Номер 7.22, страница 57 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 7. Логарифмические неравенства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 7.22, страница 57.

7.22. Решите неравенство:

1) $\log_{\frac{7}{4}} \log_5 (x^2 - 2x - 3) \le 0;$

2) $\log_{0.8} \log_2 \frac{3x - 1}{2 - x} > 0.$

1) Решим неравенство $\log_{\frac{7}{4}} \log_5 (x^2 - 2x - 3) \le 0$.

Данное неравенство равносильно системе неравенств. Во-первых, аргумент каждого логарифма должен быть строго положительным. Это формирует область допустимых значений (ОДЗ):

$ \begin{cases} x^2 - 2x - 3 > 0 \\ \log_5 (x^2 - 2x - 3) > 0 \end{cases} $

Второе неравенство является более строгим, так как если $\log_5 A > 0$, то и $A > 1$, что автоматически влечет за собой $A > 0$. Решим второе неравенство. Так как основание логарифма $5 > 1$, функция возрастающая, и знак неравенства сохраняется:

$\log_5 (x^2 - 2x - 3) > \log_5(1)$

$x^2 - 2x - 3 > 1$

$x^2 - 2x - 4 > 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 2x - 4 = 0$ с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 4 + 16 = 20$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 1 \pm \sqrt{5}$

Парабола $y = x^2 - 2x - 4$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется за пределами корней. ОДЗ: $x \in (-\infty; 1 - \sqrt{5}) \cup (1 + \sqrt{5}; +\infty)$.

Теперь решим исходное неравенство. Основание внешнего логарифма $\frac{7}{4} = 1.75 > 1$, поэтому логарифмическая функция возрастающая, и при потенцировании знак неравенства не меняется:

$\log_5 (x^2 - 2x - 3) \le \left(\frac{7}{4}\right)^0$

$\log_5 (x^2 - 2x - 3) \le 1$

Основание внутреннего логарифма $5 > 1$, функция также возрастающая, знак неравенства сохраняется:

$x^2 - 2x - 3 \le 5^1$

$x^2 - 2x - 8 \le 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 8 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 4$ и $x_2 = -2$.

Парабола $y = x^2 - 2x - 8$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями: $x \in [-2; 4]$.

Окончательное решение является пересечением найденного множества с ОДЗ:

$[-2; 4] \cap \left( (-\infty; 1 - \sqrt{5}) \cup (1 + \sqrt{5}; +\infty) \right)$

Для определения пересечения оценим значения корней: $\sqrt{5} \approx 2.236$. Тогда $1 - \sqrt{5} \approx -1.236$ и $1 + \sqrt{5} \approx 3.236$.

Пересечение интервала $[-2; 4]$ с $(-\infty; 1 - \sqrt{5})$ дает $[-2; 1 - \sqrt{5})$.

Пересечение интервала $[-2; 4]$ с $(1 + \sqrt{5}; +\infty)$ дает $(1 + \sqrt{5}; 4]$.

Объединяя эти два результата, получаем окончательное решение.

Ответ: $x \in [-2; 1-\sqrt{5}) \cup (1+\sqrt{5}; 4]$.

---

2) Решим неравенство $\log_{0.8} \log_2 \frac{3x - 1}{2 - x} > 0$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы обоих логарифмов должны быть строго положительными:

$ \begin{cases} \frac{3x - 1}{2 - x} > 0 \\ \log_2 \frac{3x - 1}{2 - x} > 0 \end{cases} $

Второе неравенство является более строгим. Решим его. Основание логарифма $2 > 1$, поэтому функция возрастающая, и знак неравенства сохраняется:

$\log_2 \frac{3x - 1}{2 - x} > \log_2(1)$

$\frac{3x - 1}{2 - x} > 1$

$\frac{3x - 1}{2 - x} - 1 > 0$

$\frac{3x - 1 - (2 - x)}{2 - x} > 0$

$\frac{4x - 3}{2 - x} > 0$

Решим это рациональное неравенство методом интервалов. Нули числителя: $x = \frac{3}{4}$. Нуль знаменателя: $x = 2$. Нанесем эти точки на числовую ось и определим знаки выражения на полученных интервалах. Выражение положительно при $x \in (\frac{3}{4}; 2)$. Это и есть ОДЗ.

Теперь вернемся к исходному неравенству. Основание внешнего логарифма $0.8 < 1$, поэтому логарифмическая функция убывающая. При потенцировании знак неравенства меняется на противоположный:

$\log_2 \frac{3x - 1}{2 - x} < (0.8)^0$

$\log_2 \frac{3x - 1}{2 - x} < 1$

Основание внутреннего логарифма $2 > 1$, функция возрастающая, поэтому знак неравенства сохраняется:

$\frac{3x - 1}{2 - x} < 2^1$

$\frac{3x - 1}{2 - x} - 2 < 0$

$\frac{3x - 1 - 2(2 - x)}{2 - x} < 0$

$\frac{3x - 1 - 4 + 2x}{2 - x} < 0$

$\frac{5x - 5}{2 - x} < 0$

Решим полученное неравенство методом интервалов. Нули числителя: $x=1$. Нуль знаменателя: $x=2$. Выражение отрицательно при $x \in (-\infty; 1) \cup (2; +\infty)$.

Итоговое решение — это пересечение множества $x \in (-\infty; 1) \cup (2; +\infty)$ с ОДЗ $x \in (\frac{3}{4}; 2)$.

Пересечение этих множеств дает интервал $(\frac{3}{4}; 1)$.

Ответ: $x \in (\frac{3}{4}; 1)$.