Номер 8.9, страница 62 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 1. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 8. Производные показательной и логарифмической функции. Упражнения - номер 8.9, страница 62.

Учебник.

8.9. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции $f$ в точке с абсциссой $x_0$:

1) $f(x) = e^{2x+1}, x_0 = -1;$

2) $f(x) = x - \ln x, x_0 = 3.$

Решение.

Решение 2.

Угловой коэффициент касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной этой функции в данной точке. Формула для углового коэффициента $k$ имеет вид:

$k = f'(x_0)$

1) Дана функция $f(x) = e^{2x+1}$ и точка $x_0 = -1$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$. Это сложная функция, поэтому для нахождения производной воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции: $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$.

В нашем случае, внешняя функция $g(u) = e^u$, а внутренняя $h(x) = 2x+1$.

Производная внешней функции: $(e^u)' = e^u$.

Производная внутренней функции: $(2x+1)' = 2$.

Следовательно, производная функции $f(x)$ равна:

$f'(x) = (e^{2x+1})' = e^{2x+1} \cdot (2x+1)' = e^{2x+1} \cdot 2 = 2e^{2x+1}$.

Теперь найдем значение производной в точке $x_0 = -1$, подставив это значение в полученное выражение:

$k = f'(-1) = 2e^{2(-1)+1} = 2e^{-2+1} = 2e^{-1} = \frac{2}{e}$.

Ответ: $\frac{2}{e}$.

2) Дана функция $f(x) = x - \ln x$ и точка $x_0 = 3$.

Найдем производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования разности: $(u(x) - v(x))' = u'(x) - v'(x)$.

$f'(x) = (x - \ln x)' = (x)' - (\ln x)'$.

Производная от $x$ равна 1, а производная от натурального логарифма $\ln x$ равна $\frac{1}{x}$.

Таким образом, производная функции $f(x)$ имеет вид:

$f'(x) = 1 - \frac{1}{x}$.

Теперь найдем значение производной в точке $x_0 = 3$:

$k = f'(3) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$.