Номер 6.10, страница 50 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 6. Логарифмические уравнения. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 6.10, страница 50.

6.10. Решите уравнение:

1) $log_6 (9 - x^2) = log_6 (1 - 2x);$

2) $lg (x^2 + 2x - 3) = lg (2x^2 - 2);$

3) $log_{0,7} (2x^2 - 9x + 4) = 2log_{0,7} (x + 2);$

4) $2log_2 (-x) - log_2 (3x + 8) = 1.$

1) $\log_6(9 - x^2) = \log_6(1 - 2x)$

Данное уравнение равносильно системе:
$ \begin{cases} 9 - x^2 = 1 - 2x, \\ 1 - 2x > 0 \end{cases} $
Решим сначала уравнение:
$9 - x^2 = 1 - 2x$
$x^2 - 2x - 8 = 0$
Используем теорему Виета: $x_1 + x_2 = 2$ и $x_1 \cdot x_2 = -8$.
Корни уравнения: $x_1 = 4$ и $x_2 = -2$.
Теперь проверим выполнение условия $1 - 2x > 0$ (это также гарантирует, что и $9 - x^2 > 0$ для найденных корней).
Для $x_1 = 4$:
$1 - 2 \cdot 4 = 1 - 8 = -7$. Условие $-7 > 0$ не выполняется, следовательно, $x=4$ - посторонний корень.
Для $x_2 = -2$:
$1 - 2 \cdot (-2) = 1 + 4 = 5$. Условие $5 > 0$ выполняется, следовательно, $x=-2$ является решением уравнения.

Ответ: $-2$.

2) $\lg(x^2 + 2x - 3) = \lg(2x^2 - 2)$

Уравнение равносильно системе, где мы потребуем, чтобы аргумент одного из логарифмов был положителен, так как из равенства логарифмов будет следовать и положительность второго аргумента.
$ \begin{cases} x^2 + 2x - 3 = 2x^2 - 2, \\ x^2 + 2x - 3 > 0 \end{cases} $
Решим уравнение:
$x^2 - 2x + 1 = 0$
$(x - 1)^2 = 0$
$x = 1$
Проверим найденный корень, подставив его в неравенство $x^2 + 2x - 3 > 0$:
$1^2 + 2 \cdot 1 - 3 = 1 + 2 - 3 = 0$.
Получаем $0 > 0$, что является неверным. Следовательно, корень $x=1$ не входит в область допустимых значений.

Ответ: нет корней.

3) $\log_{0,7}(2x^2 - 9x + 4) = 2\log_{0,7}(x + 2)$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ):
$ \begin{cases} 2x^2 - 9x + 4 > 0, \\ x + 2 > 0 \end{cases} $
Из второго неравенства: $x > -2$.
Для первого неравенства найдем корни квадратного трехчлена $2x^2 - 9x + 4 = 0$.
$D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 81 - 32 = 49 = 7^2$.
$x_1 = \frac{9 - 7}{4} = 0,5$; $x_2 = \frac{9 + 7}{4} = 4$.
Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство $2x^2 - 9x + 4 > 0$ выполняется при $x \in (-\infty; 0,5) \cup (4; +\infty)$.
Пересекая с условием $x > -2$, получаем ОДЗ: $x \in (-2; 0,5) \cup (4; +\infty)$.
Теперь решим уравнение. Используем свойство логарифма $n \log_a b = \log_a b^n$:
$\log_{0,7}(2x^2 - 9x + 4) = \log_{0,7}((x + 2)^2)$
Приравняем аргументы логарифмов:
$2x^2 - 9x + 4 = (x + 2)^2$
$2x^2 - 9x + 4 = x^2 + 4x + 4$
$x^2 - 13x = 0$
$x(x - 13) = 0$
$x_1 = 0$, $x_2 = 13$
Проверим, принадлежат ли корни ОДЗ.
$x_1 = 0 \in (-2; 0,5)$, значит, это корень уравнения.
$x_2 = 13 \in (4; +\infty)$, значит, это тоже корень уравнения.

Ответ: $0; 13$.

4) $2\log_2(-x) - \log_2(3x + 8) = 1$

Найдем ОДЗ:
$ \begin{cases} -x > 0, \\ 3x + 8 > 0 \end{cases} $ $ \begin{cases} x < 0, \\ x > -8/3 \end{cases} $
ОДЗ: $x \in (-8/3; 0)$.
Преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов:
$\log_2((-x)^2) - \log_2(3x + 8) = 1$
$\log_2(x^2) - \log_2(3x + 8) = 1$
$\log_2\left(\frac{x^2}{3x + 8}\right) = 1$
По определению логарифма:
$\frac{x^2}{3x + 8} = 2^1$
$x^2 = 2(3x + 8)$, при условии $3x+8 \neq 0$ (что уже учтено в ОДЗ).
$x^2 = 6x + 16$
$x^2 - 6x - 16 = 0$
Используем теорему Виета: $x_1 + x_2 = 6$ и $x_1 \cdot x_2 = -16$.
Корни уравнения: $x_1 = 8$ и $x_2 = -2$.
Проверим принадлежность корней ОДЗ $x \in (-8/3; 0)$.
$x_1 = 8$ не принадлежит ОДЗ.
$x_2 = -2$ принадлежит ОДЗ, так как $-8/3 \approx -2,67$ и $-2,67 < -2 < 0$.

Ответ: $-2$.