Страница 57 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

7.22. Решите неравенство:

1) $\log_{\frac{7}{4}} \log_5 (x^2 - 2x - 3) \le 0;$

2) $\log_{0.8} \log_2 \frac{3x - 1}{2 - x} > 0.$

1) Решим неравенство $\log_{\frac{7}{4}} \log_5 (x^2 - 2x - 3) \le 0$.

Данное неравенство равносильно системе неравенств. Во-первых, аргумент каждого логарифма должен быть строго положительным. Это формирует область допустимых значений (ОДЗ):

$ \begin{cases} x^2 - 2x - 3 > 0 \\ \log_5 (x^2 - 2x - 3) > 0 \end{cases} $

Второе неравенство является более строгим, так как если $\log_5 A > 0$, то и $A > 1$, что автоматически влечет за собой $A > 0$. Решим второе неравенство. Так как основание логарифма $5 > 1$, функция возрастающая, и знак неравенства сохраняется:

$\log_5 (x^2 - 2x - 3) > \log_5(1)$

$x^2 - 2x - 3 > 1$

$x^2 - 2x - 4 > 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 2x - 4 = 0$ с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 4 + 16 = 20$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 1 \pm \sqrt{5}$

Парабола $y = x^2 - 2x - 4$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется за пределами корней. ОДЗ: $x \in (-\infty; 1 - \sqrt{5}) \cup (1 + \sqrt{5}; +\infty)$.

Теперь решим исходное неравенство. Основание внешнего логарифма $\frac{7}{4} = 1.75 > 1$, поэтому логарифмическая функция возрастающая, и при потенцировании знак неравенства не меняется:

$\log_5 (x^2 - 2x - 3) \le \left(\frac{7}{4}\right)^0$

$\log_5 (x^2 - 2x - 3) \le 1$

Основание внутреннего логарифма $5 > 1$, функция также возрастающая, знак неравенства сохраняется:

$x^2 - 2x - 3 \le 5^1$

$x^2 - 2x - 8 \le 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 8 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 4$ и $x_2 = -2$.

Парабола $y = x^2 - 2x - 8$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями: $x \in [-2; 4]$.

Окончательное решение является пересечением найденного множества с ОДЗ:

$[-2; 4] \cap \left( (-\infty; 1 - \sqrt{5}) \cup (1 + \sqrt{5}; +\infty) \right)$

Для определения пересечения оценим значения корней: $\sqrt{5} \approx 2.236$. Тогда $1 - \sqrt{5} \approx -1.236$ и $1 + \sqrt{5} \approx 3.236$.

Пересечение интервала $[-2; 4]$ с $(-\infty; 1 - \sqrt{5})$ дает $[-2; 1 - \sqrt{5})$.

Пересечение интервала $[-2; 4]$ с $(1 + \sqrt{5}; +\infty)$ дает $(1 + \sqrt{5}; 4]$.

Объединяя эти два результата, получаем окончательное решение.

Ответ: $x \in [-2; 1-\sqrt{5}) \cup (1+\sqrt{5}; 4]$.

2) Решим неравенство $\log_{0.8} \log_2 \frac{3x - 1}{2 - x} > 0$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы обоих логарифмов должны быть строго положительными:

$ \begin{cases} \frac{3x - 1}{2 - x} > 0 \\ \log_2 \frac{3x - 1}{2 - x} > 0 \end{cases} $

Второе неравенство является более строгим. Решим его. Основание логарифма $2 > 1$, поэтому функция возрастающая, и знак неравенства сохраняется:

$\log_2 \frac{3x - 1}{2 - x} > \log_2(1)$

$\frac{3x - 1}{2 - x} > 1$

$\frac{3x - 1}{2 - x} - 1 > 0$

$\frac{3x - 1 - (2 - x)}{2 - x} > 0$

$\frac{4x - 3}{2 - x} > 0$

Решим это рациональное неравенство методом интервалов. Нули числителя: $x = \frac{3}{4}$. Нуль знаменателя: $x = 2$. Нанесем эти точки на числовую ось и определим знаки выражения на полученных интервалах. Выражение положительно при $x \in (\frac{3}{4}; 2)$. Это и есть ОДЗ.

Теперь вернемся к исходному неравенству. Основание внешнего логарифма $0.8 < 1$, поэтому логарифмическая функция убывающая. При потенцировании знак неравенства меняется на противоположный:

$\log_2 \frac{3x - 1}{2 - x} < (0.8)^0$

$\log_2 \frac{3x - 1}{2 - x} < 1$

Основание внутреннего логарифма $2 > 1$, функция возрастающая, поэтому знак неравенства сохраняется:

$\frac{3x - 1}{2 - x} < 2^1$

$\frac{3x - 1}{2 - x} - 2 < 0$

$\frac{3x - 1 - 2(2 - x)}{2 - x} < 0$

$\frac{3x - 1 - 4 + 2x}{2 - x} < 0$

$\frac{5x - 5}{2 - x} < 0$

Решим полученное неравенство методом интервалов. Нули числителя: $x=1$. Нуль знаменателя: $x=2$. Выражение отрицательно при $x \in (-\infty; 1) \cup (2; +\infty)$.

Итоговое решение — это пересечение множества $x \in (-\infty; 1) \cup (2; +\infty)$ с ОДЗ $x \in (\frac{3}{4}; 2)$.

Пересечение этих множеств дает интервал $(\frac{3}{4}; 1)$.

Ответ: $x \in (\frac{3}{4}; 1)$.

7.23. Найдите производную функции:

1) $y = (x - 1)\sqrt[3]{x}$;

2) $y = \frac{x - 1}{x^2 + 1}$;

3) $y = \sqrt{2 - 5x}$.

1) Для нахождения производной функции $y = (x-1)\sqrt[3]{x}$ можно использовать правило производной произведения, но удобнее сначала упростить выражение. Представим корень в виде степени и раскроем скобки:

$y = (x-1)x^{1/3} = x \cdot x^{1/3} - 1 \cdot x^{1/3} = x^{1+\frac{1}{3}} - x^{1/3} = x^{4/3} - x^{1/3}$

Теперь найдем производную как производную разности, используя формулу для степенной функции $(x^n)'=nx^{n-1}$:

$y' = (x^{4/3} - x^{1/3})' = (x^{4/3})' - (x^{1/3})'$

$y' = \frac{4}{3}x^{\frac{4}{3}-1} - \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}-1} = \frac{4}{3}x^{1/3} - \frac{1}{3}x^{-2/3}$

Упростим полученное выражение, приведя его к общему знаменателю и записав степени в виде корней:

$y' = \frac{4\sqrt[3]{x}}{3} - \frac{1}{3x^{2/3}} = \frac{4\sqrt[3]{x}}{3} - \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} = \frac{4\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x^2} - 1}{3\sqrt[3]{x^2}} = \frac{4\sqrt[3]{x^3} - 1}{3\sqrt[3]{x^2}} = \frac{4x - 1}{3\sqrt[3]{x^2}}$

Ответ: $y' = \frac{4x-1}{3\sqrt[3]{x^2}}$

2) Для нахождения производной функции $y = \frac{x-1}{x^2+1}$ воспользуемся правилом дифференцирования частного (дроби): $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

В данном случае числитель $u = x-1$ и знаменатель $v = x^2+1$.

Найдем их производные:

$u' = (x-1)' = 1$

$v' = (x^2+1)' = 2x$

Теперь подставим эти значения в формулу производной частного:

$y' = \frac{(x-1)'(x^2+1) - (x-1)(x^2+1)'}{(x^2+1)^2} = \frac{1 \cdot (x^2+1) - (x-1) \cdot 2x}{(x^2+1)^2}$

Упростим выражение в числителе:

$y' = \frac{x^2+1 - (2x^2 - 2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{x^2+1 - 2x^2 + 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{-x^2 + 2x + 1}{(x^2+1)^2}$

Ответ: $y' = \frac{-x^2+2x+1}{(x^2+1)^2}$

3) Для нахождения производной функции $y = \sqrt{2-5x}$ используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило), которое гласит: $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

Представим функцию в виде $y = (2-5x)^{1/2}$.

Здесь внешняя функция $f(u) = u^{1/2}$, а внутренняя функция $g(x) = 2-5x$.

Найдем их производные:

Производная внешней функции: $f'(u) = (u^{1/2})' = \frac{1}{2}u^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{u}}$.

Производная внутренней функции: $g'(x) = (2-5x)' = -5$.

Теперь применим цепное правило, подставляя $u = 2-5x$:

$y' = (\sqrt{2-5x})' = \frac{1}{2\sqrt{2-5x}} \cdot (2-5x)' = \frac{1}{2\sqrt{2-5x}} \cdot (-5)$

Упростим полученное выражение:

$y' = -\frac{5}{2\sqrt{2-5x}}$

Ответ: $y' = -\frac{5}{2\sqrt{2-5x}}$

7.24. На графике функции $y = x^3 - 2x^2$ найдите точки, в которых касательная к графику параллельна прямой $y = -x + 11$.

Для того чтобы касательная к графику функции была параллельна заданной прямой, их угловые коэффициенты должны быть равны. Угловой коэффициент касательной в точке равен значению производной функции в этой точке.

1. Найдем угловой коэффициент прямой $y = -x + 11$. Это уравнение прямой вида $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент. Следовательно, $k = -1$.

2. Найдем производную функции $y = x^3 - 2x^2$.

$y' = (x^3 - 2x^2)' = 3x^2 - 4x$.

3. Приравняем производную к угловому коэффициенту $k = -1$, чтобы найти абсциссы $x_0$ точек касания.

$y'(x_0) = -1$

$3x_0^2 - 4x_0 = -1$

$3x_0^2 - 4x_0 + 1 = 0$

4. Решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 - 2}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 + 2}{6} = \frac{6}{6} = 1$.

Мы нашли абсциссы двух точек, в которых касательная параллельна данной прямой.

5. Найдем ординаты этих точек, подставив найденные значения $x$ в исходное уравнение функции $y = x^3 - 2x^2$.

Для $x_1 = \frac{1}{3}$:

$y_1 = \left(\frac{1}{3}\right)^3 - 2\left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{27} - 2 \cdot \frac{1}{9} = \frac{1}{27} - \frac{2}{9} = \frac{1}{27} - \frac{6}{27} = -\frac{5}{27}$.

Таким образом, первая точка имеет координаты $\left(\frac{1}{3}, -\frac{5}{27}\right)$.

Для $x_2 = 1$:

$y_2 = 1^3 - 2 \cdot 1^2 = 1 - 2 = -1$.

Таким образом, вторая точка имеет координаты $(1, -1)$.

Ответ: $\left(\frac{1}{3}, -\frac{5}{27}\right)$, $(1, -1)$.

7.25. Найдите промежутки возрастания, убывания и экстремумы функции

$y = \frac{x}{x^2 + 1}$

Для нахождения промежутков возрастания, убывания и экстремумов функции $y = \frac{x}{x^2 + 1}$ необходимо исследовать ее производную.

1. Нахождение области определения. Знаменатель $x^2 + 1$ всегда больше нуля ($x^2 \ge 0 \implies x^2 + 1 \ge 1$), поэтому область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Нахождение производной. Используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$y' = \left(\frac{x}{x^2 + 1}\right)' = \frac{(x)'(x^2 + 1) - x(x^2 + 1)'}{(x^2 + 1)^2} = \frac{1 \cdot (x^2 + 1) - x \cdot (2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{x^2 + 1 - 2x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}$.

3. Нахождение критических точек. Приравняем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки. Производная определена на всей числовой оси.

$y' = 0 \implies \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2} = 0$.

Дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю:

$1 - x^2 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x_1 = -1, x_2 = 1$.

Критические точки $x = -1$ и $x = 1$ разбивают числовую ось на интервалы: $(-\infty; -1)$, $(-1; 1)$ и $(1; +\infty)$.

4. Определение знака производной. Знак производной $y'$ зависит только от знака числителя $1 - x^2$, так как знаменатель $(x^2 + 1)^2$ всегда положителен.

• На интервале $(-\infty; -1)$ (например, при $x=-2$): $1 - (-2)^2 = -3 < 0$, значит $y' < 0$.

• На интервале $(-1; 1)$ (например, при $x=0$): $1 - 0^2 = 1 > 0$, значит $y' > 0$.

• На интервале $(1; +\infty)$ (например, при $x=2$): $1 - 2^2 = -3 < 0$, значит $y' < 0$.

Теперь определим промежутки монотонности и экстремумы.

Функция возрастает, когда ее производная положительна, т.е. $y' > 0$. Это происходит на интервале $(-1, 1)$. Поскольку функция непрерывна во всех точках, включая $x=-1$ и $x=1$, эти точки можно включить в промежуток возрастания.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[-1, 1]$.

Функция убывает, когда ее производная отрицательна, т.е. $y' < 0$. Это происходит на интервалах $(-\infty, -1)$ и $(1, +\infty)$. Включаем концы промежутков из-за непрерывности функции.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[1, +\infty]$.

Экстремумы находятся в критических точках, где производная меняет знак.

В точке $x = -1$ производная меняет знак с «–» на «+». Следовательно, это точка локального минимума. Найдем значение функции в этой точке:

$y_{min} = y(-1) = \frac{-1}{(-1)^2 + 1} = \frac{-1}{1+1} = -\frac{1}{2}$.

В точке $x = 1$ производная меняет знак с «+» на «–». Следовательно, это точка локального максимума. Найдем значение функции в этой точке:

$y_{max} = y(1) = \frac{1}{1^2 + 1} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$.

Ответ: точка минимума $(-1, -1/2)$; точка максимума $(1, 1/2)$.