Номер 5.36, страница 44 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 5. Логарифмическая функция и её свойства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 5.36, страница 44.

5.36. Постройте график функции:

1) $y = |\log_3 x|$;

2) $y = \log_3 |x|$;

3) $y = \frac{\log_2 x}{\sqrt{\log_2^2 x}}$.

1) $y = |\log_3 x|$

Для построения графика функции $y = |\log_3 x|$ сначала рассмотрим график функции $y = \log_3 x$. Это стандартная логарифмическая функция с основанием 3.

• Область определения: $x > 0$.
• Область значений: $(-\infty; +\infty)$.
• График проходит через точки $(1, 0)$, $(3, 1)$, $(9, 2)$, $(1/3, -1)$.
• Ось $Oy$ (прямая $x=0$) является вертикальной асимптотой.
• Функция возрастает на всей области определения.

Преобразование $y = |f(x)|$ означает, что часть графика функции $y = f(x)$, которая находится ниже оси $Ox$ (где $y < 0$), симметрично отражается относительно оси $Ox$, а часть, которая находится выше или на оси $Ox$ (где $y \geq 0$), остается без изменений.

Применительно к $y = \log_3 x$:

• На промежутке $x \geq 1$, значения функции $\log_3 x \geq 0$, поэтому эта часть графика остается неизменной.
• На промежутке $0 < x < 1$, значения функции $\log_3 x < 0$, поэтому эта часть графика симметрично отражается относительно оси $Ox$. Например, точка $(1/3, -1)$ перейдет в точку $(1/3, 1)$.

В итоге, график функции $y = |\log_3 x|$ имеет следующие свойства:

• Область определения: $x > 0$.
• Область значений: $[0; +\infty)$.
• График проходит через точку $(1, 0)$ (это точка минимума), а также через точки $(3, 1)$ и $(1/3, 1)$.
• Прямая $x=0$ является вертикальной асимптотой, при $x \to 0^+$ $y \to +\infty$.

Ответ: График получается из графика функции $y = \log_3 x$ путем отражения его части, лежащей под осью $Ox$ (на интервале $(0, 1)$), симметрично относительно этой оси. Часть графика, лежащая над осью $Ox$ (при $x \geq 1$), остается без изменений.

2) $y = \log_3 |x|$

Рассмотрим функцию $y = \log_3 |x|$. Область определения функции задается условием $|x| > 0$, что эквивалентно $x \neq 0$. Таким образом, область определения: $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Данная функция является четной, так как $y(-x) = \log_3 |-x| = \log_3 |x| = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси $Oy$.

Для построения графика можно сначала построить его для $x > 0$, а затем отразить полученную часть симметрично относительно оси $Oy$.

• При $x > 0$, $|x| = x$, и функция принимает вид $y = \log_3 x$. Это стандартная логарифмическая кривая, проходящая через точки $(1, 0)$, $(3, 1)$ и имеющая вертикальную асимптоту $x=0$.
• Для $x < 0$, мы отражаем построенную часть графика относительно оси $Oy$. Таким образом, левая ветвь графика будет проходить через точки $(-1, 0)$, $(-3, 1)$ и также будет иметь вертикальную асимптоту $x=0$.

Итоговый график состоит из двух симметричных ветвей.

Ответ: График функции $y = \log_3 |x|$ состоит из двух частей. Для $x > 0$ это график $y = \log_3 x$. Для $x < 0$ это симметричное отражение графика $y = \log_3 x$ относительно оси $Oy$. Ось $Oy$ ($x=0$) является вертикальной асимптотой для обеих ветвей.

3) $y = \frac{\log_2 x}{\sqrt{\log_2^2 x}}$

Найдем область определения функции.

1. Аргумент логарифма должен быть положительным: $x > 0$.
2. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $\log_2^2 x \geq 0$. Это верно для любого действительного значения $\log_2 x$.
3. Знаменатель не должен быть равен нулю: $\sqrt{\log_2^2 x} \neq 0$, что означает $\log_2^2 x \neq 0$, и следовательно $\log_2 x \neq 0$. Это выполняется при $x \neq 1$.

Объединяя условия, получаем область определения: $x \in (0, 1) \cup (1, +\infty)$.

Упростим выражение для функции. Используем свойство $\sqrt{a^2} = |a|$. $y = \frac{\log_2 x}{\sqrt{(\log_2 x)^2}} = \frac{\log_2 x}{|\log_2 x|}$.

Теперь рассмотрим два случая в зависимости от знака $\log_2 x$:

• Случай 1: $\log_2 x > 0$. Это неравенство выполняется при $x > 1$. В этом случае $|\log_2 x| = \log_2 x$, и функция принимает вид: $y = \frac{\log_2 x}{\log_2 x} = 1$.
• Случай 2: $\log_2 x < 0$. Это неравенство выполняется при $0 < x < 1$. В этом случае $|\log_2 x| = -\log_2 x$, и функция принимает вид: $y = \frac{\log_2 x}{-\log_2 x} = -1$.

Таким образом, график функции состоит из двух частей:

• Горизонтальная прямая $y = -1$ на интервале $(0, 1)$.
• Горизонтальная прямая $y = 1$ на интервале $(1, +\infty)$.

В точке $x=1$ функция не определена, поэтому на графике в этой точке будут "выколотые" точки: $(1, -1)$ и $(1, 1)$.

Ответ: График функции представляет собой два горизонтальных луча. На интервале $(0, 1)$ это луч $y = -1$ с выколотой точкой на правом конце $(1, -1)$. На интервале $(1, +\infty)$ это луч $y = 1$ с выколотой точкой на левом конце $(1, 1)$.