Номер 7.11, страница 55 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 7. Логарифмические неравенства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 7.11, страница 55.

7.11. Найдите множество решений неравенства:

1) $log_{8} (x^{2} - 4x + 3) \le 1;$

2) $log_{0.5} (x^{2} + x) > -1;$

3) $log_{0.7} (x^{2} + 10x + 25) > 0;$

4) $log_{2} (x^{2} - 3x) \le 2;$

5) $log_{2} \frac{4x - 5}{4x + 7} > 0;$

6) $\lg \frac{x^{2} - 1}{(x - 2)^{2}} > 0;$

7) $log_{3} \frac{2x + 5}{x + 1} \le 1;$

8) $log_{4} \frac{3x - 1}{x} \le 0.5.$

1) $\log_8 (x^2 - 4x + 3) \le 1$

Данное неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} x^2 - 4x + 3 > 0 \\ x^2 - 4x + 3 \le 8^1 \end{cases} $

Решим первое неравенство (область допустимых значений):

$x^2 - 4x + 3 > 0$

Найдём корни уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = 1$, $x_2 = 3$.

Так как ветви параболы $y = x^2 - 4x + 3$ направлены вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 1) \cup (3, \infty)$.

Решим второе неравенство:

$x^2 - 4x + 3 \le 8$

$x^2 - 4x - 5 \le 0$

Найдём корни уравнения $x^2 - 4x - 5 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = -1$, $x_2 = 5$.

Так как ветви параболы $y = x^2 - 4x - 5$ направлены вверх, неравенство выполняется при $x \in [-1, 5]$.

Теперь найдём пересечение решений системы:

$([-1, 5]) \cap ((-\infty, 1) \cup (3, \infty))$

Пересечение даёт множество $[-1, 1) \cup (3, 5]$.

Ответ: $x \in [-1, 1) \cup (3, 5]$.

2) $\log_{0.5} (x^2 + x) > -1$

Так как основание логарифма $0.5 < 1$, неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} x^2 + x > 0 \\ x^2 + x < (0.5)^{-1} \end{cases} $

Решим первое неравенство (ОДЗ):

$x^2 + x > 0 \implies x(x+1) > 0$. Корни: $x=0, x=-1$. Решение: $x \in (-\infty, -1) \cup (0, \infty)$.

Решим второе неравенство:

$x^2 + x < 2 \implies x^2 + x - 2 < 0$. Корни уравнения $x^2 + x - 2=0$: $x_1 = -2, x_2 = 1$. Решение: $x \in (-2, 1)$.

Найдём пересечение множеств $(-\infty, -1) \cup (0, \infty)$ и $(-2, 1)$.

Пересечение даёт множество $(-2, -1) \cup (0, 1)$.

Ответ: $x \in (-2, -1) \cup (0, 1)$.

3) $\log_{0.7} (x^2 + 10x + 25) > 0$

Перепишем неравенство: $\log_{0.7} (x+5)^2 > 0$.

Так как основание логарифма $0.7 < 1$, неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} (x+5)^2 > 0 \\ (x+5)^2 < (0.7)^0 \end{cases} $

Первое неравенство $(x+5)^2 > 0$ выполняется для всех $x$, кроме $x=-5$.

Второе неравенство: $(x+5)^2 < 1$.

Это равносильно $|x+5| < 1$, или $-1 < x+5 < 1$.

Вычитая 5 из всех частей, получаем $-6 < x < -4$.

Объединяя условия, получаем решение $x \in (-6, -4)$, исключая точку $x=-5$.

Ответ: $x \in (-6, -5) \cup (-5, -4)$.

4) $\log_2 (x^2 - 3x) \le 2$

Так как основание логарифма $2 > 1$, неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} x^2 - 3x > 0 \\ x^2 - 3x \le 2^2 \end{cases} $

Решим первое неравенство (ОДЗ):

$x^2 - 3x > 0 \implies x(x-3) > 0$. Корни: $x=0, x=3$. Решение: $x \in (-\infty, 0) \cup (3, \infty)$.

Решим второе неравенство:

$x^2 - 3x \le 4 \implies x^2 - 3x - 4 \le 0$. Корни уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$: $x_1=-1, x_2=4$. Решение: $x \in [-1, 4]$.

Найдём пересечение множеств $(-\infty, 0) \cup (3, \infty)$ и $[-1, 4]$.

Пересечение даёт множество $[-1, 0) \cup (3, 4]$.

Ответ: $x \in [-1, 0) \cup (3, 4]$.

5) $\log_2 \frac{4x - 5}{4x + 7} > 0$

Так как основание $2 > 1$, неравенство $\log_2 f(x) > 0$ равносильно $f(x) > 1$.

$\frac{4x - 5}{4x + 7} > 1$

$\frac{4x - 5}{4x + 7} - 1 > 0$

$\frac{4x - 5 - (4x + 7)}{4x + 7} > 0$

$\frac{-12}{4x + 7} > 0$

Дробь с отрицательным числителем больше нуля, если её знаменатель отрицателен:

$4x + 7 < 0 \implies 4x < -7 \implies x < -\frac{7}{4}$.

Ответ: $x \in (-\infty, -7/4)$.

6) $\lg \frac{x^2 - 1}{(x - 2)^2} > 0$

Основание десятичного логарифма $10 > 1$, поэтому неравенство $\lg f(x) > 0$ равносильно $f(x) > 1$.

$\frac{x^2 - 1}{(x - 2)^2} > 1$

Заметим, что $x \ne 2$.

$\frac{x^2 - 1 - (x - 2)^2}{(x - 2)^2} > 0$

$\frac{x^2 - 1 - (x^2 - 4x + 4)}{(x - 2)^2} > 0$

$\frac{4x - 5}{(x - 2)^2} > 0$

Знаменатель $(x-2)^2$ положителен при $x \ne 2$. Следовательно, числитель должен быть положителен:

$4x - 5 > 0 \implies 4x > 5 \implies x > \frac{5}{4}$.

Учитывая условие $x \ne 2$, получаем решение.

Ответ: $x \in (5/4, 2) \cup (2, \infty)$.

7) $\log_3 \frac{2x + 5}{x + 1} \le 1$

Так как основание $3 > 1$, неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} \frac{2x + 5}{x + 1} > 0 \\ \frac{2x + 5}{x + 1} \le 3^1 \end{cases} $

Решим первое неравенство (ОДЗ) методом интервалов. Корни числителя и знаменателя: $x=-2.5, x=-1$. Решение: $x \in (-\infty, -2.5) \cup (-1, \infty)$.

Решим второе неравенство:

$\frac{2x + 5}{x + 1} - 3 \le 0 \implies \frac{2x + 5 - 3(x+1)}{x+1} \le 0 \implies \frac{-x+2}{x+1} \le 0 \implies \frac{x-2}{x+1} \ge 0$.

Решение этого неравенства: $x \in (-\infty, -1) \cup [2, \infty)$.

Найдём пересечение множеств $((-\infty, -2.5) \cup (-1, \infty))$ и $((-\infty, -1) \cup [2, \infty))$.

Пересечение даёт множество $(-\infty, -2.5) \cup [2, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -2.5) \cup [2, \infty)$.

8) $\log_4 \frac{3x - 1}{x} \le 0.5$

Так как основание $4 > 1$ и $0.5 = 1/2$, неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} \frac{3x - 1}{x} > 0 \\ \frac{3x - 1}{x} \le 4^{0.5} \end{cases} $

Решим первое неравенство (ОДЗ). Корни: $x=0, x=1/3$. Решение: $x \in (-\infty, 0) \cup (1/3, \infty)$.

Решим второе неравенство, учитывая, что $4^{0.5} = \sqrt{4} = 2$:

$\frac{3x - 1}{x} \le 2 \implies \frac{3x - 1}{x} - 2 \le 0 \implies \frac{3x - 1 - 2x}{x} \le 0 \implies \frac{x-1}{x} \le 0$.

Решение этого неравенства: $x \in (0, 1]$.

Найдём пересечение множеств $((-\infty, 0) \cup (1/3, \infty))$ и $(0, 1]$.

Пересечение даёт множество $(1/3, 1]$.

Ответ: $x \in (1/3, 1]$.