Номер 7.18, страница 56 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 7. Логарифмические неравенства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 7.18, страница 56.

7.18. Решите неравенство:

1) $log^2_{0.5} x \ge 9;$

2) $lg^2 x - 2lg x - 3 \ge 0;$

3) $2log^2_4 x - log_4 x - 1 < 0;$

4) $log^2_{0.2} x - log_{0.2} x - 2 \le 0.$

1) $\log_{0,5}^2 x \ge 9$

Область допустимых значений (ОДЗ) логарифма: $x > 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_{0,5} x$. Неравенство примет вид:

$t^2 \ge 9$

$t^2 - 9 \ge 0$

$(t - 3)(t + 3) \ge 0$

Решением этого квадратного неравенства является совокупность $t \le -3$ или $t \ge 3$.

Выполним обратную замену:

$\log_{0,5} x \le -3$ или $\log_{0,5} x \ge 3$.

Решим каждое неравенство. Так как основание логарифма $0,5 < 1$, то при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный.

Из $\log_{0,5} x \le -3$ следует $x \ge (0,5)^{-3} = (\frac{1}{2})^{-3} = 2^3 = 8$.

Из $\log_{0,5} x \ge 3$ следует $x \le (0,5)^3 = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$.

Объединяя решения и учитывая ОДЗ ($x>0$), получаем: $0 < x \le \frac{1}{8}$ или $x \ge 8$.

Ответ: $x \in (0; \frac{1}{8}] \cup [8; +\infty)$.

2) $\lg^2 x - 2\lg x - 3 \ge 0$

ОДЗ: $x > 0$. (Здесь $\lg x$ это $\log_{10} x$)

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \lg x$. Неравенство примет вид:

$t^2 - 2t - 3 \ge 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $t^2 - 2t - 3 = 0$. По теореме Виета, корни $t_1 = 3$ и $t_2 = -1$.

Неравенство можно записать как $(t - 3)(t + 1) \ge 0$. Решением является $t \le -1$ или $t \ge 3$.

Выполним обратную замену:

$\lg x \le -1$ или $\lg x \ge 3$.

Решим каждое неравенство. Так как основание логарифма $10 > 1$, знак неравенства сохраняется.

Из $\lg x \le -1$ следует $x \le 10^{-1} = 0,1$.

Из $\lg x \ge 3$ следует $x \ge 10^3 = 1000$.

Учитывая ОДЗ ($x > 0$), получаем: $0 < x \le 0,1$ или $x \ge 1000$.

Ответ: $x \in (0; 0,1] \cup [1000; +\infty)$.

3) $2\log_4^2 x - \log_4 x - 1 < 0$

ОДЗ: $x > 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_4 x$. Неравенство примет вид:

$2t^2 - t - 1 < 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $2t^2 - t - 1 = 0$. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$.

Корни $t_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm 3}{4}$. То есть $t_1 = 1$ и $t_2 = -\frac{1}{2}$.

Неравенство можно записать как $2(t - 1)(t + \frac{1}{2}) < 0$. Решением является $-\frac{1}{2} < t < 1$.

Выполним обратную замену:

$-\frac{1}{2} < \log_4 x < 1$

Это двойное неравенство эквивалентно системе:

$\begin{cases} \log_4 x < 1 \\ \log_4 x > -\frac{1}{2} \end{cases}$

Так как основание логарифма $4 > 1$, знак неравенства сохраняется.

Из $\log_4 x < 1$ следует $x < 4^1 = 4$.

Из $\log_4 x > -\frac{1}{2}$ следует $x > 4^{-1/2} = (2^2)^{-1/2} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$.

Объединяя решения, получаем $\frac{1}{2} < x < 4$. Это решение удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x \in (\frac{1}{2}; 4)$.

4) $\log_{0,2}^2 x - \log_{0,2} x - 2 \le 0$

ОДЗ: $x > 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_{0,2} x$. Неравенство примет вид:

$t^2 - t - 2 \le 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $t^2 - t - 2 = 0$. По теореме Виета, корни $t_1 = 2$ и $t_2 = -1$.

Неравенство можно записать как $(t - 2)(t + 1) \le 0$. Решением является $-1 \le t \le 2$.

Выполним обратную замену:

$-1 \le \log_{0,2} x \le 2$

Это двойное неравенство. Так как основание логарифма $0,2 < 1$, знаки неравенства меняются на противоположные.

$(0,2)^2 \le x \le (0,2)^{-1}$

$( \frac{1}{5} )^2 \le x \le ( \frac{1}{5} )^{-1}$

$\frac{1}{25} \le x \le 5$

Или, в десятичных дробях: $0,04 \le x \le 5$. Это решение удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x \in [0,04; 5]$.