Номер 8.15, страница 63 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 8. Производные показательной и логарифмической функции. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 8.15, страница 63.

8.15. Составьте уравнение касательной к графику функции:

1) $f(x) = e^x$, если эта касательная параллельна прямой $y = ex - 6$;

2) $f(x) = e^{5x + 2}$, если эта касательная параллельна прямой $y = 5x + 7$;

3) $f(x) = e^{-2x}$, если эта касательная параллельна прямой $y = -x$;

4) $f(x) = \ln (3x - 2)$, если эта касательная параллельна прямой $y = 3x - 2$.

1)

Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.
Угловой коэффициент касательной $k$ равен значению производной функции в точке касания, то есть $k = f'(x_0)$.
По условию, касательная параллельна прямой $y = ex - 6$. У параллельных прямых угловые коэффициенты равны, следовательно, угловой коэффициент искомой касательной $k = e$.
Найдем производную функции $f(x) = e^x$:
$f'(x) = (e^x)' = e^x$.
Чтобы найти абсциссу точки касания $x_0$, приравняем производную к угловому коэффициенту $k = e$:
$f'(x_0) = e^{x_0} = e$.
Из этого уравнения следует, что $x_0 = 1$.
Теперь найдем ординату точки касания $y_0$, подставив $x_0$ в исходную функцию:
$y_0 = f(x_0) = f(1) = e^1 = e$.
Таким образом, точка касания имеет координаты $(1; e)$.
Подставим найденные значения $x_0=1$, $y_0=e$ и $k=e$ в уравнение касательной $y - y_0 = k(x - x_0)$:
$y - e = e(x - 1)$
$y - e = ex - e$
$y = ex$.
Ответ: $y = ex$.

2)

Дана функция $f(x) = e^{5x+2}$ и прямая $y = 5x + 7$.
Угловой коэффициент $k$ касательной должен быть равен угловому коэффициенту данной прямой, то есть $k = 5$.
Найдем производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции:
$f'(x) = (e^{5x+2})' = e^{5x+2} \cdot (5x+2)' = 5e^{5x+2}$.
Найдем абсциссу точки касания $x_0$, решив уравнение $f'(x_0) = k$:
$5e^{5x_0+2} = 5$
$e^{5x_0+2} = 1$
Так как $e^0 = 1$, то показатель степени должен быть равен нулю: $5x_0 + 2 = 0$.
$5x_0 = -2$
$x_0 = - \frac{2}{5}$.
Найдем ординату точки касания $y_0$:
$y_0 = f(-\frac{2}{5}) = e^{5(-\frac{2}{5})+2} = e^{-2+2} = e^0 = 1$.
Точка касания имеет координаты $(-\frac{2}{5}; 1)$.
Составим уравнение касательной, используя формулу $y - y_0 = k(x - x_0)$:
$y - 1 = 5(x - (-\frac{2}{5}))$
$y - 1 = 5(x + \frac{2}{5})$
$y - 1 = 5x + 2$
$y = 5x + 3$.
Ответ: $y = 5x + 3$.

3)

Дана функция $f(x) = e^{-2x}$ и прямая $y = -x$.
Угловой коэффициент $k$ касательной равен угловому коэффициенту прямой $y = -x$, то есть $k = -1$.
Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (e^{-2x})' = e^{-2x} \cdot (-2x)' = -2e^{-2x}$.
Найдем абсциссу точки касания $x_0$ из уравнения $f'(x_0) = k$:
$-2e^{-2x_0} = -1$
$e^{-2x_0} = \frac{1}{2}$
Чтобы найти $x_0$, прологарифмируем обе части по основанию $e$:
$\ln(e^{-2x_0}) = \ln(\frac{1}{2})$
$-2x_0 = \ln(2^{-1}) = -\ln(2)$
$x_0 = \frac{\ln(2)}{2}$.
Найдем ординату точки касания $y_0$. Из уравнения $e^{-2x_0} = \frac{1}{2}$ и определения функции $f(x_0)=e^{-2x_0}$ следует, что $y_0 = \frac{1}{2}$.
Точка касания: $(\frac{\ln(2)}{2}; \frac{1}{2})$.
Составим уравнение касательной:
$y - y_0 = k(x - x_0)$
$y - \frac{1}{2} = -1 \cdot (x - \frac{\ln(2)}{2})$
$y - \frac{1}{2} = -x + \frac{\ln(2)}{2}$
$y = -x + \frac{1}{2} + \frac{\ln(2)}{2}$
$y = -x + \frac{1 + \ln(2)}{2}$.
Ответ: $y = -x + \frac{1 + \ln(2)}{2}$.

4)

Дана функция $f(x) = \ln(3x - 2)$ и прямая $y = 3x - 2$.
Угловой коэффициент $k$ касательной равен угловому коэффициенту прямой, то есть $k = 3$.
Найдем область определения функции: $3x - 2 > 0$, то есть $x > \frac{2}{3}$.
Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (\ln(3x - 2))' = \frac{1}{3x - 2} \cdot (3x - 2)' = \frac{3}{3x - 2}$.
Найдем абсциссу точки касания $x_0$ из уравнения $f'(x_0) = k$:
$\frac{3}{3x_0 - 2} = 3$
Поскольку $x_0 > \frac{2}{3}$, знаменатель не равен нулю. Можем умножить обе части на $3x_0 - 2$:
$3 = 3(3x_0 - 2)$
$1 = 3x_0 - 2$
$3 = 3x_0$
$x_0 = 1$.
Значение $x_0=1$ удовлетворяет области определения ($1 > \frac{2}{3}$).
Найдем ординату точки касания $y_0$:
$y_0 = f(1) = \ln(3 \cdot 1 - 2) = \ln(1) = 0$.
Точка касания: $(1; 0)$.
Составим уравнение касательной:
$y - y_0 = k(x - x_0)$
$y - 0 = 3(x - 1)$
$y = 3x - 3$.
Ответ: $y = 3x - 3$.