Номер 6.14, страница 50 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 6. Логарифмические уравнения. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 6.14, страница 50.

6.14. Решите уравнение:

1) $\log_7 x + \log_7 (x + 6) = 1;$

2) $\log_3 (5 - x) + \log_3 (3 - x) = 1;$

3) $\log_{\frac{1}{2}} (4x - 1) + \log_{\frac{1}{2}} (x + 1) = \log_{0.5} 3.5;$

4) $\log_{0.6} (x + 2) + \log_{0.6} (6 - x) = \log_{0.6} (x + 8);$

5) $\log_2 (2x - 1) - \log_2 (x + 2) = 2 - \log_2 (x + 1);$

6) $2\lg (x + 1) - \lg (4x - 5) = \lg (x - 5).$

1) $\log_{7} x + \log_{7} (x + 6) = 1$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases} x > 0 \\ x + 6 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 0 \\ x > -6 \end{cases} \Rightarrow x > 0$.

Используем свойство суммы логарифмов $\log_{a} b + \log_{a} c = \log_{a} (bc)$:

$\log_{7} (x(x + 6)) = 1$

По определению логарифма ($\log_{a} b = c \Leftrightarrow a^c = b$):

$x(x + 6) = 7^1$

$x^2 + 6x = 7$

$x^2 + 6x - 7 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = -7$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x > 0$):

$x_1 = 1$ — удовлетворяет условию $1 > 0$.

$x_2 = -7$ — не удовлетворяет условию $-7 > 0$, это посторонний корень.

Ответ: 1

2) $\log_{3} (5 - x) + \log_{3} (3 - x) = 1$

ОДЗ:

$\begin{cases} 5 - x > 0 \\ 3 - x > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 5 \\ x < 3 \end{cases} \Rightarrow x < 3$.

Применим свойство суммы логарифмов:

$\log_{3} ((5 - x)(3 - x)) = 1$

По определению логарифма:

$(5 - x)(3 - x) = 3^1$

$15 - 5x - 3x + x^2 = 3$

$x^2 - 8x + 15 = 3$

$x^2 - 8x + 12 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 2$, $x_2 = 6$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x < 3$):

$x_1 = 2$ — удовлетворяет условию $2 < 3$.

$x_2 = 6$ — не удовлетворяет условию $6 < 3$, это посторонний корень.

Ответ: 2

3) $\log_{\frac{1}{2}} (4x - 1) + \log_{\frac{1}{2}} (x + 1) = \log_{0,5} 3,5$

Заметим, что основание логарифмов одинаковое, так как $\frac{1}{2} = 0,5$.

ОДЗ:

$\begin{cases} 4x - 1 > 0 \\ x + 1 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 4x > 1 \\ x > -1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > \frac{1}{4} \\ x > -1 \end{cases} \Rightarrow x > \frac{1}{4}$.

Используем свойство суммы логарифмов:

$\log_{0,5} ((4x - 1)(x + 1)) = \log_{0,5} 3,5$

Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:

$(4x - 1)(x + 1) = 3,5$

$4x^2 + 4x - x - 1 = 3,5$

$4x^2 + 3x - 1 - 3,5 = 0$

$4x^2 + 3x - 4,5 = 0$

Умножим уравнение на 2, чтобы избавиться от дробей:

$8x^2 + 6x - 9 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-9) = 36 + 288 = 324 = 18^2$.

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 \pm 18}{2 \cdot 8} = \frac{-6 \pm 18}{16}$

$x_1 = \frac{-6 + 18}{16} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}$

$x_2 = \frac{-6 - 18}{16} = \frac{-24}{16} = -\frac{3}{2}$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x > \frac{1}{4}$):

$x_1 = \frac{3}{4}$ — удовлетворяет условию $\frac{3}{4} > \frac{1}{4}$.

$x_2 = -\frac{3}{2}$ — не удовлетворяет условию, посторонний корень.

Ответ: $\frac{3}{4}$

4) $\log_{0,6} (x + 2) + \log_{0,6} (6 - x) = \log_{0,6} (x + 8)$

ОДЗ:

$\begin{cases} x + 2 > 0 \\ 6 - x > 0 \\ x + 8 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > -2 \\ x < 6 \\ x > -8 \end{cases} \Rightarrow -2 < x < 6$.

Применим свойство суммы логарифмов в левой части уравнения:

$\log_{0,6} ((x + 2)(6 - x)) = \log_{0,6} (x + 8)$

Приравниваем аргументы логарифмов:

$(x + 2)(6 - x) = x + 8$

$6x - x^2 + 12 - 2x = x + 8$

$-x^2 + 4x + 12 = x + 8$

Перенесем все члены в правую часть:

$0 = x^2 - 3x - 4$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни: $x_1 = 4$, $x_2 = -1$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($-2 < x < 6$):

$x_1 = 4$ — удовлетворяет условию $-2 < 4 < 6$.

$x_2 = -1$ — удовлетворяет условию $-2 < -1 < 6$.

Оба корня подходят.

Ответ: -1; 4

5) $\log_{2} (2x - 1) - \log_{2} (x + 2) = 2 - \log_{2} (x + 1)$

ОДЗ:

$\begin{cases} 2x - 1 > 0 \\ x + 2 > 0 \\ x + 1 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > \frac{1}{2} \\ x > -2 \\ x > -1 \end{cases} \Rightarrow x > \frac{1}{2}$.

Перенесем все логарифмы в левую часть и представим 2 как логарифм по основанию 2:

$\log_{2} (2x - 1) - \log_{2} (x + 2) + \log_{2} (x + 1) = 2$

Используем свойства логарифмов ($\log_{a} b - \log_{a} c = \log_{a} \frac{b}{c}$ и $\log_{a} b + \log_{a} c = \log_{a} (bc)$):

$\log_{2} \frac{(2x - 1)(x + 1)}{x + 2} = 2$

По определению логарифма:

$\frac{(2x - 1)(x + 1)}{x + 2} = 2^2$

$\frac{2x^2 + 2x - x - 1}{x + 2} = 4$

$\frac{2x^2 + x - 1}{x + 2} = 4$

$2x^2 + x - 1 = 4(x + 2)$

$2x^2 + x - 1 = 4x + 8$

$2x^2 - 3x - 9 = 0$

Решим квадратное уравнение: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 9 + 72 = 81 = 9^2$.

$x_{1,2} = \frac{3 \pm 9}{4}$

$x_1 = \frac{3 + 9}{4} = \frac{12}{4} = 3$

$x_2 = \frac{3 - 9}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x > \frac{1}{2}$):

$x_1 = 3$ — удовлетворяет условию $3 > \frac{1}{2}$.

$x_2 = -\frac{3}{2}$ — не удовлетворяет условию, посторонний корень.

Ответ: 3

6) $2\lg (x + 1) - \lg (4x - 5) = \lg (x - 5)$

ОДЗ ($\lg$ - это десятичный логарифм $\log_{10}$):

$\begin{cases} x + 1 > 0 \\ 4x - 5 > 0 \\ x - 5 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > -1 \\ x > \frac{5}{4} \\ x > 5 \end{cases} \Rightarrow x > 5$.

Перенесем логарифмы и используем свойства логарифма ($n\log_a b = \log_a b^n$):

$\lg (x + 1)^2 = \lg (x - 5) + \lg (4x - 5)$

$\lg (x + 1)^2 = \lg ((x - 5)(4x - 5))$

Приравниваем аргументы:

$(x + 1)^2 = (x - 5)(4x - 5)$

$x^2 + 2x + 1 = 4x^2 - 5x - 20x + 25$

$x^2 + 2x + 1 = 4x^2 - 25x + 25$

$0 = 3x^2 - 27x + 24$

Разделим уравнение на 3:

$x^2 - 9x + 8 = 0$

По теореме Виета, корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 8$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x > 5$):

$x_1 = 1$ — не удовлетворяет условию $1 > 5$, посторонний корень.

$x_2 = 8$ — удовлетворяет условию $8 > 5$.

Ответ: 8