Номер 8.1, страница 61 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 8. Производные показательной и логарифмической функции. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 8.1, страница 61.

8.1. Найдите производную функции:

1) $y = x^{\sqrt{5}}$;

2) $y = 4e^x$;

3) $y = e^{5x}$;

4) $y = x^3 e^x$;

5) $y = x^{\sqrt{3}} e^x$;

6) $y = e^x \sin x$;

7) $y = \frac{e^x}{x - 2}$;

8) $y = e^x + e^{-x}$;

9) $y = 5^x$;

10) $y = 2^{x^2}$;

11) $y = 7^{2x - 3}$;

12) $y = x \cdot 3^x$;

13) $y = \frac{2^x - 3}{2^x + 1}$;

14) $y = 0,3^{\operatorname{tg} x}$.

1) Дана функция $y = x^{\sqrt{5}}$. Это степенная функция вида $y = x^n$.

Для нахождения производной используем формулу производной степенной функции: $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$.

В нашем случае $n = \sqrt{5}$.

Подставляем значение $n$ в формулу:

$y' = (x^{\sqrt{5}})' = \sqrt{5} \cdot x^{\sqrt{5}-1}$.

Ответ: $y' = \sqrt{5}x^{\sqrt{5}-1}$.

2) Дана функция $y = 4e^x$.

Используем правило вынесения константы за знак производной $(c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x)$ и формулу производной экспоненциальной функции $(e^x)' = e^x$.

В данном случае константа $c = 4$.

$y' = (4e^x)' = 4 \cdot (e^x)' = 4e^x$.

Ответ: $y' = 4e^x$.

3) Дана функция $y = e^{5x}$. Это сложная функция.

Используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило): $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

Здесь внешняя функция $f(u) = e^u$, а внутренняя функция $g(x) = 5x$.

Находим их производные: $f'(u) = (e^u)' = e^u$ и $g'(x) = (5x)' = 5$.

Подставляем в формулу:

$y' = (e^{5x})' = e^{5x} \cdot (5x)' = e^{5x} \cdot 5 = 5e^{5x}$.

Ответ: $y' = 5e^{5x}$.

4) Дана функция $y = x^3e^x$. Это произведение двух функций.

Используем правило дифференцирования произведения: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = x^3$ и $v(x) = e^x$.

Находим их производные: $u'(x) = (x^3)' = 3x^2$ и $v'(x) = (e^x)' = e^x$.

Подставляем в формулу:

$y' = (x^3)'e^x + x^3(e^x)' = 3x^2 \cdot e^x + x^3 \cdot e^x$.

Для упрощения вынесем общий множитель $x^2e^x$ за скобки: $y' = x^2e^x(3+x)$.

Ответ: $y' = x^2e^x(3+x)$.

5) Дана функция $y = x^{\sqrt{3}}e^x$. Это произведение двух функций.

Используем правило дифференцирования произведения: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = x^{\sqrt{3}}$ и $v(x) = e^x$.

Находим их производные: $u'(x) = (x^{\sqrt{3}})' = \sqrt{3}x^{\sqrt{3}-1}$ и $v'(x) = (e^x)' = e^x$.

Подставляем в формулу:

$y' = (x^{\sqrt{3}})'e^x + x^{\sqrt{3}}(e^x)' = \sqrt{3}x^{\sqrt{3}-1} \cdot e^x + x^{\sqrt{3}} \cdot e^x$.

Для упрощения вынесем общий множитель $x^{\sqrt{3}-1}e^x$ за скобки: $y' = x^{\sqrt{3}-1}e^x(\sqrt{3}+x)$.

Ответ: $y' = x^{\sqrt{3}-1}e^x(\sqrt{3}+x)$.

6) Дана функция $y = e^x \sin x$. Это произведение двух функций.

Используем правило дифференцирования произведения: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = e^x$ и $v(x) = \sin x$.

Находим их производные: $u'(x) = (e^x)' = e^x$ и $v'(x) = (\sin x)' = \cos x$.

Подставляем в формулу:

$y' = (e^x)'\sin x + e^x(\sin x)' = e^x \sin x + e^x \cos x$.

Вынесем общий множитель $e^x$: $y' = e^x(\sin x + \cos x)$.

Ответ: $y' = e^x(\sin x + \cos x)$.

7) Дана функция $y = \frac{e^x}{x-2}$. Это частное двух функций.

Используем правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u(x) = e^x$ и $v(x) = x-2$.

Находим их производные: $u'(x) = (e^x)' = e^x$ и $v'(x) = (x-2)' = 1$.

Подставляем в формулу:

$y' = \frac{(e^x)'(x-2) - e^x(x-2)'}{(x-2)^2} = \frac{e^x(x-2) - e^x \cdot 1}{(x-2)^2}$.

Упрощаем числитель: $e^x(x-2) - e^x = e^x x - 2e^x - e^x = e^x x - 3e^x = e^x(x-3)$.

$y' = \frac{e^x(x-3)}{(x-2)^2}$.

Ответ: $y' = \frac{e^x(x-3)}{(x-2)^2}$.

8) Дана функция $y = e^x + e^{-x}$.

Используем правило дифференцирования суммы $(f(x)+g(x))' = f'(x) + g'(x)$.

Производная первого слагаемого: $(e^x)' = e^x$.

Производная второго слагаемого $e^{-x}$ находится по цепному правилу: $(e^{-x})' = e^{-x} \cdot (-x)' = e^{-x} \cdot (-1) = -e^{-x}$.

Складываем производные:

$y' = (e^x)' + (e^{-x})' = e^x - e^{-x}$.

Ответ: $y' = e^x - e^{-x}$.

9) Дана функция $y = 5^x$. Это показательная функция.

Используем формулу производной показательной функции: $(a^x)' = a^x \ln a$.

В нашем случае $a = 5$.

$y' = (5^x)' = 5^x \ln 5$.

Ответ: $y' = 5^x \ln 5$.

10) Дана функция $y = 2^{x^2}$. Это сложная функция.

Используем цепное правило: $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

Здесь внешняя функция $f(u) = 2^u$, внутренняя функция $g(x) = x^2$.

Находим их производные: $f'(u) = (2^u)' = 2^u \ln 2$ и $g'(x) = (x^2)' = 2x$.

Подставляем в формулу:

$y' = (2^{x^2})' = 2^{x^2} \ln 2 \cdot (x^2)' = 2^{x^2} \ln 2 \cdot 2x$.

$y' = 2x \cdot 2^{x^2} \ln 2$.

Ответ: $y' = 2x \cdot 2^{x^2} \ln 2$.

11) Дана функция $y = 7^{2x-3}$. Это сложная функция.

Используем цепное правило: $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

Здесь внешняя функция $f(u) = 7^u$, внутренняя функция $g(x) = 2x-3$.

Находим их производные: $f'(u) = (7^u)' = 7^u \ln 7$ и $g'(x) = (2x-3)' = 2$.

Подставляем в формулу:

$y' = (7^{2x-3})' = 7^{2x-3} \ln 7 \cdot (2x-3)' = 7^{2x-3} \ln 7 \cdot 2$.

$y' = 2 \cdot 7^{2x-3} \ln 7$.

Ответ: $y' = 2 \cdot 7^{2x-3} \ln 7$.

12) Дана функция $y = x \cdot 3^x$. Это произведение двух функций.

Используем правило дифференцирования произведения: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = x$ и $v(x) = 3^x$.

Находим их производные: $u'(x) = (x)' = 1$ и $v'(x) = (3^x)' = 3^x \ln 3$.

Подставляем в формулу:

$y' = (x)' \cdot 3^x + x \cdot (3^x)' = 1 \cdot 3^x + x \cdot 3^x \ln 3$.

Вынесем общий множитель $3^x$: $y' = 3^x(1 + x \ln 3)$.

Ответ: $y' = 3^x(1 + x \ln 3)$.

13) Дана функция $y = \frac{2^x - 3}{2^x + 1}$. Это частное двух функций.

Используем правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u(x) = 2^x - 3$ и $v(x) = 2^x + 1$.

Находим их производные: $u'(x) = (2^x - 3)' = 2^x \ln 2$ и $v'(x) = (2^x + 1)' = 2^x \ln 2$.

Подставляем в формулу:

$y' = \frac{(2^x \ln 2)(2^x + 1) - (2^x - 3)(2^x \ln 2)}{(2^x + 1)^2}$.

Вынесем в числителе общий множитель $2^x \ln 2$ за скобки:

$y' = \frac{2^x \ln 2 ((2^x + 1) - (2^x - 3))}{(2^x + 1)^2} = \frac{2^x \ln 2 (2^x + 1 - 2^x + 3)}{(2^x + 1)^2}$.

Упрощаем выражение в скобках: $y' = \frac{2^x \ln 2 \cdot 4}{(2^x + 1)^2} = \frac{4 \cdot 2^x \ln 2}{(2^x + 1)^2}$.

Ответ: $y' = \frac{4 \cdot 2^x \ln 2}{(2^x + 1)^2}$.

14) Дана функция $y = 0.3^{\operatorname{tg} x}$. Это сложная функция.

Используем цепное правило: $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

Здесь внешняя функция $f(u) = 0.3^u$, внутренняя функция $g(x) = \operatorname{tg} x$.

Находим их производные: $f'(u) = (0.3^u)' = 0.3^u \ln(0.3)$ и $g'(x) = (\operatorname{tg} x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$.

Подставляем в формулу:

$y' = (0.3^{\operatorname{tg} x})' = 0.3^{\operatorname{tg} x} \ln(0.3) \cdot (\operatorname{tg} x)' = 0.3^{\operatorname{tg} x} \ln(0.3) \cdot \frac{1}{\cos^2 x}$.

$y' = \frac{0.3^{\operatorname{tg} x} \ln(0.3)}{\cos^2 x}$.

Ответ: $y' = \frac{0.3^{\operatorname{tg} x} \ln(0.3)}{\cos^2 x}$.