Номер 7.19, страница 56 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 7. Логарифмические неравенства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 7.19, страница 56.

7.19. Найдите множество решений неравенства:

1) $log_{2}^{2}(4x) + 2log_{2}x - 11 < 0;$

2) $log_{3}^{2}(27x) + 3log_{3}x - 19 \ge 0;$

3) $\frac{lg^{2}x + lg x - 6}{lg x} \ge 0;$

4) $2log_{5}x - log_{x}5 \le 1.$

1) Исходное неравенство: $log_2^2(4x) + 2log_2x - 11 < 0$.
Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$.
Преобразуем первый член, используя свойство логарифма произведения $log_a(bc) = log_a(b) + log_a(c)$: $log_2(4x) = log_2(4) + log_2(x) = 2 + log_2(x)$.
Подставим это в неравенство: $(2 + log_2(x))^2 + 2log_2(x) - 11 < 0$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = log_2(x)$. $(2 + t)^2 + 2t - 11 < 0$
$4 + 4t + t^2 + 2t - 11 < 0$
$t^2 + 6t - 7 < 0$.
Найдем корни квадратного трехчлена $t^2 + 6t - 7 = 0$. По теореме Виета, $t_1 = 1$, $t_2 = -7$.
Неравенство можно записать в виде $(t - 1)(t + 7) < 0$.
Решением этого неравенства является интервал $-7 < t < 1$.
Вернемся к исходной переменной: $-7 < log_2(x) < 1$.
Так как основание логарифма $2 > 1$, знаки неравенства сохраняются: $2^{-7} < x < 2^1$
$1/128 < x < 2$.
Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).
Ответ: $x \in (1/128; 2)$.

2) Исходное неравенство: $log_3^2(27x) + 3log_3x - 19 \ge 0$.
ОДЗ: $x > 0$.
Преобразуем $log_3(27x) = log_3(27) + log_3(x) = 3 + log_3(x)$.
Подставим в неравенство: $(3 + log_3(x))^2 + 3log_3(x) - 19 \ge 0$.
Пусть $t = log_3(x)$. $(3 + t)^2 + 3t - 19 \ge 0$
$9 + 6t + t^2 + 3t - 19 \ge 0$
$t^2 + 9t - 10 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $t^2 + 9t - 10 = 0$. По теореме Виета, $t_1 = 1$, $t_2 = -10$.
Неравенство можно записать как $(t - 1)(t + 10) \ge 0$.
Решением является объединение промежутков $t \le -10$ и $t \ge 1$.
Возвращаемся к переменной $x$: $log_3(x) \le -10$ или $log_3(x) \ge 1$.
Так как основание $3 > 1$: $x \le 3^{-10}$ или $x \ge 3^1$.
$x \le 1/59049$ или $x \ge 3$.
Учитывая ОДЗ ($x > 0$), получаем окончательное решение.
Ответ: $x \in (0; 1/59049] \cup [3; +\infty)$.

3) Исходное неравенство: $\frac{lg^2x + lgx - 6}{lgx} \ge 0$.
ОДЗ: $x > 0$ и $lgx \neq 0$, то есть $x \neq 1$.
Сделаем замену $t = lgx$. Неравенство принимает вид: $\frac{t^2 + t - 6}{t} \ge 0$.
Разложим числитель на множители. Корни уравнения $t^2 + t - 6 = 0$ равны $t_1 = 2$ и $t_2 = -3$.
$\frac{(t-2)(t+3)}{t} \ge 0$.
Решим это неравенство методом интервалов. Отметим на числовой оси точки $t=-3, t=0, t=2$. Точки $t=-3$ и $t=2$ (нули числителя) будут закрашенными, а точка $t=0$ (нуль знаменателя) — выколотой.
Интервалы, на которых выражение положительно: $[-3; 0)$ и $[2; +\infty)$.
Таким образом, $-3 \le t < 0$ или $t \ge 2$.
Вернемся к $x$: $-3 \le lgx < 0$ или $lgx \ge 2$.
Так как основание десятичного логарифма $10 > 1$: $10^{-3} \le x < 10^0$ или $x \ge 10^2$.
$0.001 \le x < 1$ или $x \ge 100$.
Данное решение удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $x \in [0.001; 1) \cup [100; +\infty)$.

4) Исходное неравенство: $2log_5x - log_x5 \le 1$.
ОДЗ: $x > 0$ и $x \neq 1$.
Используем формулу перехода к новому основанию: $log_x5 = \frac{1}{log_5x}$.
Неравенство примет вид: $2log_5x - \frac{1}{log_5x} \le 1$.
Сделаем замену $t = log_5x$. Учитывая ОДЗ ($x \neq 1$), имеем $t \neq 0$. $2t - \frac{1}{t} \le 1$
$2t - \frac{1}{t} - 1 \le 0$
$\frac{2t^2 - 1 - t}{t} \le 0$
$\frac{2t^2 - t - 1}{t} \le 0$.
Найдем корни числителя $2t^2 - t - 1 = 0$. $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 9$. $t_1 = \frac{1+3}{4} = 1$, $t_2 = \frac{1-3}{4} = -1/2$.
Неравенство запишется как $\frac{2(t-1)(t+1/2)}{t} \le 0$.
Решим методом интервалов. Нули числителя: $t=1, t=-1/2$. Нуль знаменателя: $t=0$.
Решением неравенства являются промежутки $t \le -1/2$ и $0 < t \le 1$.
Возвращаемся к $x$: $log_5x \le -1/2$ или $0 < log_5x \le 1$.
Так как основание логарифма $5 > 1$: $x \le 5^{-1/2}$ или $5^0 < x \le 5^1$.
$x \le \frac{1}{\sqrt{5}}$ или $1 < x \le 5$.
Учитывая ОДЗ ($x > 0$), получаем $0 < x \le \frac{1}{\sqrt{5}}$ или $1 < x \le 5$.
Ответ: $x \in (0; 1/\sqrt{5}] \cup (1; 5]$.