Номер 6.16, страница 51 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 6. Логарифмические уравнения. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 6.16, страница 51.

6.16. Решите уравнение:

1) $log_{\sqrt{3}}(2^x - 3) + log_{\sqrt{3}}(2^x - 1) = 2;$

2) $lg(3^x - 4) + lg(3^x - 2) = 1.$

1) $ \log_{\sqrt{3}}(2^x - 3) + \log_{\sqrt{3}}(2^x - 1) = 2 $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$ \begin{cases} 2^x - 3 > 0 \\ 2^x - 1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 2^x > 3 \\ 2^x > 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x > \log_2{3} \\ x > 0 \end{cases} $
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $ x > \log_2{3} $.

Используем свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием $ \log_a{b} + \log_a{c} = \log_a{(bc)} $:
$ \log_{\sqrt{3}}{((2^x - 3)(2^x - 1))} = 2 $

По определению логарифма ($ \log_a{b} = c \iff a^c = b $):
$ (2^x - 3)(2^x - 1) = (\sqrt{3})^2 $
$ (2^x - 3)(2^x - 1) = 3 $

Сделаем замену переменной. Пусть $ t = 2^x $. Учитывая ОДЗ, $ t = 2^x > 3 $.
Получаем уравнение:
$ (t - 3)(t - 1) = 3 $
$ t^2 - t - 3t + 3 = 3 $
$ t^2 - 4t = 0 $
$ t(t - 4) = 0 $
Корни уравнения: $ t_1 = 0 $ и $ t_2 = 4 $.

Проверим корни на соответствие условию $ t > 3 $:
$ t_1 = 0 $ не удовлетворяет условию $ 0 > 3 $, это посторонний корень.
$ t_2 = 4 $ удовлетворяет условию $ 4 > 3 $.

Выполним обратную замену:
$ 2^x = 4 $
$ 2^x = 2^2 $
$ x = 2 $

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ ($ x > \log_2{3} $).
Так как $ 4 > 3 $, то $ \log_2{4} > \log_2{3} $.
$ 2 > \log_2{3} $. Корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $ 2 $.

2) $ \lg(3^x - 4) + \lg(3^x - 2) = 1 $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). $ \lg $ - это десятичный логарифм ($ \log_{10} $).
$ \begin{cases} 3^x - 4 > 0 \\ 3^x - 2 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 3^x > 4 \\ 3^x > 2 \end{cases} \implies \begin{cases} x > \log_3{4} \\ x > \log_3{2} \end{cases} $
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $ x > \log_3{4} $.

Используем свойство суммы логарифмов:
$ \lg{((3^x - 4)(3^x - 2))} = 1 $

По определению логарифма:
$ (3^x - 4)(3^x - 2) = 10^1 $
$ (3^x - 4)(3^x - 2) = 10 $

Сделаем замену переменной. Пусть $ t = 3^x $. Учитывая ОДЗ, $ t = 3^x > 4 $.
Получаем уравнение:
$ (t - 4)(t - 2) = 10 $
$ t^2 - 2t - 4t + 8 = 10 $
$ t^2 - 6t - 2 = 0 $

Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$ D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 36 + 8 = 44 $
$ t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{44}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{11}}{2} = 3 \pm \sqrt{11} $
Корни: $ t_1 = 3 + \sqrt{11} $ и $ t_2 = 3 - \sqrt{11} $.

Проверим корни на соответствие условию $ t > 4 $:
$ t_1 = 3 + \sqrt{11} $. Так как $ \sqrt{11} > \sqrt{9} = 3 $, то $ 3 + \sqrt{11} > 3 + 3 = 6 $. Этот корень удовлетворяет условию $ t > 4 $.
$ t_2 = 3 - \sqrt{11} $. Так как $ \sqrt{11} > 3 $, то $ 3 - \sqrt{11} < 0 $. Этот корень не удовлетворяет условию $ t > 4 $, это посторонний корень.

Выполним обратную замену для подходящего корня $ t = 3 + \sqrt{11} $:
$ 3^x = 3 + \sqrt{11} $
$ x = \log_3{(3 + \sqrt{11})} $

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ ($ x > \log_3{4} $).
Для этого сравним $ 3 + \sqrt{11} $ и $ 4 $.
$ \sqrt{11} $ и $ 1 $.
Так как $ 11 > 1 $, то $ \sqrt{11} > 1 $, следовательно $ 3 + \sqrt{11} > 4 $.
Значит, $ \log_3{(3 + \sqrt{11})} > \log_3{4} $. Корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $ \log_3{(3 + \sqrt{11})} $.