Номер 8.7, страница 62 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 8. Производные показательной и логарифмической функции. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 8.7, страница 62.

8.7. Вычислите значение производной функции $f$ в точке $x_0$:

1) $f(x) = \frac{1}{6} \ln (-12x)$, $x_0 = -\frac{1}{6}$;

2) $f(x) = \frac{1}{2} x^2 - \ln x^2$, $x_0 = 4$;

3) $f(x) = \log_5 (x^2 + 3x - 2)$, $x_0 = -4$;

4) $f(x) = \ln \sin \frac{x}{2}$, $x_0 = \frac{\pi}{2}$.

1) Дана функция $f(x) = \frac{1}{6} \ln(-12x)$ и точка $x_0 = -\frac{1}{6}$.
Чтобы найти значение производной в точке $x_0$, сначала найдем производную функции $f(x)$. Это сложная функция, поэтому используем правило дифференцирования сложной функции: $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$, а также формулу производной натурального логарифма $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$.
$f'(x) = \left(\frac{1}{6} \ln(-12x)\right)' = \frac{1}{6} \cdot (\ln(-12x))' = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{-12x} \cdot (-12x)' = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{-12x} \cdot (-12) = \frac{1}{6x}$.
Теперь подставим значение $x_0 = -\frac{1}{6}$ в выражение для производной:
$f'(x_0) = f'(-\frac{1}{6}) = \frac{1}{6 \cdot (-\frac{1}{6})} = \frac{1}{-1} = -1$.
Ответ: $-1$.

2) Дана функция $f(x) = \frac{1}{2}x^2 - \ln x^2$ и точка $x_0 = 4$.
Найдем производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования разности функций.
$f'(x) = \left(\frac{1}{2}x^2 - \ln x^2\right)' = (\frac{1}{2}x^2)' - (\ln x^2)'$.
Производная первого слагаемого: $(\frac{1}{2}x^2)' = \frac{1}{2} \cdot 2x = x$.
Производная второго слагаемого (используем правило для сложной функции): $(\ln x^2)' = \frac{1}{x^2} \cdot (x^2)' = \frac{1}{x^2} \cdot 2x = \frac{2}{x}$.
Таким образом, производная функции: $f'(x) = x - \frac{2}{x}$.
Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 4$:
$f'(4) = 4 - \frac{2}{4} = 4 - \frac{1}{2} = 3,5$.
Ответ: $3,5$.

3) Дана функция $f(x) = \log_5(x^2 + 3x - 2)$ и точка $x_0 = -4$.
Для нахождения производной воспользуемся формулой производной логарифма по основанию $a$: $(\log_a u)' = \frac{u'}{u \ln a}$.
В нашем случае основание $a=5$ и аргумент $u(x) = x^2 + 3x - 2$.
Найдем производную аргумента $u'(x)$: $u'(x) = (x^2 + 3x - 2)' = 2x + 3$.
Тогда производная функции $f(x)$ равна:
$f'(x) = \frac{2x + 3}{(x^2 + 3x - 2) \ln 5}$.
Подставим значение $x_0 = -4$ в полученное выражение:
$f'(-4) = \frac{2(-4) + 3}{((-4)^2 + 3(-4) - 2) \ln 5} = \frac{-8 + 3}{(16 - 12 - 2) \ln 5} = \frac{-5}{2 \ln 5}$.
Ответ: $\frac{-5}{2 \ln 5}$.

4) Дана функция $f(x) = \ln \sin \frac{x}{2}$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{2}$.
Это сложная функция. Для нахождения ее производной воспользуемся цепным правилом (правилом дифференцирования сложной функции) и формулой $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$.
Пусть $u(x) = \sin \frac{x}{2}$. Тогда $f'(x) = \frac{(\sin \frac{x}{2})'}{\sin \frac{x}{2}}$.
Найдем производную от $u(x) = \sin \frac{x}{2}$, снова применив цепное правило:
$(\sin \frac{x}{2})' = \cos(\frac{x}{2}) \cdot (\frac{x}{2})' = \cos(\frac{x}{2}) \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\cos(\frac{x}{2})$.
Теперь подставим это в выражение для $f'(x)$:
$f'(x) = \frac{\frac{1}{2}\cos(\frac{x}{2})}{\sin(\frac{x}{2})} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\cos(\frac{x}{2})}{\sin(\frac{x}{2})} = \frac{1}{2} \cot(\frac{x}{2})$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{2}$:
$f'(\frac{\pi}{2}) = \frac{1}{2} \cot(\frac{\pi/2}{2}) = \frac{1}{2} \cot(\frac{\pi}{4})$.
Так как $\cot(\frac{\pi}{4}) = 1$, получаем:
$f'(\frac{\pi}{2}) = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.