Номер 8.9, страница 62 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2016 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий, зелёный
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика. Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 11 классе
Упражнения. § 8. Производные показательной и логарифмической функции. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 8.9, страница 62.
№8.9 (с. 62)
Учебник. №8.9 (с. 62)
скриншот условия

8.9. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции $f$ в точке с абсциссой $x_0$:
1) $f(x) = e^{2x+1}, x_0 = -1;$
2) $f(x) = x - \ln x, x_0 = 3.$
Решение. №8.9 (с. 62)

Решение 2. №8.9 (с. 62)
Угловой коэффициент касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной этой функции в данной точке. Формула для углового коэффициента $k$ имеет вид:
$k = f'(x_0)$
1) Дана функция $f(x) = e^{2x+1}$ и точка $x_0 = -1$.
Сначала найдем производную функции $f(x)$. Это сложная функция, поэтому для нахождения производной воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции: $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$.
В нашем случае, внешняя функция $g(u) = e^u$, а внутренняя $h(x) = 2x+1$.
Производная внешней функции: $(e^u)' = e^u$.
Производная внутренней функции: $(2x+1)' = 2$.
Следовательно, производная функции $f(x)$ равна:
$f'(x) = (e^{2x+1})' = e^{2x+1} \cdot (2x+1)' = e^{2x+1} \cdot 2 = 2e^{2x+1}$.
Теперь найдем значение производной в точке $x_0 = -1$, подставив это значение в полученное выражение:
$k = f'(-1) = 2e^{2(-1)+1} = 2e^{-2+1} = 2e^{-1} = \frac{2}{e}$.
Ответ: $\frac{2}{e}$.
2) Дана функция $f(x) = x - \ln x$ и точка $x_0 = 3$.
Найдем производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования разности: $(u(x) - v(x))' = u'(x) - v'(x)$.
$f'(x) = (x - \ln x)' = (x)' - (\ln x)'$.
Производная от $x$ равна 1, а производная от натурального логарифма $\ln x$ равна $\frac{1}{x}$.
Таким образом, производная функции $f(x)$ имеет вид:
$f'(x) = 1 - \frac{1}{x}$.
Теперь найдем значение производной в точке $x_0 = 3$:
$k = f'(3) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 8.9 расположенного на странице 62 к учебнику 2016 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №8.9 (с. 62), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.