Номер 6.20, страница 51 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 6. Логарифмические уравнения. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 6.20, страница 51.

6.20. Решите уравнение:

1) $\frac{2\log_2 x}{\log_2 (3 - 2x)} = 1;$

2) $\frac{\log_5 (x^2 - 9x + 25) - 1}{\lg (x - 3)} = 0;$

3) $\log_{x - 1} (x^2 - 5x + 7) = 1;$

4) $\log_x (x + 6) = 2;$

5) $\log_{2x - 3} (3x^2 - 7x + 3) = 2.$

1) Дано уравнение $\frac{2\log_2 x}{\log_2(3-2x)} = 1$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть положительны, а знаменатель не должен быть равен нулю.
Система условий:
1. $x > 0$
2. $3 - 2x > 0 \implies 2x < 3 \implies x < 1.5$
3. $\log_2(3-2x) \neq 0 \implies 3 - 2x \neq 2^0 \implies 3 - 2x \neq 1 \implies 2x \neq 2 \implies x \neq 1$
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \in (0; 1) \cup (1; 1.5)$.
Теперь решим уравнение. Умножим обе части на знаменатель:
$2\log_2 x = \log_2(3-2x)$
Применим свойство логарифма $n \cdot \log_a b = \log_a b^n$:
$\log_2 x^2 = \log_2(3-2x)$
Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:
$x^2 = 3 - 2x$
$x^2 + 2x - 3 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -2, а произведение -3. Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = -3$.
Проверим, входят ли корни в ОДЗ.
$x_1 = 1$ не входит в ОДЗ, так как $x \neq 1$.
$x_2 = -3$ не входит в ОДЗ, так как $x > 0$.
Следовательно, у уравнения нет решений.
Ответ: Нет решений.

2) Дано уравнение $\frac{\log_5(x^2-9x+25)-1}{\lg(x-3)} = 0$.
Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
Найдем ОДЗ:
1. Аргумент логарифма в числителе: $x^2-9x+25 > 0$. Дискриминант $D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 81 - 100 = -19$. Так как $D < 0$ и старший коэффициент положителен, выражение всегда больше нуля.
2. Аргумент логарифма в знаменателе: $x-3 > 0 \implies x > 3$.
3. Знаменатель не равен нулю: $\lg(x-3) \neq 0 \implies x-3 \neq 10^0 \implies x-3 \neq 1 \implies x \neq 4$.
ОДЗ: $x \in (3; 4) \cup (4; \infty)$.
Приравняем числитель к нулю:
$\log_5(x^2-9x+25) - 1 = 0$
$\log_5(x^2-9x+25) = 1$
По определению логарифма:
$x^2-9x+25 = 5^1$
$x^2-9x+20 = 0$
Корни этого квадратного уравнения: $x_1 = 4$, $x_2 = 5$.
Проверим корни по ОДЗ:
$x_1 = 4$ не входит в ОДЗ.
$x_2 = 5$ входит в ОДЗ ($5 \in (3; 4) \cup (4; \infty)$).
Ответ: 5.

3) Дано уравнение $\log_{x-1}(x^2-5x+7) = 1$.
Найдем ОДЗ:
1. Аргумент логарифма: $x^2-5x+7 > 0$. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 25 - 28 = -3$. Так как $D < 0$ и старший коэффициент положителен, выражение всегда больше нуля.
2. Основание логарифма больше нуля: $x-1 > 0 \implies x > 1$.
3. Основание логарифма не равно единице: $x-1 \neq 1 \implies x \neq 2$.
ОДЗ: $x \in (1; 2) \cup (2; \infty)$.
Решаем уравнение по определению логарифма:
$x^2-5x+7 = (x-1)^1$
$x^2-5x+7 = x-1$
$x^2-6x+8 = 0$
Корни этого квадратного уравнения: $x_1 = 2$, $x_2 = 4$.
Проверим корни по ОДЗ:
$x_1 = 2$ не входит в ОДЗ.
$x_2 = 4$ входит в ОДЗ ($4 \in (1; 2) \cup (2; \infty)$).
Ответ: 4.

4) Дано уравнение $\log_x(x+6) = 2$.
Найдем ОДЗ:
1. Аргумент логарифма: $x+6 > 0 \implies x > -6$.
2. Основание логарифма больше нуля: $x > 0$.
3. Основание логарифма не равно единице: $x \neq 1$.
ОДЗ: $x \in (0; 1) \cup (1; \infty)$.
Решаем уравнение по определению логарифма:
$x+6 = x^2$
$x^2-x-6=0$
Корни этого квадратного уравнения: $x_1 = 3$, $x_2 = -2$.
Проверим корни по ОДЗ:
$x_1 = 3$ входит в ОДЗ ($3 \in (0; 1) \cup (1; \infty)$).
$x_2 = -2$ не входит в ОДЗ.
Ответ: 3.

5) Дано уравнение $\log_{2x-3}(3x^2-7x+3) = 2$.
Найдем ОДЗ:
1. Аргумент логарифма: $3x^2-7x+3 > 0$. Найдем корни $3x^2-7x+3=0$: $D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 49-36=13$. Корни $x = \frac{7 \pm \sqrt{13}}{6}$. Неравенство верно при $x \in (-\infty; \frac{7-\sqrt{13}}{6}) \cup (\frac{7+\sqrt{13}}{6}; \infty)$.
2. Основание логарифма больше нуля: $2x-3 > 0 \implies x > 1.5$.
3. Основание логарифма не равно единице: $2x-3 \neq 1 \implies 2x \neq 4 \implies x \neq 2$.
Так как $\frac{7+\sqrt{13}}{6} \approx \frac{7+3.6}{6} \approx 1.77$, то пересечение условий $x > 1.5$ и $x \in (-\infty; \frac{7-\sqrt{13}}{6}) \cup (\frac{7+\sqrt{13}}{6}; \infty)$ дает $x > \frac{7+\sqrt{13}}{6}$.
Итоговое ОДЗ: $x \in (\frac{7+\sqrt{13}}{6}; 2) \cup (2; \infty)$.
Решаем уравнение по определению логарифма:
$3x^2-7x+3 = (2x-3)^2$
$3x^2-7x+3 = 4x^2-12x+9$
$x^2-5x+6 = 0$
Корни этого квадратного уравнения: $x_1 = 2$, $x_2 = 3$.
Проверим корни по ОДЗ:
$x_1 = 2$ не входит в ОДЗ.
$x_2 = 3$. Проверим, входит ли 3 в ОДЗ. $3 > \frac{7+\sqrt{13}}{6} \iff 18 > 7+\sqrt{13} \iff 11 > \sqrt{13} \iff 121 > 13$. Это верно. Также $3 \neq 2$. Значит, $x_2 = 3$ входит в ОДЗ.
Ответ: 3.