Номер 8.5, страница 61 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 8. Производные показательной и логарифмической функции. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 8.5, страница 61.

8.5. Вычислите значение производной функции $f$ в точке $x_0$:

1) $f(x) = e^{3x} - 3x$, $x_0 = 0$;

2) $f(x) = e^{-2x} \cos 2x$, $x_0 = 0$;

3) $f(x) = 3^{3x - 4x^2 + 2}$, $x_0 = 1$.

1) Дана функция $f(x) = e^{3x} - 3x$ и точка $x_0 = 0$.

Для вычисления значения производной в точке, сначала необходимо найти саму производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования разности функций и правило производной сложной функции для слагаемого $e^{3x}$.

$f'(x) = (e^{3x} - 3x)' = (e^{3x})' - (3x)'$

Производная от $e^{3x}$ находится по формуле $(e^u)' = e^u \cdot u'$:

$(e^{3x})' = e^{3x} \cdot (3x)' = e^{3x} \cdot 3 = 3e^{3x}$

Производная от $3x$ равна $3$.

Таким образом, производная функции $f(x)$ равна:

$f'(x) = 3e^{3x} - 3$

Теперь подставим значение $x_0 = 0$ в выражение для производной:

$f'(0) = 3e^{3 \cdot 0} - 3 = 3e^0 - 3$

Так как любое число в нулевой степени равно 1, $e^0 = 1$.

$f'(0) = 3 \cdot 1 - 3 = 3 - 3 = 0$

Ответ: $0$

2) Дана функция $f(x) = e^{-2x} \cos 2x$ и точка $x_0 = 0$.

Для нахождения производной этой функции воспользуемся правилом дифференцирования произведения двух функций: $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = e^{-2x}$ и $v(x) = \cos 2x$.

Найдем производные $u'(x)$ и $v'(x)$ по отдельности, используя правило дифференцирования сложной функции:

$u'(x) = (e^{-2x})' = e^{-2x} \cdot (-2x)' = -2e^{-2x}$

$v'(x) = (\cos 2x)' = -\sin 2x \cdot (2x)' = -2\sin 2x$

Теперь применим правило произведения:

$f'(x) = u'v + uv' = (-2e^{-2x}) \cdot \cos 2x + e^{-2x} \cdot (-2\sin 2x)$

$f'(x) = -2e^{-2x} \cos 2x - 2e^{-2x} \sin 2x$

Можно вынести общий множитель $-2e^{-2x}$ за скобки:

$f'(x) = -2e^{-2x}(\cos 2x + \sin 2x)$

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 0$:

$f'(0) = -2e^{-2 \cdot 0}(\cos(2 \cdot 0) + \sin(2 \cdot 0)) = -2e^0(\cos 0 + \sin 0)$

Используя известные значения $e^0 = 1$, $\cos 0 = 1$ и $\sin 0 = 0$, получаем:

$f'(0) = -2 \cdot 1 \cdot (1 + 0) = -2$

Ответ: $-2$

3) Дана функция $f(x) = 3^{3x - 4x^2 + 2}$ и точка $x_0 = 1$.

Это показательная функция, ее производная находится по формуле $(a^{u(x)})' = a^{u(x)} \ln a \cdot u'(x)$.

В данном случае основание $a=3$, а показатель степени (сложная функция) $u(x) = 3x - 4x^2 + 2$.

Сначала найдем производную показателя степени $u'(x)$:

$u'(x) = (3x - 4x^2 + 2)' = 3 - 8x$

Теперь подставим все в формулу производной показательной функции:

$f'(x) = 3^{3x - 4x^2 + 2} \cdot \ln 3 \cdot (3 - 8x)$

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:

$f'(1) = 3^{3 \cdot 1 - 4 \cdot 1^2 + 2} \cdot \ln 3 \cdot (3 - 8 \cdot 1)$

Посчитаем значение в показателе степени: $3 - 4 + 2 = 1$.

Посчитаем значение в скобках: $3 - 8 = -5$.

Подставим вычисленные значения обратно в выражение:

$f'(1) = 3^1 \cdot \ln 3 \cdot (-5) = -15 \ln 3$

Ответ: $-15 \ln 3$