Номер 6.15, страница 50 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 6. Логарифмические уравнения. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 6.15, страница 50.

6.15. Решите уравнение:

1) $\log_3 (5^x + 2) + \log_3 (5^x - 1) = 2 + \log_3 2;$

2) $\log_2 (2^x + 3) + \log_2 (5 - 2^x) = 4.$

1) $\log_3(5^x + 2) + \log_3(5^x - 1) = 2 + \log_3 2$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases} 5^x + 2 > 0 \\ 5^x - 1 > 0 \end{cases}$

Первое неравенство $5^x + 2 > 0$ выполняется для любого действительного $x$, так как $5^x > 0$.

Решим второе неравенство: $5^x - 1 > 0 \implies 5^x > 1 \implies 5^x > 5^0 \implies x > 0$.

Таким образом, ОДЗ: $x > 0$.

Преобразуем уравнение, используя свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$:

$\log_3((5^x + 2)(5^x - 1)) = 2 + \log_3 2$

Представим число 2 в виде логарифма по основанию 3: $2 = 2 \cdot \log_3 3 = \log_3 3^2 = \log_3 9$.

Тогда правая часть уравнения примет вид:

$2 + \log_3 2 = \log_3 9 + \log_3 2 = \log_3(9 \cdot 2) = \log_3 18$

Теперь уравнение выглядит так:

$\log_3((5^x + 2)(5^x - 1)) = \log_3 18$

Так как основания логарифмов равны, мы можем приравнять их аргументы:

$(5^x + 2)(5^x - 1) = 18$

Для решения этого уравнения введем замену. Пусть $t = 5^x$. Так как из ОДЗ мы знаем, что $x > 0$, то $t = 5^x > 5^0 = 1$.

Получаем квадратное уравнение относительно $t$:

$(t + 2)(t - 1) = 18$

$t^2 - t + 2t - 2 = 18$

$t^2 + t - 20 = 0$

Решим это уравнение с помощью теоремы Виета или дискриминанта. Корни: $t_1 = 4$ и $t_2 = -5$.

Проверим корни на соответствие условию $t > 1$.

Корень $t_1 = 4$ удовлетворяет условию ($4 > 1$).

Корень $t_2 = -5$ не удовлетворяет условию, так как $5^x$ не может быть отрицательным. Этот корень посторонний.

Выполним обратную замену для $t = 4$:

$5^x = 4$

По определению логарифма, $x = \log_5 4$.

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ ($x > 0$). Так как $4 > 1$, то $\log_5 4 > \log_5 1 = 0$. Корень подходит.

Ответ: $ \log_5 4 $.

2) $\log_2(2^x + 3) + \log_2(5 - 2^x) = 4$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$\begin{cases} 2^x + 3 > 0 \\ 5 - 2^x > 0 \end{cases}$

Первое неравенство $2^x + 3 > 0$ верно для любого $x$, так как $2^x > 0$.

Решим второе неравенство: $5 - 2^x > 0 \implies 2^x < 5 \implies x < \log_2 5$.

ОДЗ: $x < \log_2 5$.

Используем свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$:

$\log_2((2^x + 3)(5 - 2^x)) = 4$

По определению логарифма:

$(2^x + 3)(5 - 2^x) = 2^4$

$(2^x + 3)(5 - 2^x) = 16$

Сделаем замену. Пусть $t = 2^x$. Из ОДЗ следует, что $2^x < 5$, значит $t < 5$. Также $t = 2^x > 0$. Итак, $0 < t < 5$.

Подставим $t$ в уравнение:

$(t + 3)(5 - t) = 16$

Раскроем скобки: $5t - t^2 + 15 - 3t = 16$

$-t^2 + 2t + 15 - 16 = 0$

$-t^2 + 2t - 1 = 0$

Умножим обе части на -1:

$t^2 - 2t + 1 = 0$

Это полный квадрат разности: $(t - 1)^2 = 0$.

Отсюда $t - 1 = 0$, следовательно, $t = 1$.

Проверим, удовлетворяет ли корень $t = 1$ условию $0 < t < 5$. Да, $0 < 1 < 5$, корень подходит.

Выполним обратную замену:

$2^x = 1$

$2^x = 2^0$

$x = 0$

Проверим, принадлежит ли найденный корень ОДЗ ($x < \log_2 5$). Так как $\log_2 5 > \log_2 1 = 0$, то неравенство $0 < \log_2 5$ верно. Корень подходит.

Ответ: $0$.