Номер 7, страница 68 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Когда сделаны уроки. § 8. Производные показательной и логарифмической функции. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 7, страница 68.

7. Решите уравнение $\log_2 (x - 5)^2 - 2\log_2 (x + 2) = 2$.

Область допустимых значений (ОДЗ)

Для того чтобы логарифмическое уравнение имело смысл, аргументы всех логарифмов должны быть строго положительными.

1. Для логарифма $log_2(x - 5)^2$ необходимо, чтобы $(x - 5)^2 > 0$. Это неравенство выполняется для всех действительных чисел $x$, кроме $x = 5$.

2. Для логарифма $log_2(x + 2)$ необходимо, чтобы $x + 2 > 0$, что равносильно $x > -2$.

Объединяя эти два условия, получаем область допустимых значений для $x$: $x > -2$ и $x \neq 5$. В виде интервалов это записывается как $x \in (-2, 5) \cup (5, +\infty)$.

Решение уравнения

Исходное уравнение: $log_2(x - 5)^2 - 2log_2(x + 2) = 2$.

Используем свойство логарифма $log_a(b^c) = c \cdot log_a(b)$. Для чётной степени $c=2$ важно помнить о модуле: $log_a(b^2) = 2log_a|b|$.

Применим это свойство к первому слагаемому:

$2log_2|x - 5| - 2log_2(x + 2) = 2$.

Разделим обе части уравнения на 2:

$log_2|x - 5| - log_2(x + 2) = 1$.

Теперь воспользуемся свойством разности логарифмов $log_a(b) - log_a(c) = log_a\left(\frac{b}{c}\right)$:

$log_2\left(\frac{|x - 5|}{x + 2}\right) = 1$.

По определению логарифма ($log_a(b) = c \iff a^c = b$), перейдем к алгебраическому уравнению:

$\frac{|x - 5|}{x + 2} = 2^1 = 2$.

Отсюда следует $|x - 5| = 2(x + 2)$, или $|x - 5| = 2x + 4$.

Для решения этого уравнения необходимо раскрыть модуль. Рассмотрим два случая в соответствии с ОДЗ.

Случай 1: $x-5 \ge 0$, то есть $x \ge 5$.

В этом случае $|x - 5| = x - 5$. Уравнение принимает вид:

$x - 5 = 2x + 4$

$x - 2x = 4 + 5$

$-x = 9 \implies x = -9$.

Этот корень не удовлетворяет условию $x \ge 5$, поэтому он является посторонним.

Случай 2: $x-5 < 0$, то есть $x < 5$.

В этом случае $|x - 5| = -(x - 5) = 5 - x$. Уравнение принимает вид:

$5 - x = 2x + 4$

$5 - 4 = 2x + x$

$1 = 3x \implies x = \frac{1}{3}$.

Проверим, принадлежит ли этот корень ОДЗ. Условие $x < 5$ выполняется. Также $1/3 > -2$. Таким образом, корень $x = \frac{1}{3}$ удовлетворяет ОДЗ: $-2 < \frac{1}{3} < 5$. Следовательно, это единственное решение уравнения.

Проверка

Подставим $x=\frac{1}{3}$ в исходное уравнение, чтобы убедиться в правильности решения:

$log_2\left(\frac{1}{3} - 5\right)^2 - 2log_2\left(\frac{1}{3} + 2\right) = log_2\left(-\frac{14}{3}\right)^2 - 2log_2\left(\frac{7}{3}\right)$

$= log_2\left(\frac{196}{9}\right) - 2log_2\left(\frac{7}{3}\right) = 2log_2\left(\frac{14}{3}\right) - 2log_2\left(\frac{7}{3}\right)$

$= 2\left(log_2\frac{14}{3} - log_2\frac{7}{3}\right) = 2 \cdot log_2\left(\frac{14/3}{7/3}\right) = 2 \cdot log_2(2) = 2 \cdot 1 = 2$.

Так как $2=2$, равенство верно.

Ответ: $\frac{1}{3}$.