Номер 8.22, страница 64 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 8. Производные показательной и логарифмической функции. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 8.22, страница 64.

8.22. Исследуйте функцию и постройте её график:

1) $f(x) = \frac{x}{e^x}$;

2) $f(x) = xe^{-\frac{x^2}{2}}$;

3) $f(x) = \log_2 (x^2 + x).

1) $f(x) = \frac{x}{e^x} = xe^{-x}$

Проведем полное исследование функции:

1. Область определения.
Знаменатель $e^x$ определен и не равен нулю для любых действительных $x$.
Следовательно, область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и нечетность.
$f(-x) = \frac{-x}{e^{-x}} = -xe^x$.
Так как $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$, функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной).

3. Точки пересечения с осями координат.
Пересечение с осью Oy: $f(0) = \frac{0}{e^0} = 0$. Точка $(0, 0)$.
Пересечение с осью Ox: $f(x) = 0 \implies \frac{x}{e^x} = 0 \implies x=0$. Точка $(0, 0)$.
График проходит через начало координат.

4. Асимптоты.
Вертикальных асимптот нет, так как функция непрерывна на всей числовой оси.
Найдем наклонные асимптоты вида $y=kx+b$.
При $x \to +\infty$:
$k = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{xe^{-x}}{x} = \lim_{x \to +\infty} e^{-x} = 0$.
$b = \lim_{x \to +\infty} (f(x) - kx) = \lim_{x \to +\infty} xe^{-x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{e^x}$. (неопределенность $\frac{\infty}{\infty}$)
По правилу Лопиталя: $\lim_{x \to +\infty} \frac{(x)'}{(e^x)'} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{e^x} = 0$.
Следовательно, $y=0$ — горизонтальная асимптота при $x \to +\infty$.
При $x \to -\infty$:
$k = \lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to -\infty} e^{-x} = +\infty$.
Наклонной асимптоты при $x \to -\infty$ нет.

5. Промежутки возрастания, убывания и экстремумы.
Найдем первую производную:
$f'(x) = (xe^{-x})' = (x)'e^{-x} + x(e^{-x})' = e^{-x} - xe^{-x} = (1-x)e^{-x}$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $f'(x) = 0 \implies (1-x)e^{-x} = 0$.
Так как $e^{-x} > 0$ для любого $x$, то $1-x=0 \implies x=1$.
Определим знаки производной на интервалах:
- При $x < 1$, $f'(x) > 0$, функция возрастает на $(-\infty, 1)$.
- При $x > 1$, $f'(x) < 0$, функция убывает на $(1, +\infty)$.
Точка $x=1$ является точкой локального максимума. $f_{max} = f(1) = \frac{1}{e^1} = \frac{1}{e} \approx 0.37$.
Точка максимума: $(1, 1/e)$.

6. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба.
Найдем вторую производную:
$f''(x) = ((1-x)e^{-x})' = (1-x)'e^{-x} + (1-x)(e^{-x})' = -e^{-x} - (1-x)e^{-x} = e^{-x}(-1 - (1-x)) = (x-2)e^{-x}$.
Найдем точки, где $f''(x)=0$: $(x-2)e^{-x}=0 \implies x-2=0 \implies x=2$.
Определим знаки второй производной:
- При $x < 2$, $f''(x) < 0$, график функции выпуклый вверх (вогнутый) на $(-\infty, 2)$.
- При $x > 2$, $f''(x) > 0$, график функции выпуклый вниз (выпуклый) на $(2, +\infty)$.
Точка $x=2$ является точкой перегиба. $f(2) = \frac{2}{e^2} \approx 0.27$.
Точка перегиба: $(2, 2/e^2)$.

7. Построение графика.
Используя полученные данные, строим график функции.

Ответ:
Функция $f(x) = xe^{-x}$ определена на $(-\infty, +\infty)$. Имеет точку пересечения с осями в $(0, 0)$. Горизонтальная асимптота $y=0$ при $x \to +\infty$. Функция возрастает на $(-\infty, 1)$ и убывает на $(1, +\infty)$. Точка максимума $(1, 1/e)$. График вогнутый на $(-\infty, 2)$ и выпуклый на $(2, +\infty)$. Точка перегиба $(2, 2/e^2)$. График представлен выше.

---

2) $f(x) = xe^{-x^2/2}$

Проведем полное исследование функции:

1. Область определения.
Функция определена для всех действительных $x$.
$D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и нечетность.
$f(-x) = (-x)e^{-(-x)^2/2} = -xe^{-x^2/2} = -f(x)$.
Функция является нечетной. Ее график симметричен относительно начала координат.

3. Точки пересечения с осями координат.
Пересечение с осью Oy: $f(0) = 0 \cdot e^0 = 0$. Точка $(0, 0)$.
Пересечение с осью Ox: $f(x) = 0 \implies xe^{-x^2/2} = 0 \implies x=0$. Точка $(0, 0)$.

4. Асимптоты.
Вертикальных асимптот нет.
Горизонтальная асимптота: $y=0$ при $x \to \pm\infty$.
$\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{e^{x^2/2}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{xe^{x^2/2}} = 0$ (по правилу Лопиталя).
В силу нечетности, $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$.

5. Промежутки возрастания, убывания и экстремумы.
$f'(x) = (xe^{-x^2/2})' = e^{-x^2/2} + x \cdot e^{-x^2/2} \cdot (-x) = (1-x^2)e^{-x^2/2}$.
$f'(x) = 0 \implies 1-x^2=0 \implies x=\pm 1$.
- $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$: $f'(x) < 0$, функция убывает.
- $x \in (-1, 1)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает.
$x=-1$ - точка локального минимума. $f_{min} = f(-1) = -e^{-1/2} = -1/\sqrt{e} \approx -0.607$.
$x=1$ - точка локального максимума. $f_{max} = f(1) = e^{-1/2} = 1/\sqrt{e} \approx 0.607$.
Точки экстремумов: $(-1, -1/\sqrt{e})$ и $(1, 1/\sqrt{e})$.

6. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба.
$f''(x) = ((1-x^2)e^{-x^2/2})' = -2xe^{-x^2/2} + (1-x^2)e^{-x^2/2}(-x) = x(x^2-3)e^{-x^2/2}$.
$f''(x)=0 \implies x(x^2-3)=0 \implies x=0, x=\pm\sqrt{3}$.
- $x \in (-\infty, -\sqrt{3}) \cup (0, \sqrt{3})$: $f''(x) < 0$, график вогнутый.
- $x \in (-\sqrt{3}, 0) \cup (\sqrt{3}, \infty)$: $f''(x) > 0$, график выпуклый.
Точки перегиба: $x=0$, $f(0)=0 \implies (0,0)$.
$x=\sqrt{3}$, $f(\sqrt{3})=\sqrt{3}e^{-3/2} \approx 0.387 \implies (\sqrt{3}, \sqrt{3}e^{-3/2})$.
$x=-\sqrt{3}$, $f(-\sqrt{3})=-\sqrt{3}e^{-3/2} \approx -0.387 \implies (-\sqrt{3}, -\sqrt{3}e^{-3/2})$.

7. Построение графика.

Ответ:
Функция $f(x) = xe^{-x^2/2}$ нечетная, определена на $(-\infty, +\infty)$, проходит через $(0,0)$. Горизонтальная асимптота $y=0$ при $x \to \pm\infty$. Убывает на $(-\infty, -1) \cup (1, \infty)$ и возрастает на $(-1, 1)$. Минимум в точке $(-1, -1/\sqrt{e})$, максимум в $(1, 1/\sqrt{e})$. Точки перегиба при $x=0, \pm\sqrt{3}$. График представлен выше.

---

3) $f(x) = \log_2(x^2+x)$

Проведем полное исследование функции:

1. Область определения.
Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $x^2+x > 0 \implies x(x+1)>0$.
Решая неравенство методом интервалов, получаем $x \in (-\infty, -1) \cup (0, +\infty)$.
$D(f) = (-\infty, -1) \cup (0, +\infty)$.

2. Четность и нечетность.
$f(-x) = \log_2((-x)^2+(-x)) = \log_2(x^2-x)$.
Функция общего вида.

3. Точки пересечения с осями координат.
Пересечение с осью Oy: $x=0$ не входит в область определения, пересечения нет.
Пересечение с осью Ox: $f(x)=0 \implies \log_2(x^2+x)=0 \implies x^2+x=1 \implies x^2+x-1=0$.
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1-4(-1)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$.
$x_1 = \frac{-1-\sqrt{5}}{2} \approx -1.618$ (входит в $D(f)$).
$x_2 = \frac{-1+\sqrt{5}}{2} \approx 0.618$ (входит в $D(f)$).
Точки пересечения: $(\frac{-1-\sqrt{5}}{2}, 0)$ и $(\frac{-1+\sqrt{5}}{2}, 0)$.

4. Асимптоты.
Вертикальные асимптоты в точках разрыва $x=-1$ и $x=0$.
$\lim_{x \to -1^-} \log_2(x(x+1)) = \log_2((-1)(-0)) = \log_2(0^+) = -\infty$.
$\lim_{x \to 0^+} \log_2(x(x+1)) = \log_2((+0)(1)) = \log_2(0^+) = -\infty$.
$x=-1$ и $x=0$ — вертикальные асимптоты.
Наклонных асимптот нет, так как $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = +\infty$, но рост логарифмический, медленнее линейного ($k=0$).

5. Промежутки возрастания, убывания и экстремумы.
$f'(x) = (\frac{\ln(x^2+x)}{\ln 2})' = \frac{1}{\ln 2} \cdot \frac{2x+1}{x^2+x}$.
$f'(x) = 0 \implies 2x+1=0 \implies x=-1/2$. Эта точка не входит в область определения.
- На $(-\infty, -1)$: $x^2+x > 0$ и $2x+1 < 0 \implies f'(x) < 0$, функция убывает.
- На $(0, +\infty)$: $x^2+x > 0$ и $2x+1 > 0 \implies f'(x) > 0$, функция возрастает.
Локальных экстремумов нет.

6. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба.
$f''(x) = \frac{1}{\ln 2} \left( \frac{2(x^2+x)-(2x+1)(2x+1)}{(x^2+x)^2} \right) = \frac{-2x^2-2x-1}{(x^2+x)^2 \ln 2}$.
Числитель $-2x^2-2x-1 = -(2x^2+2x+1)$. Дискриминант $D=4-8=-4<0$. Так как старший коэффициент отрицателен, числитель всегда меньше нуля.
Знаменатель $(x^2+x)^2 \ln 2 > 0$ на $D(f)$.
Следовательно, $f''(x) < 0$ на всей области определения. График функции везде вогнутый (выпуклый вверх).
Точек перегиба нет.

7. Построение графика.

Ответ:
Функция $f(x) = \log_2(x^2+x)$ определена на $(-\infty, -1) \cup (0, +\infty)$. Имеет вертикальные асимптоты $x=-1$ и $x=0$. Пересекает ось Ox в точках $x = (-1 \pm \sqrt{5})/2$. Убывает на $(-\infty, -1)$ и возрастает на $(0, +\infty)$. Экстремумов нет. График функции всегда вогнут (выпуклый вверх). График представлен выше.