Номер 8.3, страница 61 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 8. Производные показательной и логарифмической функции. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 8.3, страница 61.

8.3. Найдите производную функции:

1) $y = \log_9 x;$

2) $y = \ln 2x;$

3) $y = \lg (x^2 - 4);$

4) $y = \ln^2 x;$

5) $y = \ln \sin x;$

6) $y = \frac{\ln x}{x^3};$

7) $y = \log_{0,2} (2x^2 + x - 4);$

8) $y = \ln (1 - 0,2x);$

9) $y = x^5 \ln x.$

1) Дана функция $y = \log_9 x$. Для нахождения производной логарифмической функции вида $y = \log_a x$ используется формула $y' = \frac{1}{x \ln a}$. В данном случае, основание логарифма $a = 9$. Подставляя это значение в формулу, получаем производную:
$y' = (\log_9 x)' = \frac{1}{x \ln 9}$.
Ответ: $y' = \frac{1}{x \ln 9}$.

2) Дана функция $y = \ln 2x$. Это сложная функция, для дифференцирования которой применяется цепное правило: $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$. Здесь внешняя функция $f(u) = \ln u$ с производной $f'(u) = \frac{1}{u}$, и внутренняя функция $g(x) = 2x$ с производной $g'(x) = 2$.
$y' = (\ln(2x))' = \frac{1}{2x} \cdot (2x)' = \frac{1}{2x} \cdot 2 = \frac{1}{x}$.
В качестве альтернативы можно было сначала использовать свойство логарифма: $y = \ln 2 + \ln x$. Тогда производная суммы равна сумме производных: $y' = (\ln 2)' + (\ln x)' = 0 + \frac{1}{x} = \frac{1}{x}$.
Ответ: $y' = \frac{1}{x}$.

3) Дана функция $y = \lg(x^2 - 4)$. Символ $\lg$ обозначает десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10. Это сложная функция. Используем формулу производной сложной логарифмической функции $(\log_a u(x))' = \frac{u'(x)}{u(x) \ln a}$.
Здесь $a = 10$, $u(x) = x^2 - 4$, и производная $u'(x) = 2x$.
$y' = (\lg(x^2 - 4))' = \frac{(x^2 - 4)'}{(x^2 - 4) \ln 10} = \frac{2x}{(x^2 - 4) \ln 10}$.
Ответ: $y' = \frac{2x}{(x^2 - 4) \ln 10}$.

4) Дана функция $y = \ln^2 x$. Эту запись следует понимать как $y = (\ln x)^2$. Это сложная функция, где внешняя функция — степенная $f(u) = u^2$, а внутренняя — $u(x) = \ln x$. Применяем цепное правило и формулу производной степенной функции $(u^n)' = n u^{n-1} \cdot u'$.
$y' = ((\ln x)^2)' = 2(\ln x)^{2-1} \cdot (\ln x)' = 2 \ln x \cdot \frac{1}{x} = \frac{2 \ln x}{x}$.
Ответ: $y' = \frac{2 \ln x}{x}$.

5) Дана функция $y = \ln \sin x$. Это сложная функция. Внешняя функция $f(u) = \ln u$, внутренняя $u(x) = \sin x$. Производная внутренней функции $(\sin x)' = \cos x$. Применяем цепное правило:
$y' = (\ln(\sin x))' = \frac{1}{\sin x} \cdot (\sin x)' = \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x$.
Ответ: $y' = \cot x$.

6) Дана функция $y = \frac{\ln x}{x^3}$. Для нахождения производной используется правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Здесь $u(x) = \ln x$ и $v(x) = x^3$. Их производные: $u'(x) = \frac{1}{x}$ и $v'(x) = 3x^2$.
$y' = \frac{(\ln x)' \cdot x^3 - \ln x \cdot (x^3)'}{(x^3)^2} = \frac{\frac{1}{x} \cdot x^3 - (\ln x) \cdot (3x^2)}{x^6} = \frac{x^2 - 3x^2 \ln x}{x^6}$.
Упростим выражение, вынеся общий множитель $x^2$ в числителе и сократив дробь:
$y' = \frac{x^2(1 - 3 \ln x)}{x^6} = \frac{1 - 3 \ln x}{x^4}$.
Ответ: $y' = \frac{1 - 3 \ln x}{x^4}$.

7) Дана функция $y = \log_{0.2}(2x^2 + x - 4)$. Это сложная логарифмическая функция. Используем формулу $(\log_a u(x))' = \frac{u'(x)}{u(x) \ln a}$.
Здесь основание $a = 0.2$, функция под логарифмом $u(x) = 2x^2 + x - 4$. Её производная $u'(x) = 4x + 1$.
$y' = \frac{(2x^2 + x - 4)'}{(2x^2 + x - 4) \ln 0.2} = \frac{4x + 1}{(2x^2 + x - 4) \ln 0.2}$.
Ответ: $y' = \frac{4x + 1}{(2x^2 + x - 4) \ln 0.2}$.

8) Дана функция $y = \ln(1 - 0.2x)$. Это сложная функция. Применяем цепное правило. Внешняя функция $f(u) = \ln u$, внутренняя $u(x) = 1 - 0.2x$. Производная внутренней функции $u'(x) = -0.2$.
$y' = (\ln(1 - 0.2x))' = \frac{1}{1 - 0.2x} \cdot (1 - 0.2x)' = \frac{1}{1 - 0.2x} \cdot (-0.2) = \frac{-0.2}{1 - 0.2x}$.
Для упрощения выражения можно умножить числитель и знаменатель на 5:
$y' = \frac{-0.2 \cdot 5}{(1 - 0.2x) \cdot 5} = \frac{-1}{5 - x} = \frac{1}{x - 5}$.
Ответ: $y' = \frac{1}{x - 5}$.

9) Дана функция $y = x^5 \ln x$. Для нахождения производной используется правило дифференцирования произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.
Здесь $u(x) = x^5$ и $v(x) = \ln x$. Их производные: $u'(x) = 5x^4$ и $v'(x) = \frac{1}{x}$.
$y' = (x^5)' \cdot \ln x + x^5 \cdot (\ln x)' = 5x^4 \ln x + x^5 \cdot \frac{1}{x} = 5x^4 \ln x + x^4$.
Вынесем общий множитель $x^4$ за скобки:
$y' = x^4(5 \ln x + 1)$.
Ответ: $y' = x^4(5 \ln x + 1)$.