Номер 8.16, страница 63 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 8. Производные показательной и логарифмической функции. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 8.16, страница 63.

8.16. Составьте уравнение касательной к графику функции:

1) $f(x) = e^{6 - 7x}$, если эта касательная параллельна прямой $y = 5 - 7x$;

2) $f(x) = e^x - e^{-x}$, если эта касательная параллельна прямой $y = 2x - 3$;

3) $f(x) = 6x - \ln x$, если эта касательная параллельна прямой $y = x$;

4) $f(x) = \ln (1 - x)$, если эта касательная параллельна прямой $y = 1 - x$.

1)

Общее уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Угловой коэффициент касательной $k$ равен значению производной функции в точке касания $x_0$, то есть $k = f'(x_0)$.

По условию, касательная параллельна прямой $y = 5 - 7x$. Параллельные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты. Угловой коэффициент прямой $y = 5 - 7x$ равен -7.

Следовательно, $k = f'(x_0) = -7$.

Найдем производную функции $f(x) = e^{6 - 7x}$:

$f'(x) = (e^{6 - 7x})' = e^{6 - 7x} \cdot (6 - 7x)' = -7e^{6 - 7x}$.

Теперь найдем абсциссу точки касания $x_0$, решив уравнение $f'(x_0) = -7$:

$-7e^{6 - 7x_0} = -7$

$e^{6 - 7x_0} = 1$

Поскольку $e^0 = 1$, то $6 - 7x_0 = 0$.

$7x_0 = 6 \implies x_0 = \frac{6}{7}$.

Найдем ординату точки касания $y_0$, подставив $x_0$ в исходную функцию:

$y_0 = f(\frac{6}{7}) = e^{6 - 7 \cdot \frac{6}{7}} = e^{6 - 6} = e^0 = 1$.

Точка касания имеет координаты $(\frac{6}{7}; 1)$.

Составим уравнение касательной, используя точку $(\frac{6}{7}; 1)$ и угловой коэффициент $k = -7$:

$y - y_0 = k(x - x_0)$

$y - 1 = -7(x - \frac{6}{7})$

$y - 1 = -7x + 6$

$y = -7x + 7$.

Ответ: $y = -7x + 7$.

2)

Дана функция $f(x) = e^x - e^{-x}$ и прямая $y = 2x - 3$. Касательная к графику функции параллельна этой прямой.

Угловой коэффициент прямой $y = 2x - 3$ равен 2. Значит, угловой коэффициент касательной также равен 2, то есть $f'(x_0) = 2$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (e^x - e^{-x})' = (e^x)' - (e^{-x})' = e^x - (e^{-x} \cdot (-1)) = e^x + e^{-x}$.

Найдем абсциссу точки касания $x_0$ из уравнения $f'(x_0) = 2$:

$e^{x_0} + e^{-x_0} = 2$.

Умножим обе части уравнения на $e^{x_0}$ (так как $e^{x_0} > 0$):

$(e^{x_0})^2 + 1 = 2e^{x_0}$

$(e^{x_0})^2 - 2e^{x_0} + 1 = 0$

$(e^{x_0} - 1)^2 = 0$

$e^{x_0} - 1 = 0 \implies e^{x_0} = 1 \implies x_0 = 0$.

Найдем ординату точки касания $y_0$:

$y_0 = f(0) = e^0 - e^{-0} = 1 - 1 = 0$.

Точка касания: $(0; 0)$.

Составим уравнение касательной, используя точку $(0; 0)$ и угловой коэффициент $k = 2$:

$y - 0 = 2(x - 0)$

$y = 2x$.

Ответ: $y = 2x$.

3)

Дана функция $f(x) = 6x - \ln x$ и прямая $y = x$. Касательная к графику функции параллельна этой прямой.

Угловой коэффициент прямой $y = x$ равен 1. Значит, угловой коэффициент касательной $k = f'(x_0) = 1$.

Найдем производную функции $f(x)$. Область определения функции $x > 0$.

$f'(x) = (6x - \ln x)' = 6 - \frac{1}{x}$.

Найдем абсциссу точки касания $x_0$ из уравнения $f'(x_0) = 1$:

$6 - \frac{1}{x_0} = 1$

$\frac{1}{x_0} = 5 \implies x_0 = \frac{1}{5}$.

Найдем ординату точки касания $y_0$:

$y_0 = f(\frac{1}{5}) = 6 \cdot \frac{1}{5} - \ln(\frac{1}{5}) = \frac{6}{5} - (\ln 1 - \ln 5) = \frac{6}{5} + \ln 5$.

Точка касания: $(\frac{1}{5}; \frac{6}{5} + \ln 5)$.

Составим уравнение касательной, используя точку $(\frac{1}{5}; \frac{6}{5} + \ln 5)$ и угловой коэффициент $k = 1$:

$y - (\frac{6}{5} + \ln 5) = 1(x - \frac{1}{5})$

$y = x - \frac{1}{5} + \frac{6}{5} + \ln 5$

$y = x + \frac{5}{5} + \ln 5$

$y = x + 1 + \ln 5$.

Ответ: $y = x + 1 + \ln 5$.

4)

Дана функция $f(x) = \ln(1 - x)$ и прямая $y = 1 - x$. Касательная к графику функции параллельна этой прямой.

Угловой коэффициент прямой $y = 1 - x$ равен -1. Значит, угловой коэффициент касательной $k = f'(x_0) = -1$.

Найдем производную функции $f(x)$. Область определения функции $1 - x > 0$, то есть $x < 1$.

$f'(x) = (\ln(1 - x))' = \frac{1}{1 - x} \cdot (1 - x)' = \frac{1}{1 - x} \cdot (-1) = -\frac{1}{1 - x}$.

Найдем абсциссу точки касания $x_0$ из уравнения $f'(x_0) = -1$:

$-\frac{1}{1 - x_0} = -1$

$\frac{1}{1 - x_0} = 1$

$1 = 1 - x_0 \implies x_0 = 0$.

Найдем ординату точки касания $y_0$:

$y_0 = f(0) = \ln(1 - 0) = \ln(1) = 0$.

Точка касания: $(0; 0)$.

Составим уравнение касательной, используя точку $(0; 0)$ и угловой коэффициент $k = -1$:

$y - 0 = -1(x - 0)$

$y = -x$.

Ответ: $y = -x$.