Номер 8.20, страница 64 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 8. Производные показательной и логарифмической функции. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 8.20, страница 64.

8.20. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:

1) $f(x) = (x - 1)e^{-x}$ на промежутке $[1; 3];$

2) $f(x) = 5^{x^2 + 2x}$ на промежутке $[-2; 1].$

1) Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = (x - 1)e^{-x}$ на промежутке $[1; 3]$, необходимо найти значения функции на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих этому отрезку, а затем сравнить их.

Сначала найдем производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$.
Пусть $u(x) = x - 1$ и $v(x) = e^{-x}$. Тогда $u'(x) = 1$ и $v'(x) = -e^{-x}$.
$f'(x) = (x - 1)'e^{-x} + (x - 1)(e^{-x})' = 1 \cdot e^{-x} + (x - 1)(-e^{-x}) = e^{-x} - (x - 1)e^{-x}$.
Вынесем $e^{-x}$ за скобки: $f'(x) = e^{-x}(1 - (x - 1)) = e^{-x}(1 - x + 1) = (2 - x)e^{-x}$.

Теперь найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $f'(x) = 0$.
$(2 - x)e^{-x} = 0$.
Поскольку множитель $e^{-x}$ всегда положителен ($e^{-x} > 0$), равенство выполняется только при $2 - x = 0$, откуда $x = 2$.
Критическая точка $x = 2$ принадлежит заданному промежутку $[1; 3]$.

Вычислим значения функции в найденной критической точке $x = 2$ и на концах промежутка $x = 1$ и $x = 3$.
При $x=1$: $f(1) = (1 - 1)e^{-1} = 0 \cdot e^{-1} = 0$.
При $x=2$: $f(2) = (2 - 1)e^{-2} = 1 \cdot e^{-2} = e^{-2} = \frac{1}{e^2}$.
При $x=3$: $f(3) = (3 - 1)e^{-3} = 2e^{-3} = \frac{2}{e^3}$.

Осталось сравнить полученные значения: $0$, $\frac{1}{e^2}$ и $\frac{2}{e^3}$.
Очевидно, что $0$ — наименьшее из этих значений, так как два других положительны.
Сравним $\frac{1}{e^2}$ и $\frac{2}{e^3}$. Для этого приведем их к общему знаменателю $e^3$: $\frac{e}{e^3}$ и $\frac{2}{e^3}$.
Так как $e \approx 2.718 > 2$, то $\frac{e}{e^3} > \frac{2}{e^3}$, а значит $\frac{1}{e^2} > \frac{2}{e^3}$.
Таким образом, $f(1) = 0$ — наименьшее значение, а $f(2) = \frac{1}{e^2}$ — наибольшее значение.

Ответ: наименьшее значение $f_{min} = f(1) = 0$, наибольшее значение $f_{max} = f(2) = \frac{1}{e^2}$.

2) Найдем наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = 5^{x^2+2x}$ на промежутке $[-2; 1]$.

Алгоритм решения аналогичен предыдущему пункту. Сначала найдем производную функции. Это сложная функция, поэтому используем правило $(a^{u(x)})' = a^{u(x)} \ln a \cdot u'(x)$.
Здесь $a=5$, $u(x) = x^2+2x$, соответственно $u'(x) = 2x+2$.
$f'(x) = 5^{x^2+2x} \cdot \ln 5 \cdot (2x+2)$.

Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$.
$5^{x^2+2x} \cdot \ln 5 \cdot (2x+2) = 0$.
Множители $5^{x^2+2x}$ и $\ln 5$ всегда положительны, поэтому равенство возможно только если $2x+2=0$.
$2(x+1) = 0$, откуда $x = -1$.
Критическая точка $x = -1$ принадлежит промежутку $[-2; 1]$.

Вычислим значения функции в критической точке $x=-1$ и на концах промежутка $x = -2$ и $x = 1$.
При $x=-2$: $f(-2) = 5^{(-2)^2 + 2(-2)} = 5^{4 - 4} = 5^0 = 1$.
При $x=-1$: $f(-1) = 5^{(-1)^2 + 2(-1)} = 5^{1 - 2} = 5^{-1} = \frac{1}{5}$.
При $x=1$: $f(1) = 5^{1^2 + 2(1)} = 5^{1 + 2} = 5^3 = 125$.

Сравним полученные значения: $1$, $\frac{1}{5}$ и $125$.
Очевидно, что $\frac{1}{5} < 1 < 125$.
Следовательно, наименьшее значение функции на промежутке $[-2; 1]$ равно $\frac{1}{5}$, а наибольшее равно $125$.

Ответ: наименьшее значение $f_{min} = f(-1) = \frac{1}{5}$, наибольшее значение $f_{max} = f(1) = 125$.