Номер 8.23, страница 64 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Готовимся к изучению новой темы. § 8. Производные показательной и логарифмической функции. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 8.23, страница 64.

8.23. Подберите функцию, производная которой равна данной функции f:

1) $f(x) = 2x;$

2) $f(x) = 1;$

3) $f(x) = 4x^3;$

4) $f(x) = 2x + 1;$

5) $f(x) = x^2 - 1.$

Задача состоит в том, чтобы найти первообразную для каждой данной функции $f(x)$. Первообразная $F(x)$ для функции $f(x)$ — это такая функция, производная которой равна $f(x)$, то есть $F'(x) = f(x)$. Для нахождения первообразной степенной функции $x^n$ используется формула $\frac{x^{n+1}}{n+1}$. Мы подберем одну из возможных первообразных, которая является наиболее простой (без добавления константы).

1) Дана функция $f(x) = 2x$.

Нам нужно найти такую функцию $F(x)$, чтобы ее производная $F'(x)$ была равна $2x$. Вспомним правило дифференцирования степенной функции: $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$. Мы ищем функцию, производная которой содержит $x$ в первой степени. Это значит, что исходная функция должна содержать $x$ в степени $1+1=2$. Попробуем взять производную от $x^2$: $(x^2)' = 2x$. Это в точности совпадает с данной функцией $f(x)$.

Ответ: $F(x) = x^2$.

2) Дана функция $f(x) = 1$.

Ищем функцию $F(x)$, производная которой равна константе 1. Мы знаем, что производная от $x$ равна 1: $(x)'=1$. Следовательно, искомая функция — это $x$.

Ответ: $F(x) = x$.

3) Дана функция $f(x) = 4x^3$.

Ищем функцию $F(x)$, такую что $F'(x) = 4x^3$. Производная является многочленом третьей степени, значит, исходная функция должна быть многочленом четвертой степени. Возьмем производную от $x^4$: $(x^4)' = 4x^3$. Это совпадает с данной функцией $f(x)$.

Ответ: $F(x) = x^4$.

4) Дана функция $f(x) = 2x + 1$.

Чтобы найти первообразную для суммы функций, нужно найти первообразные для каждого слагаемого и сложить их.
Из пункта 1) мы знаем, что первообразная для $2x$ — это $x^2$.
Из пункта 2) мы знаем, что первообразная для $1$ — это $x$.
Таким образом, первообразная для $2x + 1$ есть сумма этих первообразных: $F(x) = x^2 + x$.
Проверим: $F'(x) = (x^2 + x)' = (x^2)' + (x)' = 2x + 1$.

Ответ: $F(x) = x^2 + x$.

5) Дана функция $f(x) = x^2 - 1$.

Первообразная разности функций равна разности их первообразных.
Найдем первообразную для $x^2$. Используя формулу $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ для $n=2$, получаем $\frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{x^3}{3}$.
Первообразная для $1$ — это $x$.
Следовательно, искомая функция $F(x) = \frac{x^3}{3} - x$.
Проверим: $F'(x) = (\frac{x^3}{3} - x)' = (\frac{x^3}{3})' - (x)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - 1 = x^2 - 1$.

Ответ: $F(x) = \frac{x^3}{3} - x$.