Номер 6.2, страница 49 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 6. Логарифмические уравнения. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 6.2, страница 49.

6.2. Решите уравнение:

1) $log_{\frac{1}{5}} (x + 7) = -3;$

2) $log_4 (2x - 5) = 0,5;$

3) $log_{\sqrt{3}} (x^2 - 5x - 3) = 2;$

4) $log_{\frac{1}{9}} (x^2 - 5x + 6) = -1.$

1) $log_{\frac{1}{5}}(x + 7) = -3$

Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения определяется условием, что выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным:
$x + 7 > 0$
$x > -7$

По определению логарифма, если $log_b a = c$, то $a = b^c$. Применим это свойство к нашему уравнению:
$x + 7 = (\frac{1}{5})^{-3}$

Решим полученное уравнение:
$x + 7 = (5^{-1})^{-3} = 5^3$
$x + 7 = 125$
$x = 125 - 7$
$x = 118$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ. Условие $x > -7$ выполняется, так как $118 > -7$. Следовательно, корень является решением уравнения.

Ответ: $118$.

2) $log_4(2x - 5) = 0,5$

ОДЗ: Выражение под знаком логарифма должно быть положительным.
$2x - 5 > 0$
$2x > 5$
$x > \frac{5}{2}$ или $x > 2,5$

Используем определение логарифма:
$2x - 5 = 4^{0,5}$

Решим уравнение:
$2x - 5 = 4^{\frac{1}{2}}$
$2x - 5 = \sqrt{4}$
$2x - 5 = 2$
$2x = 7$
$x = \frac{7}{2} = 3,5$

Проверим корень на соответствие ОДЗ. Условие $x > 2,5$ выполняется, так как $3,5 > 2,5$. Корень подходит.

Ответ: $3,5$.

3) $log_{\sqrt{3}}(x^2 - 5x - 3) = 2$

ОДЗ: $x^2 - 5x - 3 > 0$.
Для решения этого неравенства найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 5x - 3 = 0$.
Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 25 + 12 = 37$.
Корни: $x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{37}}{2}$.
Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty; \frac{5 - \sqrt{37}}{2}) \cup (\frac{5 + \sqrt{37}}{2}; +\infty)$.

По определению логарифма:
$x^2 - 5x - 3 = (\sqrt{3})^2$

Решим полученное квадратное уравнение:
$x^2 - 5x - 3 = 3$
$x^2 - 5x - 6 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 6$ и $x_2 = -1$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ.
Приблизительные значения границ ОДЗ: $\frac{5 - \sqrt{37}}{2} \approx \frac{5 - 6,08}{2} \approx -0,54$ и $\frac{5 + \sqrt{37}}{2} \approx \frac{5 + 6,08}{2} \approx 5,54$.
Корень $x_1 = 6$ удовлетворяет условию $x > 5,54$.
Корень $x_2 = -1$ удовлетворяет условию $x < -0,54$.
Оба корня принадлежат ОДЗ.

Ответ: $-1; 6$.

4) $log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 5x + 6) = -1$

ОДЗ: $x^2 - 5x + 6 > 0$.
Разложим левую часть на множители: $(x - 2)(x - 3) > 0$.
Решением этого неравенства является объединение интервалов $x \in (-\infty; 2) \cup (3; +\infty)$.

По определению логарифма:
$x^2 - 5x + 6 = (\frac{1}{2})^{-1}$

Решим полученное уравнение:
$x^2 - 5x + 6 = 2$
$x^2 - 5x + 4 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ.
Корень $x_1 = 1$ удовлетворяет условию $x < 2$.
Корень $x_2 = 4$ удовлетворяет условию $x > 3$.
Оба корня принадлежат ОДЗ.

Ответ: $1; 4$.