Номер 1, страница 68 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Когда сделаны уроки. § 8. Производные показательной и логарифмической функции. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 1, страница 68.

1. Решите уравнение $(\sqrt{2+\sqrt{3}})^x + (\sqrt{2-\sqrt{3}})^x = 4$.

Данное уравнение является показательным:

$$ (\sqrt{2+\sqrt{3}})^x + (\sqrt{2-\sqrt{3}})^x = 4 $$

Обратим внимание на основания степеней: $ \sqrt{2+\sqrt{3}} $ и $ \sqrt{2-\sqrt{3}} $. Эти выражения являются сопряженными. Найдем их произведение, чтобы установить связь между ними:

$$ (\sqrt{2+\sqrt{3}}) \cdot (\sqrt{2-\sqrt{3}}) = \sqrt{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} $$

Применяя формулу разности квадратов $ (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 $ под корнем, получаем:

$$ \sqrt{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 - 3} = \sqrt{1} = 1 $$

Поскольку произведение оснований равно 1, они являются взаимно обратными числами. Это означает, что:

$$ \sqrt{2-\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{2+\sqrt{3}}} $$

Это наблюдение позволяет нам сделать замену переменной для упрощения уравнения. Пусть $ t = (\sqrt{2+\sqrt{3}})^x $. Так как основание $ \sqrt{2+\sqrt{3}} > 0 $, то и $ t $ должно быть положительным, $ t > 0 $.

Теперь выразим второе слагаемое через $t$:

$$ (\sqrt{2-\sqrt{3}})^x = \left(\frac{1}{\sqrt{2+\sqrt{3}}}\right)^x = \frac{1^x}{(\sqrt{2+\sqrt{3}})^x} = \frac{1}{t} $$

Подставим $t$ и $ \frac{1}{t} $ в исходное уравнение:

$$ t + \frac{1}{t} = 4 $$

Чтобы решить это уравнение, умножим обе его части на $t$ (мы можем это сделать, так как $ t \neq 0 $):

$$ t^2 + 1 = 4t $$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$$ t^2 - 4t + 1 = 0 $$

Решим это уравнение относительно $t$ с помощью дискриминанта $ D = b^2 - 4ac $:

$$ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12 $$

Теперь найдем корни уравнения для $t$:

$$ t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3} $$

Мы получили два решения для $t$: $t_1 = 2 + \sqrt{3}$ и $t_2 = 2 - \sqrt{3}$. Оба корня положительны ($2 - \sqrt{3} \approx 2 - 1.732 > 0$), поэтому оба удовлетворяют условию $t>0$.

Теперь необходимо выполнить обратную замену для каждого из найденных значений $t$.

Случай 1: $t = 2 + \sqrt{3}$

Возвращаемся к замене $ t = (\sqrt{2+\sqrt{3}})^x $:

$$ (\sqrt{2+\sqrt{3}})^x = 2 + \sqrt{3} $$

Представим левую часть как степень с основанием $ (2+\sqrt{3}) $. Так как $ \sqrt{a} = a^{1/2} $, то:

$$ ((2+\sqrt{3})^{1/2})^x = (2 + \sqrt{3})^1 $$$$ (2+\sqrt{3})^{x/2} = (2+\sqrt{3})^1 $$

Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$$ \frac{x}{2} = 1 \implies x = 2 $$

Случай 2: $t = 2 - \sqrt{3}$

Снова возвращаемся к замене:

$$ (\sqrt{2+\sqrt{3}})^x = 2 - \sqrt{3} $$

Как мы установили ранее, $ 2-\sqrt{3} $ и $ 2+\sqrt{3} $ — взаимно обратные числа, то есть $ 2 - \sqrt{3} = \frac{1}{2+\sqrt{3}} = (2+\sqrt{3})^{-1} $. Подставим это в уравнение:

$$ (\sqrt{2+\sqrt{3}})^x = (2+\sqrt{3})^{-1} $$$$ (2+\sqrt{3})^{x/2} = (2+\sqrt{3})^{-1} $$

Приравниваем показатели степеней:

$$ \frac{x}{2} = -1 \implies x = -2 $$

Таким образом, мы нашли два корня уравнения.

Ответ: $x = 2, x = -2$.