), (2, 1).

График функции $y_2 = -x - 0.5$ — убывающая прямая. Для построения возьмем точки:
- при $x=0$, $y_2 = -0 - 0.5 = -0.5$; точка (0, -0.5).
- при $x=0.5$, $y_2 = -0.5 - 0.5 = -1$; точка (0.5, -1).

Из построения видно, что графики пересекаются в точке (0.5, -1). Следовательно, решением уравнения является абсцисса этой точки, $x=0.5$.

Функция $y_1 = \log_2 x$ строго возрастает, а функция $y_2 = -x - 0.5$ строго убывает. Поэтому они имеют не более одной точки пересечения, и решение $x=0.5$ является единственным.

Проверка: подставим $x=0.5$ в исходное уравнение.
$\log_2{0.5} = \log_2{\frac{1}{2}} = -1$
$-0.5 - 0.5 = -1$
$-1 = -1$. Равенство верное.

Ответ: 0.5.

5.28. Решите графически уравнение:

1) $log_{1/2} x = x + \frac{1}{2};$

2) $log_3 x = 4 - x.$

Чтобы решить уравнение графически, необходимо построить в одной системе координат графики функций, соответствующих левой и правой частям уравнения. Абсцисса точки (или точек) пересечения этих графиков и будет являться решением уравнения.

1) $\log_{\frac{1}{2}} x = x + \frac{1}{2}$

Построим в одной системе координат графики двух функций: $y_1 = \log_{\frac{1}{2}} x$ и $y_2 = x + \frac{1}{2}$.

Функция $y_1 = \log_{\frac{1}{2}} x$ — это логарифмическая функция. Область её определения — $x > 0$. Так как основание логарифма $\frac{1}{2} < 1$, функция является убывающей. Построим её по точкам:

• При $x = \frac{1}{4}$, $y = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{4} = 2$.
• При $x = \frac{1}{2}$, $y = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} = 1$.
• При $x = 1$, $y = \log_{\frac{1}{2}} 1 = 0$.
• При $x = 2$, $y = \log_{\frac{1}{2}} 2 = -1$.

Функция $y_2 = x + \frac{1}{2}$ — это линейная функция, её график — прямая. Она является возрастающей. Построим её по двум точкам:

• При $x = -\frac{1}{2}$, $y = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0$.
• При $x = \frac{1}{2}$, $y = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.

Построив графики, мы видим, что они пересекаются в одной точке. Абсцисса этой точки — $x = \frac{1}{2}$. Выполним проверку, подставив найденное значение в исходное уравнение:

$\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

$1 = 1$

Равенство верное, значит, корень найден правильно. Так как одна функция является строго убывающей, а другая — строго возрастающей, они могут пересечься не более чем в одной точке. Следовательно, это единственное решение.

Ответ: $x = \frac{1}{2}$

2) $\log_3 x = 4 - x$

Построим в одной системе координат графики двух функций: $y_1 = \log_3 x$ и $y_2 = 4 - x$.

Функция $y_1 = \log_3 x$ — это логарифмическая функция. Область её определения — $x > 0$. Так как основание логарифма $3 > 1$, функция является возрастающей. Построим её по точкам:

• При $x = 1$, $y = \log_3 1 = 0$.
• При $x = 3$, $y = \log_3 3 = 1$.
• При $x = 9$, $y = \log_3 9 = 2$.

Функция $y_2 = 4 - x$ — это линейная функция, её график — прямая. Она является убывающей. Построим её по двум точкам:

• При $x = 0$, $y = 4 - 0 = 4$.
• При $x = 4$, $y = 4 - 4 = 0$.

Построив графики, мы видим, что они пересекаются в одной точке с абсциссой $x = 3$. Сделаем проверку:

$\log_3 3 = 4 - 3$

$1 = 1$

Равенство верное. Так как функция $y_1 = \log_3 x$ строго возрастает, а функция $y_2 = 4 - x$ строго убывает, то у уравнения может быть не более одного корня. Следовательно, найденное решение является единственным.

Ответ: $x = 3$

5.29. Определите графически количество корней уравнения:

1) $\log_2 x = -x$;

2) $\log_3 x = -x^2$;

3) $\log_{\frac{1}{2}} x = \sqrt{x}$.

Для определения количества корней уравнения графическим методом необходимо представить левую и правую части уравнения в виде отдельных функций, построить их графики в одной системе координат и найти количество точек их пересечения. Количество точек пересечения равно количеству корней уравнения.

1) $\log_2 x = -x$

Рассмотрим две функции: $y_1 = \log_2 x$ и $y_2 = -x$.

Функция $y_1 = \log_2 x$ — это логарифмическая функция. Ее область определения $x > 0$. Функция возрастает на всей области определения. График проходит через точку $(1, 0)$.

Функция $y_2 = -x$ — это линейная функция. Ее график — прямая, проходящая через начало координат, с угловым коэффициентом $-1$. Эта функция убывает на всей своей области определения.

Поскольку одна функция ($y_1$) является строго возрастающей, а другая ($y_2$) — строго убывающей, их графики могут пересечься не более одного раза. Чтобы убедиться, что пересечение есть, можно подставить тестовые значения. При $x=0.5$: $y_1 = \log_2(0.5) = -1$, а $y_2 = -0.5$. Здесь $y_1 < y_2$. При $x=1$: $y_1 = \log_2(1) = 0$, а $y_2 = -1$. Здесь $y_1 > y_2$. Так как функции непрерывны, а соотношение между их значениями меняется, то между $x=0.5$ и $x=1$ существует одна точка пересечения.

Таким образом, графики функций пересекаются в одной точке.

Ответ: 1 корень.

2) $\log_3 x = -x^2$

Рассмотрим две функции: $y_1 = \log_3 x$ и $y_2 = -x^2$.

Функция $y_1 = \log_3 x$ — логарифмическая, определена при $x > 0$. Она является возрастающей. График проходит через точку $(1, 0)$.

Функция $y_2 = -x^2$ — квадратичная. Ее график — парабола с вершиной в начале координат и ветвями, направленными вниз. Для $x > 0$ эта функция является убывающей.

Как и в предыдущем случае, мы имеем дело с возрастающей ($y_1$) и убывающей ($y_2$ для $x>0$) функциями. Они могут пересечься не более чем в одной точке. Проверим, есть ли точка пересечения. При $x=1$: $y_1 = \log_3(1) = 0$, а $y_2 = -1^2 = -1$. Здесь $y_1 > y_2$. При $x \to 0^+$: $y_1 = \log_3 x \to -\infty$, а $y_2 = -x^2 \to 0$. Для $x$, достаточно близких к нулю, $y_1 < y_2$. Поскольку обе функции непрерывны для $x > 0$ и соотношение их значений меняется, их графики должны пересечься.

Следовательно, графики функций пересекаются ровно в одной точке.

Ответ: 1 корень.

3) $\log_{\frac{1}{2}} x = \sqrt{x}$

Рассмотрим две функции: $y_1 = \log_{\frac{1}{2}} x$ и $y_2 = \sqrt{x}$.

Функция $y_1 = \log_{\frac{1}{2}} x$ — логарифмическая с основанием $a = 1/2 < 1$. Область определения $x>0$. Функция является убывающей на всей области определения. График проходит через точку $(1, 0)$.

Функция $y_2 = \sqrt{x}$ — функция квадратного корня. Область определения $x \ge 0$. Функция является возрастающей на всей области определения. График проходит через точки $(0, 0)$ и $(1, 1)$.

В этом случае мы имеем убывающую ($y_1$) и возрастающую ($y_2$) функции, которые также могут пересечься не более одного раза. Корень уравнения может существовать только там, где обе функции определены, то есть при $x > 0$. Кроме того, $y_2 = \sqrt{x} \ge 0$, поэтому корень может быть только при условии $y_1 = \log_{\frac{1}{2}} x \ge 0$, что выполняется для $0 < x \le 1$. Проверим значения на границах этого интервала: При $x = 1/4$: $y_1 = \log_{\frac{1}{2}}(1/4) = 2$, а $y_2 = \sqrt{1/4} = 1/2$. Здесь $y_1 > y_2$. При $x = 1$: $y_1 = \log_{\frac{1}{2}}(1) = 0$, а $y_2 = \sqrt{1} = 1$. Здесь $y_1 < y_2$. Поскольку функции непрерывны и их соотношение меняется на интервале $(1/4, 1)$, они пересекаются в единственной точке внутри этого интервала.

Таким образом, графики функций пересекаются в одной точке.

Ответ: 1 корень.

5.30. Сколько корней имеет уравнение:

1) $\left(\frac{1}{2}\right)^x = \log_2 x;$

2) $\log_2 x = \frac{1}{x}?$

1) Рассмотрим уравнение $(\frac{1}{2})^x = \log_2 x$.

Для того чтобы определить количество корней этого уравнения, воспользуемся графическим методом. Проанализируем функции, стоящие в левой и правой частях уравнения: $y_1(x) = (\frac{1}{2})^x$ и $y_2(x) = \log_2 x$. Количество корней уравнения будет соответствовать количеству точек пересечения графиков этих функций.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Функция $y_1(x)$ определена для всех действительных $x$. Функция $y_2(x)$ определена для $x > 0$. Следовательно, ОДЗ всего уравнения: $x > 0$.

Теперь исследуем поведение каждой функции на интервале $(0, +\infty)$:

Функция $y_1(x) = (\frac{1}{2})^x$ является показательной функцией с основанием $a = \frac{1}{2}$. Так как $0 < a < 1$, эта функция является строго убывающей на всей своей области определения, включая интервал $(0, +\infty)$.

Функция $y_2(x) = \log_2 x$ является логарифмической функцией с основанием $a = 2$. Так как $a > 1$, эта функция является строго возрастающей на всей своей области определения $(0, +\infty)$.

Поскольку одна функция строго убывает, а другая строго возрастает на их общей области определения, их графики могут пересечься не более одного раза. Таким образом, уравнение может иметь не более одного корня.

Чтобы доказать, что корень действительно существует, проверим, пересекаются ли графики. Для этого рассмотрим вспомогательную функцию $f(x) = (\frac{1}{2})^x - \log_2 x$. Эта функция непрерывна на $(0, +\infty)$. Найдем значения функции в двух точках:
При $x=1$: $f(1) = (\frac{1}{2})^1 - \log_2 1 = 0.5 - 0 = 0.5 > 0$.
При $x=2$: $f(2) = (\frac{1}{2})^2 - \log_2 2 = 0.25 - 1 = -0.75 < 0$.

Так как функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[1, 2]$ и на его концах принимает значения разных знаков ($f(1) > 0$ и $f(2) < 0$), то по теореме о промежуточных значениях существует хотя бы одна точка $c$ на интервале $(1, 2)$, в которой $f(c) = 0$. Это означает, что уравнение имеет по крайней мере один корень.

Из того, что уравнение имеет не более одного корня и хотя бы один корень, следует, что оно имеет ровно один корень.

Ответ: 1 корень.

2) Рассмотрим уравнение $\log_2 x = \frac{1}{x}$.

Как и в предыдущем случае, исследуем функции в левой и правой частях: $y_1(x) = \log_2 x$ и $y_2(x) = \frac{1}{x}$. Количество корней уравнения равно числу точек пересечения их графиков.

ОДЗ уравнения определяется условием $x > 0$ для логарифма и $x \neq 0$ для дроби. Таким образом, ОДЗ: $x > 0$.

Проанализируем монотонность функций на интервале $(0, +\infty)$:

Функция $y_1(x) = \log_2 x$ является строго возрастающей, так как основание логарифма $2 > 1$.

Функция $y_2(x) = \frac{1}{x}$ является строго убывающей на интервале $(0, +\infty)$ (это ветвь гиперболы в первом квадранте).

Графики строго возрастающей и строго убывающей функций могут пересечься не более чем в одной точке. Следовательно, уравнение имеет не более одного корня.

Для доказательства существования корня рассмотрим функцию $f(x) = \log_2 x - \frac{1}{x}$. Функция непрерывна на $(0, +\infty)$. Найдем значения $f(x)$ в двух точках, чтобы проверить, меняется ли ее знак:
При $x=1$: $f(1) = \log_2 1 - \frac{1}{1} = 0 - 1 = -1 < 0$.
При $x=2$: $f(2) = \log_2 2 - \frac{1}{2} = 1 - 0.5 = 0.5 > 0$.

Поскольку функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[1, 2]$ и на его концах принимает значения разных знаков ($f(1) < 0$ и $f(2) > 0$), то по теореме о промежуточных значениях на интервале $(1, 2)$ существует по крайней мере один корень уравнения $f(x)=0$.

Сопоставляя выводы о том, что корень не более чем один, и что он как минимум один, заключаем, что уравнение имеет ровно один корень.

Ответ: 1 корень.

5.31. Сравните $\log_2 3 + \log_3 2$ и 2.

Для того чтобы сравнить значение выражения $ \log_2 3 + \log_3 2 $ с числом $ 2 $, мы можем использовать алгебраические преобразования и свойства неравенств.

Пусть $ x = \log_2 3 $. Используя формулу перехода к новому основанию логарифма $ \log_b a = \frac{1}{\log_a b} $, мы можем выразить $ \log_3 2 $: $ \log_3 2 = \frac{1}{\log_2 3} = \frac{1}{x} $.

Таким образом, исходное выражение можно записать в виде $ x + \frac{1}{x} $. Задача сводится к сравнению $ x + \frac{1}{x} $ и $ 2 $.

Оценим значение $ x $. Так как основание логарифма $ 2 > 1 $, логарифмическая функция $ y = \log_2 t $ является возрастающей. Поскольку $ 3 > 2 $, то $ \log_2 3 > \log_2 2 $. Так как $ \log_2 2 = 1 $, мы получаем, что $ x = \log_2 3 > 1 $. В частности, это означает, что $ x $ — положительное число, не равное единице.

Рассмотрим разность между выражением $ x + \frac{1}{x} $ и числом $ 2 $: $ \left(x + \frac{1}{x}\right) - 2 $

Приведем это выражение к общему знаменателю: $ \frac{x^2 + 1 - 2x}{x} = \frac{(x-1)^2}{x} $

Проанализируем знак полученной дроби. Мы установили, что $ x = \log_2 3 > 1 $, следовательно, знаменатель $ x $ положителен ($ x > 0 $). Числитель $ (x-1)^2 $ — это квадрат действительного числа. Поскольку $ x \ne 1 $, то $ x-1 \ne 0 $, а значит, квадрат этого числа строго положителен: $ (x-1)^2 > 0 $.

Так как и числитель, и знаменатель дроби $ \frac{(x-1)^2}{x} $ положительны, то и сама дробь положительна: $ \frac{(x-1)^2}{x} > 0 $

Это означает, что разность, которую мы рассматривали, также положительна: $ \left(x + \frac{1}{x}\right) - 2 > 0 $

Из этого неравенства следует: $ x + \frac{1}{x} > 2 $

Подставив обратно $ x = \log_2 3 $, получаем окончательный результат: $ \log_2 3 + \log_3 2 > 2 $

Ответ: $ \log_2 3 + \log_3 2 > 2 $.

5.32. Докажите, что $\log_{\frac{1}{3}} 4 + \log_4 \frac{1}{3} < -2.$

Для доказательства данного неравенства преобразуем его левую часть, используя свойства логарифмов.

Сначала преобразуем первое слагаемое, $ \log_{\frac{1}{3}} 4 $. Основание логарифма можно представить как $ \frac{1}{3} = 3^{-1} $. Используя свойство логарифма $ \log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b $, получаем: $ \log_{\frac{1}{3}} 4 = \log_{3^{-1}} 4 = \frac{1}{-1} \log_3 4 = -\log_3 4 $.

Теперь преобразуем второе слагаемое, $ \log_4 \frac{1}{3} $. Используя свойство логарифма $ \log_a \frac{1}{b} = -\log_a b $, получаем: $ \log_4 \frac{1}{3} = -\log_4 3 $.

Подставив преобразованные выражения в левую часть исходного неравенства, мы получим: $ \log_{\frac{1}{3}} 4 + \log_4 \frac{1}{3} = (-\log_3 4) + (-\log_4 3) = -(\log_3 4 + \log_4 3) $.

Таким образом, исходное неравенство $ \log_{\frac{1}{3}} 4 + \log_4 \frac{1}{3} < -2 $ эквивалентно неравенству: $ -(\log_3 4 + \log_4 3) < -2 $.

Умножим обе части этого неравенства на $-1$. При этом знак неравенства меняется на противоположный: $ \log_3 4 + \log_4 3 > 2 $.

Для доказательства последнего неравенства воспользуемся неравенством о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши) для двух положительных чисел $x$ и $y$: $ x+y \ge 2\sqrt{xy} $. Равенство достигается только при $ x=y $.

Пусть $ x = \log_3 4 $ и $ y = \log_4 3 $. Оба числа являются положительными. Применим к ним неравенство Коши: $ \log_3 4 + \log_4 3 \ge 2\sqrt{\log_3 4 \cdot \log_4 3} $.

Найдем произведение под корнем, используя формулу замены основания логарифма $ \log_b a = \frac{1}{\log_a b} $: $ \log_3 4 \cdot \log_4 3 = \log_3 4 \cdot \frac{1}{\log_3 4} = 1 $.

Подставим это значение в неравенство: $ \log_3 4 + \log_4 3 \ge 2\sqrt{1} $, $ \log_3 4 + \log_4 3 \ge 2 $.

Равенство в данном случае возможно, только если $ \log_3 4 = \log_4 3 $. Однако, $ \log_3 4 > \log_3 3 = 1 $, а $ \log_4 3 < \log_4 4 = 1 $. Следовательно, эти два числа не равны, и равенство в неравенстве Коши не достигается. Это означает, что неравенство является строгим: $ \log_3 4 + \log_4 3 > 2 $.

Поскольку мы доказали это неравенство, а все предыдущие преобразования были равносильными, то исходное неравенство также верно.

Ответ: Неравенство $ \log_{\frac{1}{3}} 4 + \log_4 \frac{1}{3} < -2 $ доказано.