Страница 50 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

6.10. Решите уравнение:

1) $log_6 (9 - x^2) = log_6 (1 - 2x);$

2) $lg (x^2 + 2x - 3) = lg (2x^2 - 2);$

3) $log_{0,7} (2x^2 - 9x + 4) = 2log_{0,7} (x + 2);$

4) $2log_2 (-x) - log_2 (3x + 8) = 1.$

1) $\log_6(9 - x^2) = \log_6(1 - 2x)$

Данное уравнение равносильно системе:
$ \begin{cases} 9 - x^2 = 1 - 2x, \\ 1 - 2x > 0 \end{cases} $
Решим сначала уравнение:
$9 - x^2 = 1 - 2x$
$x^2 - 2x - 8 = 0$
Используем теорему Виета: $x_1 + x_2 = 2$ и $x_1 \cdot x_2 = -8$.
Корни уравнения: $x_1 = 4$ и $x_2 = -2$.
Теперь проверим выполнение условия $1 - 2x > 0$ (это также гарантирует, что и $9 - x^2 > 0$ для найденных корней).
Для $x_1 = 4$:
$1 - 2 \cdot 4 = 1 - 8 = -7$. Условие $-7 > 0$ не выполняется, следовательно, $x=4$ - посторонний корень.
Для $x_2 = -2$:
$1 - 2 \cdot (-2) = 1 + 4 = 5$. Условие $5 > 0$ выполняется, следовательно, $x=-2$ является решением уравнения.

Ответ: $-2$.

2) $\lg(x^2 + 2x - 3) = \lg(2x^2 - 2)$

Уравнение равносильно системе, где мы потребуем, чтобы аргумент одного из логарифмов был положителен, так как из равенства логарифмов будет следовать и положительность второго аргумента.
$ \begin{cases} x^2 + 2x - 3 = 2x^2 - 2, \\ x^2 + 2x - 3 > 0 \end{cases} $
Решим уравнение:
$x^2 - 2x + 1 = 0$
$(x - 1)^2 = 0$
$x = 1$
Проверим найденный корень, подставив его в неравенство $x^2 + 2x - 3 > 0$:
$1^2 + 2 \cdot 1 - 3 = 1 + 2 - 3 = 0$.
Получаем $0 > 0$, что является неверным. Следовательно, корень $x=1$ не входит в область допустимых значений.

Ответ: нет корней.

3) $\log_{0,7}(2x^2 - 9x + 4) = 2\log_{0,7}(x + 2)$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ):
$ \begin{cases} 2x^2 - 9x + 4 > 0, \\ x + 2 > 0 \end{cases} $
Из второго неравенства: $x > -2$.
Для первого неравенства найдем корни квадратного трехчлена $2x^2 - 9x + 4 = 0$.
$D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 81 - 32 = 49 = 7^2$.
$x_1 = \frac{9 - 7}{4} = 0,5$; $x_2 = \frac{9 + 7}{4} = 4$.
Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство $2x^2 - 9x + 4 > 0$ выполняется при $x \in (-\infty; 0,5) \cup (4; +\infty)$.
Пересекая с условием $x > -2$, получаем ОДЗ: $x \in (-2; 0,5) \cup (4; +\infty)$.
Теперь решим уравнение. Используем свойство логарифма $n \log_a b = \log_a b^n$:
$\log_{0,7}(2x^2 - 9x + 4) = \log_{0,7}((x + 2)^2)$
Приравняем аргументы логарифмов:
$2x^2 - 9x + 4 = (x + 2)^2$
$2x^2 - 9x + 4 = x^2 + 4x + 4$
$x^2 - 13x = 0$
$x(x - 13) = 0$
$x_1 = 0$, $x_2 = 13$
Проверим, принадлежат ли корни ОДЗ.
$x_1 = 0 \in (-2; 0,5)$, значит, это корень уравнения.
$x_2 = 13 \in (4; +\infty)$, значит, это тоже корень уравнения.

Ответ: $0; 13$.

4) $2\log_2(-x) - \log_2(3x + 8) = 1$

Найдем ОДЗ:
$ \begin{cases} -x > 0, \\ 3x + 8 > 0 \end{cases} $ $ \begin{cases} x < 0, \\ x > -8/3 \end{cases} $
ОДЗ: $x \in (-8/3; 0)$.
Преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов:
$\log_2((-x)^2) - \log_2(3x + 8) = 1$
$\log_2(x^2) - \log_2(3x + 8) = 1$
$\log_2\left(\frac{x^2}{3x + 8}\right) = 1$
По определению логарифма:
$\frac{x^2}{3x + 8} = 2^1$
$x^2 = 2(3x + 8)$, при условии $3x+8 \neq 0$ (что уже учтено в ОДЗ).
$x^2 = 6x + 16$
$x^2 - 6x - 16 = 0$
Используем теорему Виета: $x_1 + x_2 = 6$ и $x_1 \cdot x_2 = -16$.
Корни уравнения: $x_1 = 8$ и $x_2 = -2$.
Проверим принадлежность корней ОДЗ $x \in (-8/3; 0)$.
$x_1 = 8$ не принадлежит ОДЗ.
$x_2 = -2$ принадлежит ОДЗ, так как $-8/3 \approx -2,67$ и $-2,67 < -2 < 0$.

Ответ: $-2$.

6.11. Решите уравнение:

1) $\frac{1}{2}\log_6 (5x + 1) = \log_6 (x - 1)$;

2) $\log_5 (25^x - 2 \cdot 5^x) = 2\log_{25} 15$;

3) $\log_{\sqrt{5}} (16^x - 6) = 2 + \log_{\sqrt{5}} (4^x - 2)$;

4) $x\lg 3 - 1 = 2\lg 3 - \lg (3^x + 1)$.

1)Исходное уравнение: $\frac{1}{2}\log_6 (5x + 1) = \log_6 (x - 1)$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:$ \begin{cases} 5x + 1 > 0 \\ x - 1 > 0 \end{cases} $$ \begin{cases} 5x > -1 \\ x > 1 \end{cases} $$ \begin{cases} x > -1/5 \\ x > 1 \end{cases} $Следовательно, ОДЗ: $x > 1$.
Преобразуем левую часть уравнения, используя свойство логарифма $n \log_a b = \log_a (b^n)$:$\log_6 ((5x + 1)^{1/2}) = \log_6 (x - 1)$$\log_6 \sqrt{5x + 1} = \log_6 (x - 1)$
Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:$\sqrt{5x + 1} = x - 1$
Поскольку из ОДЗ $x > 1$, обе части уравнения неотрицательны. Возводим обе части в квадрат:$5x + 1 = (x - 1)^2$$5x + 1 = x^2 - 2x + 1$$x^2 - 2x - 5x + 1 - 1 = 0$$x^2 - 7x = 0$$x(x - 7) = 0$
Получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 7$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x > 1$):$x_1 = 0$ не удовлетворяет условию $x > 1$, следовательно, это посторонний корень.$x_2 = 7$ удовлетворяет условию $7 > 1$.
Ответ: $7$

2)Исходное уравнение: $\log_5 (25^x - 2 \cdot 5^x) = 2\log_{25} 15$.
Найдем ОДЗ:$25^x - 2 \cdot 5^x > 0$$(5^x)^2 - 2 \cdot 5^x > 0$$5^x(5^x - 2) > 0$
Так как $5^x > 0$ для любого $x$, то неравенство сводится к:$5^x - 2 > 0 \implies 5^x > 2 \implies x > \log_5 2$.
Преобразуем правую часть уравнения, используя формулу перехода к новому основанию $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$:$2\log_{25} 15 = 2\log_{5^2} 15 = 2 \cdot \frac{1}{2} \log_5 15 = \log_5 15$.
Уравнение принимает вид:$\log_5 (25^x - 2 \cdot 5^x) = \log_5 15$
Приравниваем аргументы логарифмов:$25^x - 2 \cdot 5^x = 15$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = 5^x$, где $t > 0$:$t^2 - 2t - 15 = 0$
Решаем квадратное уравнение по теореме Виета:$t_1 + t_2 = 2$$t_1 \cdot t_2 = -15$
Корни: $t_1 = 5$, $t_2 = -3$.
Корень $t_2 = -3$ не подходит, так как $t = 5^x > 0$.Возвращаемся к замене с $t_1 = 5$:$5^x = 5 \implies x = 1$.
Проверим корень на соответствие ОДЗ ($x > \log_5 2$):$1 > \log_5 2$, так как $1 = \log_5 5$, а $5 > 2$. Корень подходит.
Ответ: $1$

3)Исходное уравнение: $\log_{\sqrt{5}} (16^x - 6) = 2 + \log_{\sqrt{5}} (4^x - 2)$.
Найдем ОДЗ:$ \begin{cases} 16^x - 6 > 0 \\ 4^x - 2 > 0 \end{cases} $$ \begin{cases} (4^x)^2 > 6 \\ 4^x > 2 \end{cases} $$ \begin{cases} 4^x > \sqrt{6} \\ 4^x > 2 \end{cases} $
Так как $\sqrt{6} \approx 2.45 > 2$, то более сильным является первое неравенство. ОДЗ: $4^x > \sqrt{6}$.
Перенесем логарифм в левую часть и представим 2 в виде логарифма по основанию $\sqrt{5}$:$\log_{\sqrt{5}} (16^x - 6) - \log_{\sqrt{5}} (4^x - 2) = 2$
Используем свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a (b/c)$:$\log_{\sqrt{5}} \left(\frac{16^x - 6}{4^x - 2}\right) = 2$
По определению логарифма:$\frac{16^x - 6}{4^x - 2} = (\sqrt{5})^2$$\frac{16^x - 6}{4^x - 2} = 5$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = 4^x$, где из ОДЗ $t > \sqrt{6}$:$\frac{t^2 - 6}{t - 2} = 5$
$t^2 - 6 = 5(t - 2)$$t^2 - 6 = 5t - 10$$t^2 - 5t + 4 = 0$
Решаем квадратное уравнение. По теореме Виета: $t_1 = 1$, $t_2 = 4$.
Возвращаемся к замене:1) $4^x = 1 \implies x = 0$.2) $4^x = 4 \implies x = 1$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($4^x > \sqrt{6}$):Для $x=0$, $4^0 = 1$. Неравенство $1 > \sqrt{6}$ ложно. Корень не подходит.Для $x=1$, $4^1 = 4$. Неравенство $4 > \sqrt{6}$ истинно, так как $16 > 6$. Корень подходит.
Ответ: $1$

4)Исходное уравнение: $x\lg 3 - 1 = 2\lg 3 - \lg(3^x + 1)$.
Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть положителен:$3^x + 1 > 0$. Это неравенство выполняется для любого действительного $x$, так как $3^x > 0$.
Перенесем все члены с логарифмами в одну сторону, а остальные в другую:$x\lg 3 + \lg(3^x + 1) = 2\lg 3 + 1$
Используем свойство логарифма $n \log_a b = \log_a (b^n)$ и представим $1$ как $\lg 10$:$\lg(3^x) + \lg(3^x + 1) = \lg(3^2) + \lg 10$
Используем свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$:$\lg(3^x(3^x + 1)) = \lg(9 \cdot 10)$$\lg(3^x(3^x + 1)) = \lg(90)$
Приравниваем аргументы логарифмов:$3^x(3^x + 1) = 90$
Сделаем замену. Пусть $t = 3^x$, где $t > 0$:$t(t + 1) = 90$$t^2 + t - 90 = 0$
Решаем квадратное уравнение. По теореме Виета:$t_1 + t_2 = -1$$t_1 \cdot t_2 = -90$
Корни: $t_1 = 9$, $t_2 = -10$.
Корень $t_2 = -10$ не подходит, так как $t = 3^x > 0$.Возвращаемся к замене с $t_1 = 9$:$3^x = 9 \implies 3^x = 3^2 \implies x = 2$.
Корень $x=2$ принадлежит ОДЗ (все действительные числа).
Ответ: $2$

6.12. Решите уравнение:

1) $\frac{1}{2}\log_{0,1}(2x+3)-\log_{0,1}(2x-3)=0$;

2) $\log_3(2^{2x}+2^x)=2\log_9 12$;

3) $x-\lg 5=x\lg 5+2\lg 2-\lg (1+2^x).$

1) $\frac{1}{2}\log_{0,1}(2x + 3) - \log_{0,1}(2x - 3) = 0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком логарифма должны быть строго положительными:
$\begin{cases} 2x + 3 > 0 \\ 2x - 3 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 2x > -3 \\ 2x > 3 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -1,5 \\ x > 1,5 \end{cases}$
Следовательно, ОДЗ: $x > 1,5$.

Перенесем второе слагаемое в правую часть уравнения:
$\frac{1}{2}\log_{0,1}(2x + 3) = \log_{0,1}(2x - 3)$

Используем свойство логарифма $n \log_a b = \log_a (b^n)$:
$\log_{0,1}((2x + 3)^{\frac{1}{2}}) = \log_{0,1}(2x - 3)$
$\log_{0,1}(\sqrt{2x + 3}) = \log_{0,1}(2x - 3)$

Так как основания логарифмов равны, приравниваем выражения под знаком логарифма:
$\sqrt{2x + 3} = 2x - 3$

Возведем обе части уравнения в квадрат. Учтем, что правая часть должна быть неотрицательной: $2x - 3 \ge 0$, что совпадает с нашим ОДЗ ($x > 1,5$).
$(\sqrt{2x + 3})^2 = (2x - 3)^2$
$2x + 3 = 4x^2 - 12x + 9$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
$4x^2 - 12x - 2x + 9 - 3 = 0$
$4x^2 - 14x + 6 = 0$
Разделим обе части на 2:
$2x^2 - 7x + 3 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = 0,5$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x > 1,5$):
$x_1 = 3$ удовлетворяет условию ($3 > 1,5$).
$x_2 = 0,5$ не удовлетворяет условию ($0,5 \ngtr 1,5$).

Ответ: 3

2) $\log_3(2^{2x} + 2^x) = 2\log_9 12$

ОДЗ: $2^{2x} + 2^x > 0$. Так как $2^x > 0$ для любого $x$, то и сумма $2^{2x} + 2^x$ всегда положительна. ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$.

Преобразуем правую часть уравнения, приведя логарифм к основанию 3, используя формулу перехода к новому основанию $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$:
$2\log_9 12 = 2\log_{3^2} 12 = 2 \cdot \frac{1}{2} \log_3 12 = \log_3 12$

Теперь уравнение имеет вид:
$\log_3(2^{2x} + 2^x) = \log_3 12$

Приравниваем выражения под знаком логарифма:
$2^{2x} + 2^x = 12$
$(2^x)^2 + 2^x - 12 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$, где $t > 0$.
$t^2 + t - 12 = 0$

Решим квадратное уравнение по теореме Виета:
$t_1 + t_2 = -1$
$t_1 \cdot t_2 = -12$
Корни: $t_1 = 3$ и $t_2 = -4$.

Вернемся к замене. Корень $t_2 = -4$ не подходит, так как $t = 2^x > 0$.
Рассмотрим $t_1 = 3$:
$2^x = 3$
$x = \log_2 3$

Ответ: $\log_2 3$

3) $x - \lg 5 = x\lg 5 + 2\lg 2 - \lg(1 + 2^x)$

ОДЗ: $1 + 2^x > 0$. Это неравенство выполняется для любых действительных $x$, так как $2^x > 0$. ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$.

Сгруппируем слагаемые: содержащие $x$ в левой части, остальные — в правой.
$x - x\lg 5 = \lg 5 + 2\lg 2 - \lg(1 + 2^x)$

Вынесем $x$ за скобки в левой части и применим свойства логарифмов в обеих частях. Вспомним, что $1 = \lg 10$.
$x(1 - \lg 5) = \lg 5 + \lg(2^2) - \lg(1 + 2^x)$
$x(\lg 10 - \lg 5) = \lg 5 + \lg 4 - \lg(1 + 2^x)$

Используем свойства разности и суммы логарифмов: $\log_a b - \log_a c = \log_a(b/c)$ и $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$.
$x \lg(\frac{10}{5}) = \lg(5 \cdot 4) - \lg(1 + 2^x)$
$x \lg 2 = \lg 20 - \lg(1 + 2^x)$
$x \lg 2 = \lg\left(\frac{20}{1 + 2^x}\right)$

Применим свойство $n \log_a b = \log_a (b^n)$ к левой части:
$\lg(2^x) = \lg\left(\frac{20}{1 + 2^x}\right)$

Приравниваем выражения под знаком логарифма:
$2^x = \frac{20}{1 + 2^x}$

Сделаем замену. Пусть $t = 2^x$, где $t > 0$.
$t = \frac{20}{1 + t}$

Решим уравнение относительно $t$:
$t(1 + t) = 20$
$t + t^2 = 20$
$t^2 + t - 20 = 0$

Решим квадратное уравнение по теореме Виета:
$t_1 + t_2 = -1$
$t_1 \cdot t_2 = -20$
Корни: $t_1 = 4$ и $t_2 = -5$.

Вернемся к замене. Корень $t_2 = -5$ не подходит, так как $t = 2^x > 0$.
Рассмотрим $t_1 = 4$:
$2^x = 4$
$2^x = 2^2$
$x = 2$

Ответ: 2

6.13. Решите уравнение:

1) $\log_4 (x - 3) + \log_4 x = 1$;

2) $\log_{0,5} (4 - x) + \log_{0,5} (x - 1) = -1$;

3) $\lg (x - 2) + \lg (x - 3) = 1 - \lg 5$;

4) $\log_3 (2x - 1) + \log_3 (x - 4) = 2$;

5) $\lg \sqrt{5x - 4} + \lg \sqrt{x + 1} = 2 + \lg 0,18$;

6) $\lg (x - 1) + \lg (x - 3) = \lg (1,5x - 3)$;

7) $\log_2 (5 - x) - \log_2 (x - 1) = 1 - \log_2 (x + 2)$;

8) $2\log_5 (x + 1) - \log_5 (x + 9) = \log_5 (3x - 17)$.

1) $\log_4(x - 3) + \log_4 x = 1$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$x - 3 > 0 \Rightarrow x > 3$
$x > 0$
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x > 3$.

Используем свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$:
$\log_4((x - 3)x) = 1$

По определению логарифма $\log_a b = c \Leftrightarrow b = a^c$:
$(x - 3)x = 4^1$
$x^2 - 3x = 4$
$x^2 - 3x - 4 = 0$

Решаем квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а произведение равно -4. Корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = -1$.

Проверяем корни на соответствие ОДЗ ($x > 3$):
$x_1 = 4$ удовлетворяет условию, так как $4 > 3$.
$x_2 = -1$ не удовлетворяет условию, так как $-1 \ngtr 3$. Это посторонний корень.

Ответ: $4$

2) $\log_{0,5}(4 - x) + \log_{0,5}(x - 1) = -1$

ОДЗ:
$4 - x > 0 \Rightarrow x < 4$
$x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1$
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $1 < x < 4$.

Применяем свойство суммы логарифмов:
$\log_{0,5}((4 - x)(x - 1)) = -1$

По определению логарифма:
$(4 - x)(x - 1) = (0,5)^{-1} = (\frac{1}{2})^{-1} = 2$
$4x - 4 - x^2 + x = 2$
$-x^2 + 5x - 4 = 2$
$x^2 - 5x + 6 = 0$

Решаем квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а произведение равно 6. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.

Проверяем корни на соответствие ОДЗ ($1 < x < 4$):
$x_1 = 2$ удовлетворяет условию ($1 < 2 < 4$).
$x_2 = 3$ удовлетворяет условию ($1 < 3 < 4$).

Ответ: $2; 3$

3) $\lg(x - 2) + \lg(x - 3) = 1 - \lg 5$

ОДЗ:
$x - 2 > 0 \Rightarrow x > 2$
$x - 3 > 0 \Rightarrow x > 3$
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x > 3$.

Перенесем $\lg 5$ в левую часть и представим 1 как $\lg 10$:
$\lg(x - 2) + \lg(x - 3) + \lg 5 = 1$
$\lg((x - 2)(x - 3) \cdot 5) = \lg 10$
Другой способ: $1 - \lg 5 = \lg 10 - \lg 5 = \lg(10/5) = \lg 2$. Тогда:
$\lg((x - 2)(x - 3)) = \lg 2$

Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:
$(x - 2)(x - 3) = 2$
$x^2 - 3x - 2x + 6 = 2$
$x^2 - 5x + 4 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 5, а произведение равно 4. Корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = 1$.

Проверяем корни на соответствие ОДЗ ($x > 3$):
$x_1 = 4$ удовлетворяет условию ($4 > 3$).
$x_2 = 1$ не удовлетворяет условию ($1 \ngtr 3$).

Ответ: $4$

4) $\log_3(2x - 1) + \log_3(x - 4) = 2$

ОДЗ:
$2x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1/2$
$x - 4 > 0 \Rightarrow x > 4$
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x > 4$.

Используем свойство суммы логарифмов:
$\log_3((2x - 1)(x - 4)) = 2$

По определению логарифма:
$(2x - 1)(x - 4) = 3^2 = 9$
$2x^2 - 8x - x + 4 = 9$
$2x^2 - 9x - 5 = 0$

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:
$D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 81 + 40 = 121 = 11^2$
$x = \frac{9 \pm 11}{2 \cdot 2} = \frac{9 \pm 11}{4}$
$x_1 = \frac{9 + 11}{4} = \frac{20}{4} = 5$
$x_2 = \frac{9 - 11}{4} = \frac{-2}{4} = -0,5$

Проверяем корни на соответствие ОДЗ ($x > 4$):
$x_1 = 5$ удовлетворяет условию ($5 > 4$).
$x_2 = -0,5$ не удовлетворяет условию ($-0,5 \ngtr 4$).

Ответ: $5$

5) $\lg\sqrt{5x-4} + \lg\sqrt{x+1} = 2 + \lg 0,18$

ОДЗ (выражения под корнями должны быть строго положительными, так как они являются аргументами логарифмов):
$5x - 4 > 0 \Rightarrow x > 4/5 = 0,8$
$x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1$
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x > 0,8$.

Преобразуем уравнение. Левая часть: $\lg(\sqrt{5x-4} \cdot \sqrt{x+1}) = \lg\sqrt{(5x-4)(x+1)}$.
Правая часть: $2 + \lg 0,18 = \lg 10^2 + \lg 0,18 = \lg 100 + \lg 0,18 = \lg(100 \cdot 0,18) = \lg 18$.
Уравнение принимает вид: $\lg\sqrt{(5x-4)(x+1)} = \lg 18$.

Приравниваем аргументы логарифмов:
$\sqrt{(5x-4)(x+1)} = 18$
Возводим обе части в квадрат:
$(5x-4)(x+1) = 18^2 = 324$
$5x^2 + 5x - 4x - 4 = 324$
$5x^2 + x - 328 = 0$

Решаем квадратное уравнение:
$D = 1^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-328) = 1 + 6560 = 6561 = 81^2$
$x = \frac{-1 \pm 81}{2 \cdot 5} = \frac{-1 \pm 81}{10}$
$x_1 = \frac{-1 + 81}{10} = \frac{80}{10} = 8$
$x_2 = \frac{-1 - 81}{10} = \frac{-82}{10} = -8,2$

Проверяем корни на соответствие ОДЗ ($x > 0,8$):
$x_1 = 8$ удовлетворяет условию ($8 > 0,8$).
$x_2 = -8,2$ не удовлетворяет условию ($-8,2 \ngtr 0,8$).

Ответ: $8$

6) $\lg(x - 1) + \lg(x - 3) = \lg(1,5x - 3)$

ОДЗ:
$x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1$
$x - 3 > 0 \Rightarrow x > 3$
$1,5x - 3 > 0 \Rightarrow 1,5x > 3 \Rightarrow x > 2$
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x > 3$.

Преобразуем левую часть:
$\lg((x-1)(x-3)) = \lg(1,5x - 3)$

Приравниваем аргументы логарифмов:
$(x-1)(x-3) = 1,5x - 3$
$x^2 - 4x + 3 = 1,5x - 3$
$x^2 - 5,5x + 6 = 0$
Умножим на 2, чтобы избавиться от дроби: $2x^2 - 11x + 12 = 0$.

Решаем квадратное уравнение:
$D = (-11)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 12 = 121 - 96 = 25 = 5^2$
$x = \frac{11 \pm 5}{4}$
$x_1 = \frac{11 + 5}{4} = \frac{16}{4} = 4$
$x_2 = \frac{11 - 5}{4} = \frac{6}{4} = 1,5$

Проверяем корни на соответствие ОДЗ ($x > 3$):
$x_1 = 4$ удовлетворяет условию ($4 > 3$).
$x_2 = 1,5$ не удовлетворяет условию ($1,5 \ngtr 3$).

Ответ: $4$

7) $\log_2(5 - x) - \log_2(x - 1) = 1 - \log_2(x + 2)$

ОДЗ:
$5 - x > 0 \Rightarrow x < 5$
$x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1$
$x + 2 > 0 \Rightarrow x > -2$
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $1 < x < 5$.

Перенесем все логарифмы в левую часть и представим 1 как $\log_2 2$:
$\log_2(5 - x) - \log_2(x - 1) + \log_2(x + 2) = 1$
$\log_2\left(\frac{(5 - x)(x + 2)}{x - 1}\right) = \log_2 2$

Приравниваем аргументы логарифмов:
$\frac{(5 - x)(x + 2)}{x - 1} = 2$
$(5 - x)(x + 2) = 2(x - 1)$
$5x + 10 - x^2 - 2x = 2x - 2$
$-x^2 + 3x + 10 = 2x - 2$
$-x^2 + x + 12 = 0$
$x^2 - x - 12 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение равно -12. Корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = -3$.

Проверяем корни на соответствие ОДЗ ($1 < x < 5$):
$x_1 = 4$ удовлетворяет условию ($1 < 4 < 5$).
$x_2 = -3$ не удовлетворяет условию.

Ответ: $4$

8) $2\log_5(x + 1) - \log_5(x + 9) = \log_5(3x - 17)$

ОДЗ:
$x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1$
$x + 9 > 0 \Rightarrow x > -9$
$3x - 17 > 0 \Rightarrow 3x > 17 \Rightarrow x > 17/3$
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x > 17/3$.

Используем свойства логарифмов $k\log_a b = \log_a b^k$ и $\log_a b - \log_a c = \log_a (b/c)$:
$\log_5(x + 1)^2 - \log_5(x + 9) = \log_5(3x - 17)$
$\log_5\left(\frac{(x + 1)^2}{x + 9}\right) = \log_5(3x - 17)$

Приравниваем аргументы логарифмов:
$\frac{(x + 1)^2}{x + 9} = 3x - 17$
$(x + 1)^2 = (3x - 17)(x + 9)$
$x^2 + 2x + 1 = 3x^2 + 27x - 17x - 153$
$x^2 + 2x + 1 = 3x^2 + 10x - 153$
$2x^2 + 8x - 154 = 0$
$x^2 + 4x - 77 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна -4, а произведение равно -77. Корни: $x_1 = 7$ и $x_2 = -11$.

Проверяем корни на соответствие ОДЗ ($x > 17/3 \approx 5.67$):
$x_1 = 7$ удовлетворяет условию ($7 > 17/3$).
$x_2 = -11$ не удовлетворяет условию.

Ответ: $7$

6.14. Решите уравнение:

1) $\log_7 x + \log_7 (x + 6) = 1;$

2) $\log_3 (5 - x) + \log_3 (3 - x) = 1;$

3) $\log_{\frac{1}{2}} (4x - 1) + \log_{\frac{1}{2}} (x + 1) = \log_{0.5} 3.5;$

4) $\log_{0.6} (x + 2) + \log_{0.6} (6 - x) = \log_{0.6} (x + 8);$

5) $\log_2 (2x - 1) - \log_2 (x + 2) = 2 - \log_2 (x + 1);$

6) $2\lg (x + 1) - \lg (4x - 5) = \lg (x - 5).$

1) $\log_{7} x + \log_{7} (x + 6) = 1$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases} x > 0 \\ x + 6 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 0 \\ x > -6 \end{cases} \Rightarrow x > 0$.

Используем свойство суммы логарифмов $\log_{a} b + \log_{a} c = \log_{a} (bc)$:

$\log_{7} (x(x + 6)) = 1$

По определению логарифма ($\log_{a} b = c \Leftrightarrow a^c = b$):

$x(x + 6) = 7^1$

$x^2 + 6x = 7$

$x^2 + 6x - 7 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = -7$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x > 0$):

$x_1 = 1$ — удовлетворяет условию $1 > 0$.

$x_2 = -7$ — не удовлетворяет условию $-7 > 0$, это посторонний корень.

Ответ: 1

2) $\log_{3} (5 - x) + \log_{3} (3 - x) = 1$

ОДЗ:

$\begin{cases} 5 - x > 0 \\ 3 - x > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 5 \\ x < 3 \end{cases} \Rightarrow x < 3$.

Применим свойство суммы логарифмов:

$\log_{3} ((5 - x)(3 - x)) = 1$

По определению логарифма:

$(5 - x)(3 - x) = 3^1$

$15 - 5x - 3x + x^2 = 3$

$x^2 - 8x + 15 = 3$

$x^2 - 8x + 12 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 2$, $x_2 = 6$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x < 3$):

$x_1 = 2$ — удовлетворяет условию $2 < 3$.

$x_2 = 6$ — не удовлетворяет условию $6 < 3$, это посторонний корень.

Ответ: 2

3) $\log_{\frac{1}{2}} (4x - 1) + \log_{\frac{1}{2}} (x + 1) = \log_{0,5} 3,5$

Заметим, что основание логарифмов одинаковое, так как $\frac{1}{2} = 0,5$.

ОДЗ:

$\begin{cases} 4x - 1 > 0 \\ x + 1 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 4x > 1 \\ x > -1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > \frac{1}{4} \\ x > -1 \end{cases} \Rightarrow x > \frac{1}{4}$.

Используем свойство суммы логарифмов:

$\log_{0,5} ((4x - 1)(x + 1)) = \log_{0,5} 3,5$

Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:

$(4x - 1)(x + 1) = 3,5$

$4x^2 + 4x - x - 1 = 3,5$

$4x^2 + 3x - 1 - 3,5 = 0$

$4x^2 + 3x - 4,5 = 0$

Умножим уравнение на 2, чтобы избавиться от дробей:

$8x^2 + 6x - 9 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-9) = 36 + 288 = 324 = 18^2$.

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 \pm 18}{2 \cdot 8} = \frac{-6 \pm 18}{16}$

$x_1 = \frac{-6 + 18}{16} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}$

$x_2 = \frac{-6 - 18}{16} = \frac{-24}{16} = -\frac{3}{2}$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x > \frac{1}{4}$):

$x_1 = \frac{3}{4}$ — удовлетворяет условию $\frac{3}{4} > \frac{1}{4}$.

$x_2 = -\frac{3}{2}$ — не удовлетворяет условию, посторонний корень.

Ответ: $\frac{3}{4}$

4) $\log_{0,6} (x + 2) + \log_{0,6} (6 - x) = \log_{0,6} (x + 8)$

ОДЗ:

$\begin{cases} x + 2 > 0 \\ 6 - x > 0 \\ x + 8 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > -2 \\ x < 6 \\ x > -8 \end{cases} \Rightarrow -2 < x < 6$.

Применим свойство суммы логарифмов в левой части уравнения:

$\log_{0,6} ((x + 2)(6 - x)) = \log_{0,6} (x + 8)$

Приравниваем аргументы логарифмов:

$(x + 2)(6 - x) = x + 8$

$6x - x^2 + 12 - 2x = x + 8$

$-x^2 + 4x + 12 = x + 8$

Перенесем все члены в правую часть:

$0 = x^2 - 3x - 4$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни: $x_1 = 4$, $x_2 = -1$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($-2 < x < 6$):

$x_1 = 4$ — удовлетворяет условию $-2 < 4 < 6$.

$x_2 = -1$ — удовлетворяет условию $-2 < -1 < 6$.

Оба корня подходят.

Ответ: -1; 4

5) $\log_{2} (2x - 1) - \log_{2} (x + 2) = 2 - \log_{2} (x + 1)$

ОДЗ:

$\begin{cases} 2x - 1 > 0 \\ x + 2 > 0 \\ x + 1 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > \frac{1}{2} \\ x > -2 \\ x > -1 \end{cases} \Rightarrow x > \frac{1}{2}$.

Перенесем все логарифмы в левую часть и представим 2 как логарифм по основанию 2:

$\log_{2} (2x - 1) - \log_{2} (x + 2) + \log_{2} (x + 1) = 2$

Используем свойства логарифмов ($\log_{a} b - \log_{a} c = \log_{a} \frac{b}{c}$ и $\log_{a} b + \log_{a} c = \log_{a} (bc)$):

$\log_{2} \frac{(2x - 1)(x + 1)}{x + 2} = 2$

По определению логарифма:

$\frac{(2x - 1)(x + 1)}{x + 2} = 2^2$

$\frac{2x^2 + 2x - x - 1}{x + 2} = 4$

$\frac{2x^2 + x - 1}{x + 2} = 4$

$2x^2 + x - 1 = 4(x + 2)$

$2x^2 + x - 1 = 4x + 8$

$2x^2 - 3x - 9 = 0$

Решим квадратное уравнение: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 9 + 72 = 81 = 9^2$.

$x_{1,2} = \frac{3 \pm 9}{4}$

$x_1 = \frac{3 + 9}{4} = \frac{12}{4} = 3$

$x_2 = \frac{3 - 9}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x > \frac{1}{2}$):

$x_1 = 3$ — удовлетворяет условию $3 > \frac{1}{2}$.

$x_2 = -\frac{3}{2}$ — не удовлетворяет условию, посторонний корень.

Ответ: 3

6) $2\lg (x + 1) - \lg (4x - 5) = \lg (x - 5)$

ОДЗ ($\lg$ - это десятичный логарифм $\log_{10}$):

$\begin{cases} x + 1 > 0 \\ 4x - 5 > 0 \\ x - 5 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > -1 \\ x > \frac{5}{4} \\ x > 5 \end{cases} \Rightarrow x > 5$.

Перенесем логарифмы и используем свойства логарифма ($n\log_a b = \log_a b^n$):

$\lg (x + 1)^2 = \lg (x - 5) + \lg (4x - 5)$

$\lg (x + 1)^2 = \lg ((x - 5)(4x - 5))$

Приравниваем аргументы:

$(x + 1)^2 = (x - 5)(4x - 5)$

$x^2 + 2x + 1 = 4x^2 - 5x - 20x + 25$

$x^2 + 2x + 1 = 4x^2 - 25x + 25$

$0 = 3x^2 - 27x + 24$

Разделим уравнение на 3:

$x^2 - 9x + 8 = 0$

По теореме Виета, корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 8$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x > 5$):

$x_1 = 1$ — не удовлетворяет условию $1 > 5$, посторонний корень.

$x_2 = 8$ — удовлетворяет условию $8 > 5$.

Ответ: 8

6.15. Решите уравнение:

1) $\log_3 (5^x + 2) + \log_3 (5^x - 1) = 2 + \log_3 2;$

2) $\log_2 (2^x + 3) + \log_2 (5 - 2^x) = 4.$

1) $\log_3(5^x + 2) + \log_3(5^x - 1) = 2 + \log_3 2$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases} 5^x + 2 > 0 \\ 5^x - 1 > 0 \end{cases}$

Первое неравенство $5^x + 2 > 0$ выполняется для любого действительного $x$, так как $5^x > 0$.

Решим второе неравенство: $5^x - 1 > 0 \implies 5^x > 1 \implies 5^x > 5^0 \implies x > 0$.

Таким образом, ОДЗ: $x > 0$.

Преобразуем уравнение, используя свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$:

$\log_3((5^x + 2)(5^x - 1)) = 2 + \log_3 2$

Представим число 2 в виде логарифма по основанию 3: $2 = 2 \cdot \log_3 3 = \log_3 3^2 = \log_3 9$.

Тогда правая часть уравнения примет вид:

$2 + \log_3 2 = \log_3 9 + \log_3 2 = \log_3(9 \cdot 2) = \log_3 18$

Теперь уравнение выглядит так:

$\log_3((5^x + 2)(5^x - 1)) = \log_3 18$

Так как основания логарифмов равны, мы можем приравнять их аргументы:

$(5^x + 2)(5^x - 1) = 18$

Для решения этого уравнения введем замену. Пусть $t = 5^x$. Так как из ОДЗ мы знаем, что $x > 0$, то $t = 5^x > 5^0 = 1$.

Получаем квадратное уравнение относительно $t$:

$(t + 2)(t - 1) = 18$

$t^2 - t + 2t - 2 = 18$

$t^2 + t - 20 = 0$

Решим это уравнение с помощью теоремы Виета или дискриминанта. Корни: $t_1 = 4$ и $t_2 = -5$.

Проверим корни на соответствие условию $t > 1$.

Корень $t_1 = 4$ удовлетворяет условию ($4 > 1$).

Корень $t_2 = -5$ не удовлетворяет условию, так как $5^x$ не может быть отрицательным. Этот корень посторонний.

Выполним обратную замену для $t = 4$:

$5^x = 4$

По определению логарифма, $x = \log_5 4$.

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ ($x > 0$). Так как $4 > 1$, то $\log_5 4 > \log_5 1 = 0$. Корень подходит.

Ответ: $ \log_5 4 $.

2) $\log_2(2^x + 3) + \log_2(5 - 2^x) = 4$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$\begin{cases} 2^x + 3 > 0 \\ 5 - 2^x > 0 \end{cases}$

Первое неравенство $2^x + 3 > 0$ верно для любого $x$, так как $2^x > 0$.

Решим второе неравенство: $5 - 2^x > 0 \implies 2^x < 5 \implies x < \log_2 5$.

ОДЗ: $x < \log_2 5$.

Используем свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$:

$\log_2((2^x + 3)(5 - 2^x)) = 4$

По определению логарифма:

$(2^x + 3)(5 - 2^x) = 2^4$

$(2^x + 3)(5 - 2^x) = 16$

Сделаем замену. Пусть $t = 2^x$. Из ОДЗ следует, что $2^x < 5$, значит $t < 5$. Также $t = 2^x > 0$. Итак, $0 < t < 5$.

Подставим $t$ в уравнение:

$(t + 3)(5 - t) = 16$

Раскроем скобки: $5t - t^2 + 15 - 3t = 16$

$-t^2 + 2t + 15 - 16 = 0$

$-t^2 + 2t - 1 = 0$

Умножим обе части на -1:

$t^2 - 2t + 1 = 0$

Это полный квадрат разности: $(t - 1)^2 = 0$.

Отсюда $t - 1 = 0$, следовательно, $t = 1$.

Проверим, удовлетворяет ли корень $t = 1$ условию $0 < t < 5$. Да, $0 < 1 < 5$, корень подходит.

Выполним обратную замену:

$2^x = 1$

$2^x = 2^0$

$x = 0$

Проверим, принадлежит ли найденный корень ОДЗ ($x < \log_2 5$). Так как $\log_2 5 > \log_2 1 = 0$, то неравенство $0 < \log_2 5$ верно. Корень подходит.

Ответ: $0$.