Номер 8.14, страница 62 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 8. Производные показательной и логарифмической функции. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 8.14, страница 62.

8.14. Найдите уравнение горизонтальной касательной к графику функции $f(x)=(5^x-65)(5^x+15).$

Горизонтальная касательная к графику функции — это прямая, параллельная оси абсцисс, уравнение которой имеет вид $y=c$, где $c$ — константа. Угловой коэффициент такой касательной равен нулю. Угловой коэффициент касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной $f'(x_0)$. Таким образом, для нахождения точки, в которой касательная горизонтальна, необходимо найти производную функции и приравнять её к нулю.

Дана функция: $f(x) = (5^x - 65)(5^x + 15)$.

Для упрощения вычислений раскроем скобки в выражении для функции. Можно заметить, что это выражение является квадратным относительно $5^x$.

$f(x) = (5^x)^2 + 15 \cdot 5^x - 65 \cdot 5^x - 65 \cdot 15$

$f(x) = 5^{2x} - 50 \cdot 5^x - 975$

Теперь найдем производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования сложной показательной функции $(a^{u(x)})' = a^{u(x)} \ln(a) \cdot u'(x)$.

$f'(x) = (5^{2x} - 50 \cdot 5^x - 975)'$

$f'(x) = (5^{2x})' - (50 \cdot 5^x)' - (975)'$

$f'(x) = 5^{2x} \ln(5) \cdot (2x)' - 50 \cdot 5^x \ln(5) - 0$

$f'(x) = 2 \cdot 5^{2x} \ln(5) - 50 \cdot 5^x \ln(5)$

Приравняем производную к нулю для нахождения абсциссы точки касания:

$2 \cdot 5^{2x} \ln(5) - 50 \cdot 5^x \ln(5) = 0$

Вынесем за скобки общий множитель $2 \ln(5) \cdot 5^x$:

$2 \ln(5) \cdot 5^x (5^x - 25) = 0$

Поскольку $2 \ln(5) \neq 0$ и $5^x > 0$ для любого действительного $x$, то равенство выполняется только в том случае, когда выражение в скобках равно нулю:

$5^x - 25 = 0$

$5^x = 25$

$5^x = 5^2$

$x = 2$

Мы нашли абсциссу точки, в которой касательная к графику функции горизонтальна. Теперь найдем ординату этой точки, подставив $x=2$ в исходное уравнение функции:

$y = f(2) = (5^2 - 65)(5^2 + 15)$

$y = (25 - 65)(25 + 15)$

$y = (-40)(40)$

$y = -1600$

Таким образом, точка касания имеет координаты $(2, -1600)$. Уравнение горизонтальной касательной, проходящей через эту точку, имеет вид $y = -1600$.

Ответ: $y = -1600$