Номер 8.11, страница 62 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 8. Производные показательной и логарифмической функции. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 8.11, страница 62.

8.11. Составьте уравнение касательной к графику функции $f$ в точке с абсциссой $x_0$:

1) $f(x) = e^{-2x}, x_0 = 0;$

2) $f(x) = e^x + \sin x, x_0 = 0;$

3) $f(x) = x \cdot 2^x, x_0 = 1;$

4) $f(x) = 6^{3x+4}, x_0 = -1;$

5) $f(x) = 3x + \ln x, x_0 = 1;$

6) $f(x) = \ln (5 + 4x), x_0 = -1;$

7) $f(x) = \log_3 (2x + 1), x_0 = 1;$

8) $f(x) = 2\ln (x - 2), x_0 = 4.$

Общий вид уравнения касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ задается формулой:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

Для решения каждой задачи мы будем следовать этому алгоритму:

1. Найти значение функции в точке $x_0$, то есть $f(x_0)$.
2. Найти производную функции $f'(x)$.
3. Найти значение производной в точке $x_0$, то есть $f'(x_0)$.
4. Подставить найденные значения $x_0$, $f(x_0)$ и $f'(x_0)$ в уравнение касательной и упростить его.

1)

Дана функция $f(x) = e^{-2x}$ и точка $x_0 = 0$.

1. Находим значение функции в точке $x_0$:

$f(0) = e^{-2 \cdot 0} = e^0 = 1$.

2. Находим производную функции:

$f'(x) = (e^{-2x})' = e^{-2x} \cdot (-2) = -2e^{-2x}$.

3. Находим значение производной в точке $x_0$:

$f'(0) = -2e^{-2 \cdot 0} = -2e^0 = -2$.

4. Подставляем значения в уравнение касательной:

$y = 1 + (-2)(x - 0)$

$y = 1 - 2x$

Ответ: $y = -2x + 1$.

2)

Дана функция $f(x) = e^x + \sin x$ и точка $x_0 = 0$.

1. Находим значение функции в точке $x_0$:

$f(0) = e^0 + \sin 0 = 1 + 0 = 1$.

2. Находим производную функции:

$f'(x) = (e^x + \sin x)' = e^x + \cos x$.

3. Находим значение производной в точке $x_0$:

$f'(0) = e^0 + \cos 0 = 1 + 1 = 2$.

4. Подставляем значения в уравнение касательной:

$y = 1 + 2(x - 0)$

$y = 1 + 2x$

Ответ: $y = 2x + 1$.

3)

Дана функция $f(x) = x \cdot 2^x$ и точка $x_0 = 1$.

1. Находим значение функции в точке $x_0$:

$f(1) = 1 \cdot 2^1 = 2$.

2. Находим производную функции, используя правило произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$f'(x) = (x \cdot 2^x)' = (x)' \cdot 2^x + x \cdot (2^x)' = 1 \cdot 2^x + x \cdot 2^x \ln 2 = 2^x(1 + x \ln 2)$.

3. Находим значение производной в точке $x_0$:

$f'(1) = 2^1(1 + 1 \cdot \ln 2) = 2(1 + \ln 2) = 2 + 2\ln 2$.

4. Подставляем значения в уравнение касательной:

$y = 2 + (2 + 2\ln 2)(x - 1)$

$y = 2 + (2 + 2\ln 2)x - (2 + 2\ln 2)$

$y = (2 + 2\ln 2)x - 2\ln 2$

Ответ: $y = (2 + 2\ln 2)x - 2\ln 2$.

4)

Дана функция $f(x) = 6^{3x+4}$ и точка $x_0 = -1$.

1. Находим значение функции в точке $x_0$:

$f(-1) = 6^{3(-1)+4} = 6^{-3+4} = 6^1 = 6$.

2. Находим производную функции, используя правило для сложной функции:

$f'(x) = (6^{3x+4})' = 6^{3x+4} \cdot \ln 6 \cdot (3x+4)' = 3 \cdot 6^{3x+4} \ln 6$.

3. Находим значение производной в точке $x_0$:

$f'(-1) = 3 \cdot 6^{3(-1)+4} \ln 6 = 3 \cdot 6^1 \ln 6 = 18\ln 6$.

4. Подставляем значения в уравнение касательной:

$y = 6 + 18\ln 6(x - (-1))$

$y = 6 + 18\ln 6(x + 1)$

$y = 6 + 18x\ln 6 + 18\ln 6$

Ответ: $y = 18x\ln 6 + 18\ln 6 + 6$.

5)

Дана функция $f(x) = 3x + \ln x$ и точка $x_0 = 1$.

1. Находим значение функции в точке $x_0$:

$f(1) = 3 \cdot 1 + \ln 1 = 3 + 0 = 3$.

2. Находим производную функции:

$f'(x) = (3x + \ln x)' = 3 + \frac{1}{x}$.

3. Находим значение производной в точке $x_0$:

$f'(1) = 3 + \frac{1}{1} = 4$.

4. Подставляем значения в уравнение касательной:

$y = 3 + 4(x - 1)$

$y = 3 + 4x - 4$

$y = 4x - 1$

Ответ: $y = 4x - 1$.

6)

Дана функция $f(x) = \ln(5+4x)$ и точка $x_0 = -1$.

1. Находим значение функции в точке $x_0$:

$f(-1) = \ln(5 + 4(-1)) = \ln(5-4) = \ln 1 = 0$.

2. Находим производную функции:

$f'(x) = (\ln(5+4x))' = \frac{1}{5+4x} \cdot (5+4x)' = \frac{4}{5+4x}$.

3. Находим значение производной в точке $x_0$:

$f'(-1) = \frac{4}{5+4(-1)} = \frac{4}{1} = 4$.

4. Подставляем значения в уравнение касательной:

$y = 0 + 4(x - (-1))$

$y = 4(x+1)$

$y = 4x + 4$

Ответ: $y = 4x + 4$.

7)

Дана функция $f(x) = \log_3(2x+1)$ и точка $x_0 = 1$.

1. Находим значение функции в точке $x_0$:

$f(1) = \log_3(2 \cdot 1 + 1) = \log_3(3) = 1$.

2. Находим производную функции, используя формулу $(\log_a u)' = \frac{u'}{u \ln a}$:

$f'(x) = (\log_3(2x+1))' = \frac{(2x+1)'}{(2x+1)\ln 3} = \frac{2}{(2x+1)\ln 3}$.

3. Находим значение производной в точке $x_0$:

$f'(1) = \frac{2}{(2 \cdot 1+1)\ln 3} = \frac{2}{3\ln 3}$.

4. Подставляем значения в уравнение касательной:

$y = 1 + \frac{2}{3\ln 3}(x - 1)$

$y = 1 + \frac{2x}{3\ln 3} - \frac{2}{3\ln 3}$

$y = \frac{2}{3\ln 3}x + 1 - \frac{2}{3\ln 3}$

Ответ: $y = \frac{2}{3\ln 3}x + 1 - \frac{2}{3\ln 3}$.

8)

Дана функция $f(x) = 2\ln(x-2)$ и точка $x_0 = 4$.

1. Находим значение функции в точке $x_0$:

$f(4) = 2\ln(4-2) = 2\ln 2$.

2. Находим производную функции:

$f'(x) = (2\ln(x-2))' = 2 \cdot \frac{1}{x-2} \cdot (x-2)' = \frac{2}{x-2}$.

3. Находим значение производной в точке $x_0$:

$f'(4) = \frac{2}{4-2} = \frac{2}{2} = 1$.

4. Подставляем значения в уравнение касательной:

$y = 2\ln 2 + 1(x - 4)$

$y = 2\ln 2 + x - 4$

$y = x + 2\ln 2 - 4$

Ответ: $y = x + 2\ln 2 - 4$.