Номер 8.19, страница 64 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 8. Производные показательной и логарифмической функции. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 8.19, страница 64.

8.19. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:

1) $f(x) = e^x + x$ на промежутке $[-1; 1];

2) $f(x) = x^2e^{2x}$ на промежутке $[-2; 1];

3) $f(x) = 7^{x^2 - 2x}$ на промежутке $[0; 2];

4) $f(x) = 2^x + 2^{-x}$ на промежутке $[-1; 1].

1) Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = e^x + x$ на промежутке $[-1; 1]$, мы следуем стандартному алгоритму.
1. Находим производную функции:
$f'(x) = (e^x + x)' = (e^x)' + (x)' = e^x + 1$.
2. Находим критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:
$e^x + 1 = 0$
$e^x = -1$
Это уравнение не имеет действительных корней, так как показательная функция $e^x$ всегда положительна ($e^x > 0$). Следовательно, у функции нет критических точек.
3. Вычисляем значения функции на концах промежутка $[-1; 1]$:
При $x = -1$: $f(-1) = e^{-1} + (-1) = \frac{1}{e} - 1$.
При $x = 1$: $f(1) = e^1 + 1 = e + 1$.
4. Сравниваем полученные значения. Так как $e \approx 2.718$, то $e+1 > \frac{1}{e}-1$. Также можно отметить, что производная $f'(x) = e^x+1$ всегда положительна, значит, функция монотонно возрастает на всей числовой оси. Поэтому наименьшее значение на отрезке достигается в его левом конце, а наибольшее — в правом.
Наименьшее значение: $f_{min} = f(-1) = \frac{1}{e} - 1$.
Наибольшее значение: $f_{max} = f(1) = e + 1$.
Ответ: Наименьшее значение функции $f_{min} = \frac{1}{e} - 1$, наибольшее значение $f_{max} = e + 1$.

2) Найдем наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = x^2e^{2x}$ на промежутке $[-2; 1]$.
1. Находим производную функции, используя правило произведения $(uv)' = u'v + uv'$:
$f'(x) = (x^2)'e^{2x} + x^2(e^{2x})' = 2xe^{2x} + x^2(2e^{2x}) = 2xe^{2x}(1+x)$.
2. Находим критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:
$2xe^{2x}(1+x) = 0$
Так как $e^{2x} > 0$ для любого $x$, то уравнение сводится к $2x(1+x)=0$.
Отсюда получаем две критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = -1$. Обе точки принадлежат промежутку $[-2; 1]$.
3. Вычисляем значения функции в критических точках и на концах промежутка $[-2; 1]$:
$f(-2) = (-2)^2e^{2(-2)} = 4e^{-4} = \frac{4}{e^4}$.
$f(-1) = (-1)^2e^{2(-1)} = 1e^{-2} = \frac{1}{e^2}$.
$f(0) = 0^2e^{2(0)} = 0 \cdot 1 = 0$.
$f(1) = 1^2e^{2(1)} = e^2$.
4. Сравниваем полученные значения: $0$, $\frac{4}{e^4}$, $\frac{1}{e^2}$ и $e^2$.
Так как $e \approx 2.718$, то $e^2 \approx 7.389$ и $e^4 \approx 54.6$.
$f(-2) = \frac{4}{e^4} \approx \frac{4}{54.6} \approx 0.073$
$f(-1) = \frac{1}{e^2} \approx \frac{1}{7.389} \approx 0.135$
$f(0) = 0$
$f(1) = e^2 \approx 7.389$
Сравнивая эти числа, видим, что наименьшее значение равно $0$, а наибольшее равно $e^2$.
Ответ: Наименьшее значение функции $f_{min} = 0$, наибольшее значение $f_{max} = e^2$.

3) Найдем наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = 7^{x^2 - 2x}$ на промежутке $[0; 2]$.
1. Найдем производную функции. Это сложная функция, поэтому используем правило $(a^{u(x)})' = a^{u(x)} \ln(a) \cdot u'(x)$.
$f'(x) = 7^{x^2 - 2x} \cdot \ln(7) \cdot (x^2 - 2x)' = 7^{x^2 - 2x} \ln(7) (2x - 2)$.
2. Находим критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:
$7^{x^2 - 2x} \ln(7) (2x - 2) = 0$
Так как $7^{x^2 - 2x} > 0$ и $\ln(7) > 0$, уравнение эквивалентно $2x - 2 = 0$, откуда $x = 1$.
Критическая точка $x=1$ принадлежит промежутку $[0; 2]$.
3. Вычисляем значения функции в критической точке и на концах промежутка:
$f(1) = 7^{1^2 - 2(1)} = 7^{1-2} = 7^{-1} = \frac{1}{7}$.
$f(0) = 7^{0^2 - 2(0)} = 7^0 = 1$.
$f(2) = 7^{2^2 - 2(2)} = 7^{4-4} = 7^0 = 1$.
4. Сравниваем полученные значения: $\frac{1}{7}$, $1$, $1$.
Наименьшее значение равно $\frac{1}{7}$, а наибольшее равно $1$.
(Альтернативное решение: функция $g(y) = 7^y$ возрастающая, поэтому ее наибольшее и наименьшее значения на отрезке достигаются там же, где и у показателя степени $u(x) = x^2 - 2x$. Парабола $u(x)$ с ветвями вверх имеет минимум в вершине $x = -(-2)/(2 \cdot 1) = 1$, $u(1)=-1$. На концах отрезка $u(0)=0$, $u(2)=0$. Значит, на отрезке $[0; 2]$ минимум $u(x)$ равен -1, а максимум 0. Тогда $f_{min} = 7^{-1} = \frac{1}{7}$, а $f_{max} = 7^0 = 1$.)
Ответ: Наименьшее значение функции $f_{min} = \frac{1}{7}$, наибольшее значение $f_{max} = 1$.

4) Найдем наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = 2^x + 2^{-x}$ на промежутке $[-1; 1]$.
1. Находим производную функции:
$f'(x) = (2^x + 2^{-x})' = 2^x \ln(2) + 2^{-x} \ln(2) \cdot (-1) = \ln(2)(2^x - 2^{-x})$.
2. Находим критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:
$\ln(2)(2^x - 2^{-x}) = 0$
Так как $\ln(2) \neq 0$, то $2^x - 2^{-x} = 0$, или $2^x = 2^{-x}$.
Это равенство выполняется только при $x = -x$, то есть $2x = 0$, откуда $x = 0$.
Критическая точка $x=0$ принадлежит промежутку $[-1; 1]$.
3. Вычисляем значения функции в критической точке и на концах промежутка:
$f(0) = 2^0 + 2^{-0} = 1 + 1 = 2$.
$f(-1) = 2^{-1} + 2^{-(-1)} = 2^{-1} + 2^1 = \frac{1}{2} + 2 = 2.5$.
$f(1) = 2^1 + 2^{-1} = 2 + \frac{1}{2} = 2.5$.
4. Сравниваем полученные значения: $2$ и $2.5$.
Наименьшее значение равно $2$, а наибольшее равно $2.5$.
(Заметим, что функция является четной, так как $f(-x) = 2^{-x} + 2^{-(-x)} = 2^{-x} + 2^x = f(x)$. Поэтому ее значения на концах симметричного отрезка $[-1; 1]$ совпадают.)
Ответ: Наименьшее значение функции $f_{min} = 2$, наибольшее значение $f_{max} = 2.5$ (или $\frac{5}{2}$).