Номер 7.7, страница 54 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 7. Логарифмические неравенства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 7.7, страница 54.

7.7. Найдите множество решений неравенства:

1) $lg (2x + 3) > lg (x - 1)$

2) $log_5 2x < log_5 (x + 1)$

3) $log_{0,2} (2x - 1) > log_{0,2} (3x - 4)$

4) $log_{0,4} (x^2 - 3) < log_{0,4} (x + 3)$

5) $log_{0,7} (x^2 - 2x - 3) \le log_{0,7} (9 - x)$

6) $log_{\frac{1}{3}} (x^2 + x + 31) \le log_{\frac{1}{3}} (10x + 11)$

1) Решим неравенство $\lg(2x + 3) > \lg(x - 1)$.

Основание десятичного логарифма $a=10 > 1$, поэтому логарифмическая функция является возрастающей. При переходе к неравенству для аргументов логарифмов знак неравенства сохраняется. Также необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ): аргументы логарифмов должны быть строго положительны. Неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} 2x + 3 > x - 1 \\ 2x + 3 > 0 \\ x - 1 > 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы:

1) $2x - x > -1 - 3 \Rightarrow x > -4$.

2) $2x > -3 \Rightarrow x > -1.5$.

3) $x > 1$.

Найдем пересечение решений: $x > -4$, $x > -1.5$ и $x > 1$. Общим решением, удовлетворяющим всем трем условиям, является $x > 1$.

Таким образом, множество решений неравенства — это интервал $(1; +\infty)$.

Ответ: $(1; +\infty)$.

2) Решим неравенство $\log_{5}(2x) < \log_{5}(x + 1)$.

Основание логарифма $a=5 > 1$, функция является возрастающей, поэтому знак неравенства для аргументов сохраняется. Учтем ОДЗ.

Неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} 2x < x + 1 \\ 2x > 0 \\ x + 1 > 0 \end{cases}$

Решим систему:

1) $2x - x < 1 \Rightarrow x < 1$.

2) $x > 0$.

3) $x > -1$.

Пересечение решений $x < 1$, $x > 0$ и $x > -1$ дает интервал $0 < x < 1$.

Ответ: $(0; 1)$.

3) Решим неравенство $\log_{0.2}(2x - 1) > \log_{0.2}(3x - 4)$.

Основание логарифма $a=0.2$, так как $0 < 0.2 < 1$, логарифмическая функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный. Учтем ОДЗ.

Неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} 2x - 1 < 3x - 4 \\ 2x - 1 > 0 \\ 3x - 4 > 0 \end{cases}$

Решим систему:

1) $-1 + 4 < 3x - 2x \Rightarrow 3 < x$.

2) $2x > 1 \Rightarrow x > 0.5$.

3) $3x > 4 \Rightarrow x > \frac{4}{3}$.

Найдем пересечение решений $x > 3$, $x > 0.5$ и $x > \frac{4}{3}$. Общим решением, удовлетворяющим всем трем условиям, является $x > 3$.

Ответ: $(3; +\infty)$.

4) Решим неравенство $\log_{0.4}(x^2 - 3) < \log_{0.4}(x + 3)$.

Основание логарифма $a=0.4$, так как $0 < 0.4 < 1$, функция является убывающей. Знак неравенства меняется на противоположный. Учтем ОДЗ.

Неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 - 3 > x + 3 \\ x^2 - 3 > 0 \\ x + 3 > 0 \end{cases}$

Решим систему:

1) $x^2 - x - 6 > 0$. Найдем корни уравнения $x^2 - x - 6 = 0$. По теореме Виета $x_1 = 3, x_2 = -2$. Так как это парабола с ветвями вверх, решение неравенства: $x \in (-\infty; -2) \cup (3; +\infty)$.

2) $x^2 - 3 > 0 \Rightarrow x^2 > 3 \Rightarrow x \in (-\infty; -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}; +\infty)$.

3) $x + 3 > 0 \Rightarrow x > -3$.

Найдем пересечение всех трех условий. Сначала объединим условия ОДЗ (2 и 3): $x \in (-3; -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}; +\infty)$.

Теперь пересечем полученное множество с решением основного неравенства (1):

Пересечение $(-3; -\sqrt{3})$ с $(-\infty; -2) \cup (3; +\infty)$ дает $(-3; -2)$.

Пересечение $(\sqrt{3}; +\infty)$ с $(-\infty; -2) \cup (3; +\infty)$ дает $(3; +\infty)$.

Итоговое решение — объединение этих двух интервалов.

Ответ: $(-3; -2) \cup (3; +\infty)$.

5) Решим неравенство $\log_{0.7}(x^2 - 2x - 3) \le \log_{0.7}(9 - x)$.

Основание логарифма $a=0.7$, так как $0 < 0.7 < 1$, функция убывающая. Знак неравенства меняется на противоположный. Учтем ОДЗ.

Неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 - 2x - 3 \ge 9 - x \\ x^2 - 2x - 3 > 0 \\ 9 - x > 0 \end{cases}$

Решим систему:

1) $x^2 - x - 12 \ge 0$. Корни уравнения $x^2 - x - 12 = 0$: $x_1 = 4, x_2 = -3$. Решение неравенства: $x \in (-\infty; -3] \cup [4; +\infty)$.

2) $x^2 - 2x - 3 > 0$. Корни уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$: $x_1 = 3, x_2 = -1$. Решение неравенства: $x \in (-\infty; -1) \cup (3; +\infty)$.

3) $9 - x > 0 \Rightarrow x < 9$.

Найдем пересечение решений. Сначала найдем ОДЗ, пересекая (2) и (3): $x \in (-\infty; -1) \cup (3; 9)$.

Теперь пересечем ОДЗ с решением основного неравенства (1):

Пересечение $(-\infty; -1)$ с $(-\infty; -3] \cup [4; +\infty)$ дает $(-\infty; -3]$.

Пересечение $(3; 9)$ с $(-\infty; -3] \cup [4; +\infty)$ дает $[4; 9)$.

Объединяем полученные множества.

Ответ: $(-\infty; -3] \cup [4; 9)$.

6) Решим неравенство $\log_{\frac{1}{3}}(x^2 + x + 31) \le \log_{\frac{1}{3}}(10x + 11)$.

Основание логарифма $a=\frac{1}{3}$, так как $0 < \frac{1}{3} < 1$, функция убывающая. Знак неравенства меняется на противоположный. Учтем ОДЗ.

Неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 + x + 31 \ge 10x + 11 \\ x^2 + x + 31 > 0 \\ 10x + 11 > 0 \end{cases}$

Решим систему:

1) $x^2 - 9x + 20 \ge 0$. Корни уравнения $x^2 - 9x + 20 = 0$: $x_1 = 4, x_2 = 5$. Решение неравенства: $x \in (-\infty; 4] \cup [5; +\infty)$.

2) $x^2 + x + 31 > 0$. Найдем дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 31 = 1 - 124 = -123$. Так как $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен, выражение $x^2 + x + 31$ всегда положительно. Неравенство выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$.

3) $10x + 11 > 0 \Rightarrow 10x > -11 \Rightarrow x > -1.1$.

Найдем пересечение решений: $x > -1.1$ и $x \in (-\infty; 4] \cup [5; +\infty)$.

Пересечение интервала $(-1.1; +\infty)$ с множеством $(-\infty; 4] \cup [5; +\infty)$ дает $(-1.1; 4] \cup [5; +\infty)$.

Ответ: $(-1,1; 4] \cup [5; +\infty)$.