Номер 7.14, страница 55 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 7. Логарифмические неравенства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 7.14, страница 55.

7.14. Решите неравенство:

1) $ \log_{\frac{2}{3}} (6 - 2x) < \log_{\frac{2}{3}} (x^2 - 2x - 3); $

2) $ \log_{0,1} (x^2 - 3x - 4) \geq \log_{0,1} (x + 1); $

3) $ 2\log_2 (x + 5) \leq 3 + \log_2 (11 + x); $

4) $ \lg (2x^2 - 9x + 4) \leq 2\lg (x + 2). $

1) $\log_{\frac{2}{3}}(6-2x) < \log_{\frac{2}{3}}(x^2 - 2x - 3)$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$\begin{cases} 6 - 2x > 0 \\ x^2 - 2x - 3 > 0 \end{cases}$
Решим первое неравенство:
$6 > 2x$
$x < 3$
Решим второе неравенство. Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$. Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство $x^2 - 2x - 3 > 0$ выполняется при $x \in (-\infty, -1) \cup (3, \infty)$.
Теперь найдем пересечение решений: $x < 3$ и $x \in (-\infty, -1) \cup (3, \infty)$.
Область допустимых значений: $x \in (-\infty, -1)$.

Теперь решим само логарифмическое неравенство. Основание логарифма $a = \frac{2}{3}$. Так как $0 < \frac{2}{3} < 1$, то логарифмическая функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный:
$6 - 2x > x^2 - 2x - 3$
$6 > x^2 - 3$
$9 > x^2$
$x^2 - 9 < 0$
$(x-3)(x+3) < 0$
Решением этого неравенства является интервал $x \in (-3, 3)$.

Найдем пересечение полученного решения $x \in (-3, 3)$ с ОДЗ: $x \in (-\infty, -1)$.
Пересечением является интервал $(-3, -1)$.

Ответ: $x \in (-3, -1)$.

2) $\log_{0,1}(x^2 - 3x - 4) \ge \log_{0,1}(x + 1)$

Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} x^2 - 3x - 4 > 0 \\ x + 1 > 0 \end{cases}$
Решим первое неравенство. Корни уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$ равны $x_1 = 4$ и $x_2 = -1$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому $x^2 - 3x - 4 > 0$ при $x \in (-\infty, -1) \cup (4, \infty)$.
Решим второе неравенство: $x + 1 > 0 \implies x > -1$.
Найдем пересечение решений: $x > -1$ и $x \in (-\infty, -1) \cup (4, \infty)$.
Область допустимых значений: $x \in (4, \infty)$.

Решим неравенство. Основание логарифма $a = 0,1$. Так как $0 < 0,1 < 1$, логарифмическая функция убывающая, поэтому знак неравенства меняется на противоположный:
$x^2 - 3x - 4 \le x + 1$
$x^2 - 4x - 5 \le 0$
Найдем корни уравнения $x^2 - 4x - 5 = 0$. Корни $x_1 = 5$ и $x_2 = -1$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство $x^2 - 4x - 5 \le 0$ выполняется при $x \in [-1, 5]$.

Найдем пересечение решения $x \in [-1, 5]$ с ОДЗ: $x \in (4, \infty)$.
Пересечением является полуинтервал $(4, 5]$.

Ответ: $x \in (4, 5]$.

3) $2\log_2(x+5) \le 3 + \log_2(11+x)$

Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} x + 5 > 0 \\ 11 + x > 0 \end{cases}$
$\begin{cases} x > -5 \\ x > -11 \end{cases}$
Область допустимых значений: $x \in (-5, \infty)$.

Преобразуем неравенство, используя свойства логарифмов:
$2\log_2(x+5) - \log_2(11+x) \le 3$
$\log_2((x+5)^2) - \log_2(11+x) \le 3$
$\log_2\left(\frac{(x+5)^2}{11+x}\right) \le 3$
Представим число 3 в виде логарифма по основанию 2: $3 = \log_2(2^3) = \log_2(8)$.
$\log_2\left(\frac{(x+5)^2}{11+x}\right) \le \log_2(8)$
Основание логарифма $a = 2 > 1$, логарифмическая функция возрастающая, поэтому знак неравенства сохраняется:
$\frac{(x+5)^2}{11+x} \le 8$
В области ОДЗ $x > -5$, поэтому знаменатель $11+x > 11-5 = 6 > 0$. Можем умножить обе части неравенства на $(11+x)$, не меняя знака:
$(x+5)^2 \le 8(11+x)$
$x^2 + 10x + 25 \le 88 + 8x$
$x^2 + 2x - 63 \le 0$
Корни уравнения $x^2 + 2x - 63 = 0$ равны $x_1 = 7$ и $x_2 = -9$. Ветви параболы вверх, поэтому решение неравенства: $x \in [-9, 7]$.

Найдем пересечение решения $x \in [-9, 7]$ с ОДЗ: $x \in (-5, \infty)$.
Пересечением является полуинтервал $(-5, 7]$.

Ответ: $x \in (-5, 7]$.

4) $\lg(2x^2 - 9x + 4) \le 2\lg(x+2)$

Найдем ОДЗ (здесь $\lg$ - десятичный логарифм, $\log_{10}$):
$\begin{cases} 2x^2 - 9x + 4 > 0 \\ x + 2 > 0 \end{cases}$
Решим первое неравенство. Корни уравнения $2x^2 - 9x + 4 = 0$ равны $x_1 = 4$ и $x_2 = \frac{1}{2}$. Ветви параболы вверх, поэтому $2x^2 - 9x + 4 > 0$ при $x \in (-\infty, \frac{1}{2}) \cup (4, \infty)$.
Решим второе неравенство: $x + 2 > 0 \implies x > -2$.
Найдем пересечение решений: $x > -2$ и $x \in (-\infty, \frac{1}{2}) \cup (4, \infty)$.
Область допустимых значений: $x \in (-2, \frac{1}{2}) \cup (4, \infty)$.

Преобразуем неравенство:
$\lg(2x^2 - 9x + 4) \le \lg((x+2)^2)$
Основание логарифма $a = 10 > 1$, функция возрастающая, знак неравенства сохраняется:
$2x^2 - 9x + 4 \le (x+2)^2$
$2x^2 - 9x + 4 \le x^2 + 4x + 4$
$x^2 - 13x \le 0$
$x(x-13) \le 0$
Решением этого неравенства является отрезок $x \in [0, 13]$.

Найдем пересечение решения $x \in [0, 13]$ с ОДЗ: $x \in (-2, \frac{1}{2}) \cup (4, \infty)$.
Пересечение $x \in [0, 13]$ с первым интервалом ОДЗ $(-2, \frac{1}{2})$ дает $[0, \frac{1}{2})$.
Пересечение $x \in [0, 13]$ со вторым интервалом ОДЗ $(4, \infty)$ дает $(4, 13]$.
Объединяя эти два результата, получаем итоговое решение.

Ответ: $x \in [0, \frac{1}{2}) \cup (4, 13]$.