Страница 68 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Решите уравнение $(\sqrt{2+\sqrt{3}})^x + (\sqrt{2-\sqrt{3}})^x = 4$.

Данное уравнение является показательным:

Обратим внимание на основания степеней: $ \sqrt{2+\sqrt{3}} $ и $ \sqrt{2-\sqrt{3}} $. Эти выражения являются сопряженными. Найдем их произведение, чтобы установить связь между ними:

Применяя формулу разности квадратов $ (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 $ под корнем, получаем:

Поскольку произведение оснований равно 1, они являются взаимно обратными числами. Это означает, что:

Это наблюдение позволяет нам сделать замену переменной для упрощения уравнения. Пусть $ t = (\sqrt{2+\sqrt{3}})^x $. Так как основание $ \sqrt{2+\sqrt{3}} > 0 $, то и $ t $ должно быть положительным, $ t > 0 $.

Теперь выразим второе слагаемое через $t$:

Подставим $t$ и $ \frac{1}{t} $ в исходное уравнение:

Чтобы решить это уравнение, умножим обе его части на $t$ (мы можем это сделать, так как $ t \neq 0 $):

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

Решим это уравнение относительно $t$ с помощью дискриминанта $ D = b^2 - 4ac $:

Теперь найдем корни уравнения для $t$:

Мы получили два решения для $t$: $t_1 = 2 + \sqrt{3}$ и $t_2 = 2 - \sqrt{3}$. Оба корня положительны ($2 - \sqrt{3} \approx 2 - 1.732 > 0$), поэтому оба удовлетворяют условию $t>0$.

Теперь необходимо выполнить обратную замену для каждого из найденных значений $t$.

Случай 1: $t = 2 + \sqrt{3}$

Возвращаемся к замене $ t = (\sqrt{2+\sqrt{3}})^x $:

Представим левую часть как степень с основанием $ (2+\sqrt{3}) $. Так как $ \sqrt{a} = a^{1/2} $, то:

Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

Случай 2: $t = 2 - \sqrt{3}$

Снова возвращаемся к замене:

Как мы установили ранее, $ 2-\sqrt{3} $ и $ 2+\sqrt{3} $ — взаимно обратные числа, то есть $ 2 - \sqrt{3} = \frac{1}{2+\sqrt{3}} = (2+\sqrt{3})^{-1} $. Подставим это в уравнение:

Приравниваем показатели степеней:

Таким образом, мы нашли два корня уравнения.

Ответ: $x = 2, x = -2$.

2. Решите уравнение:

1) $2^x = 3 - x$;

2) $3^x + 4^x = 5^x$.

1) $2^x = 3 - x$

Данное уравнение является трансцендентным. Для его решения проанализируем функции, стоящие в левой и правой частях уравнения.

Пусть $f(x) = 2^x$ и $g(x) = 3 - x$.

Функция $f(x) = 2^x$ — показательная функция с основанием $2 > 1$, поэтому она является строго возрастающей на всей области определения.

Функция $g(x) = 3 - x$ — линейная функция с угловым коэффициентом $k = -1$, поэтому она является строго убывающей на всей области определения.

Строго возрастающая и строго убывающая функции могут иметь не более одной точки пересечения. Следовательно, данное уравнение имеет не более одного корня.

Найдем корень методом подбора. Проверим значение $x=1$:

Левая часть: $2^1 = 2$.

Правая часть: $3 - 1 = 2$.

Поскольку левая и правая части равны ($2=2$), $x=1$ является корнем уравнения.

Так как мы установили, что корень может быть только один, то $x = 1$ — единственное решение.

Ответ: $x = 1$.

2) $3^x + 4^x = 5^x$

Сначала попробуем найти корень методом подбора. Заметим, что числа 3, 4, 5 образуют Пифагорову тройку: $3^2 + 4^2 = 5^2$. Это наводит на мысль проверить $x = 2$.

Подставим $x = 2$ в уравнение:

$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.

$5^2 = 25$.

Равенство $25 = 25$ верно, значит, $x = 2$ является корнем уравнения. Теперь докажем, что других корней нет.

Разделим обе части уравнения на $5^x$. Так как $5^x > 0$ при любом значении $x$, это преобразование является равносильным (не приводит к потере или появлению новых корней).

$\frac{3^x}{5^x} + \frac{4^x}{5^x} = \frac{5^x}{5^x}$

Используя свойство степени, получаем:

$(\frac{3}{5})^x + (\frac{4}{5})^x = 1$

Рассмотрим функцию в левой части уравнения: $f(x) = (\frac{3}{5})^x + (\frac{4}{5})^x$.

Эта функция представляет собой сумму двух показательных функций: $y_1(x) = (\frac{3}{5})^x$ и $y_2(x) = (\frac{4}{5})^x$. Основания обеих функций ($a_1 = \frac{3}{5}$ и $a_2 = \frac{4}{5}$) находятся в интервале $(0; 1)$, следовательно, каждая из этих функций является строго убывающей.

Сумма двух строго убывающих функций также является строго убывающей функцией. Таким образом, функция $f(x)$ строго убывает на всей числовой прямой.

Уравнение приняло вид $f(x) = 1$. Поскольку $f(x)$ — строго монотонная (в данном случае убывающая) функция, она принимает каждое свое значение ровно один раз. Это означает, что уравнение имеет не более одного решения.

Так как мы уже нашли корень $x=2$, он и является единственным решением уравнения.

Ответ: $x = 2$.

3. Решите неравенство $x^2 \cdot 3^x + 9 < x^{2} + 3^{x+2}$.

Исходное неравенство:

$x^2 \cdot 3^x + 9 < x^2 + 3^{x+2}$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$x^2 \cdot 3^x + 9 - x^2 - 3^{x+2} < 0$

Используем свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, чтобы упростить выражение $3^{x+2}$:

$3^{x+2} = 3^x \cdot 3^2 = 9 \cdot 3^x$

Подставим это в неравенство:

$x^2 \cdot 3^x + 9 - x^2 - 9 \cdot 3^x < 0$

Сгруппируем слагаемые для последующего разложения на множители:

$(x^2 \cdot 3^x - 9 \cdot 3^x) + (9 - x^2) < 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$3^x(x^2 - 9) - (x^2 - 9) < 0$

Теперь вынесем за скобку общий множитель $(x^2 - 9)$:

$(x^2 - 9)(3^x - 1) < 0$

Мы получили неравенство, которое можно решить методом интервалов. Для этого найдем нули каждого множителя.

1. Найдем нули первого множителя: $x^2 - 9 = 0$

$x^2 = 9$

$x_1 = -3$, $x_2 = 3$

2. Найдем нули второго множителя: $3^x - 1 = 0$

$3^x = 1$

$3^x = 3^0$

$x_3 = 0$

Отметим найденные точки $(-3, 0, 3)$ на числовой оси. Они разбивают ось на четыре интервала: $(-\infty, -3)$, $(-3, 0)$, $(0, 3)$, $(3, +\infty)$. Определим знак выражения $(x^2 - 9)(3^x - 1)$ на каждом интервале, выбрав пробную точку.

• При $x \in (-\infty, -3)$, например $x=-4$:
  $((-4)^2 - 9)(3^{-4} - 1) = (16 - 9)(\frac{1}{81} - 1) = 7 \cdot (-\frac{80}{81}) < 0$. Знак "минус".
• При $x \in (-3, 0)$, например $x=-1$:
  $((-1)^2 - 9)(3^{-1} - 1) = (1 - 9)(\frac{1}{3} - 1) = (-8) \cdot (-\frac{2}{3}) > 0$. Знак "плюс".
• При $x \in (0, 3)$, например $x=1$:
  $((1)^2 - 9)(3^1 - 1) = (1 - 9)(3 - 1) = (-8) \cdot 2 < 0$. Знак "минус".
• При $x \in (3, +\infty)$, например $x=4$:
  $((4)^2 - 9)(3^4 - 1) = (16 - 9)(81 - 1) = 7 \cdot 80 > 0$. Знак "плюс".

Поскольку мы решаем неравенство $(x^2 - 9)(3^x - 1) < 0$, нас интересуют интервалы, где выражение отрицательно. Это интервалы $(-\infty, -3)$ и $(0, 3)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -3) \cup (0, 3)$

4. Решите уравнение $|3^x - 1| + |3^x - 9| = 8.

4.

Для решения уравнения $|3^x - 1| + |3^x - 9| = 8$ введем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Поскольку значение показательной функции всегда положительно, имеем $t > 0$.

После замены исходное уравнение принимает вид:

$|t - 1| + |t - 9| = 8$

Это уравнение можно решить, используя геометрическую интерпретацию модуля. Выражение $|a - b|$ равно расстоянию между точками $a$ и $b$ на числовой оси. Таким образом, наше уравнение означает, что сумма расстояний от точки $t$ до точек $1$ и $9$ равна $8$.

Расстояние между точками $1$ и $9$ равно $|9 - 1| = 8$. Сумма расстояний от точки $t$ до концов отрезка $[1, 9]$ может быть равна длине этого отрезка только в том случае, если точка $t$ находится на этом отрезке. Таким образом, решением уравнения для $t$ является отрезок $[1, 9]$.

Проверим это, рассмотрев все возможные случаи расположения $t$ на числовой прямой:

1. Если $t < 1$, то $t-1 < 0$ и $t-9 < 0$. Модули раскрываются с противоположным знаком:

$-(t - 1) - (t - 9) = 8$

$1 - t + 9 - t = 8$

$10 - 2t = 8$

$2t = 2$

$t = 1$. Это значение не удовлетворяет условию $t < 1$, поэтому в этом интервале решений нет.

2. Если $1 \le t \le 9$, то $t-1 \ge 0$ и $t-9 \le 0$. Первый модуль раскрывается со знаком плюс, второй — со знаком минус:

$(t - 1) - (t - 9) = 8$

$t - 1 - t + 9 = 8$

$8 = 8$

Это тождество означает, что любой значение $t$ из отрезка $[1, 9]$ является решением уравнения.

3. Если $t > 9$, то $t-1 > 0$ и $t-9 > 0$. Оба модуля раскрываются со знаком плюс:

$(t - 1) + (t - 9) = 8$

$2t - 10 = 8$

$2t = 18$

$t = 9$. Это значение не удовлетворяет условию $t > 9$, поэтому в этом интервале решений нет.

Объединяя результаты, получаем, что решением для $t$ является отрезок $1 \le t \le 9$. Условие $t>0$ выполнено.

Теперь выполним обратную замену $t = 3^x$:

$1 \le 3^x \le 9$

Представим числа $1$ и $9$ в виде степени с основанием $3$:

$3^0 \le 3^x \le 3^2$

Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция $y = 3^x$ является строго возрастающей. Следовательно, мы можем перейти от неравенства для значений функции к неравенству для их аргументов (показателей степени), сохранив знаки неравенства:

$0 \le x \le 2$

Ответ: $x \in [0, 2]$.

5. Решите неравенство:

1) $5^x > 6 - x;$

2) $5^x + 12^x < 13^x.$

1) Рассмотрим неравенство $5^x > 6 - x$.

Это трансцендентное неравенство, которое решается с помощью анализа свойств функций. Введем две функции: $f(x) = 5^x$ и $g(x) = 6 - x$. Нам нужно найти значения $x$, при которых $f(x) > g(x)$.

Проанализируем свойства этих функций:

• Функция $f(x) = 5^x$ является показательной с основанием $5 > 1$, следовательно, она строго возрастает на всей своей области определения.
• Функция $g(x) = 6 - x$ является линейной с угловым коэффициентом $-1$, следовательно, она строго убывает на всей своей области определения.

Так как одна функция строго возрастает, а другая строго убывает, их графики могут пересечься не более чем в одной точке. Найдем эту точку, решив уравнение $f(x) = g(x)$, то есть $5^x = 6 - x$.

Методом подбора легко найти корень этого уравнения. Проверим целые значения $x$: при $x=1$ получаем $5^1 = 5$ и $6-1=5$. Так как $5=5$, $x=1$ является корнем уравнения.

Поскольку $x=1$ — единственная точка пересечения, а функция $f(x)=5^x$ возрастает быстрее, чем убывает функция $g(x)=6-x$, то при всех $x$, больших этого корня, значения $f(x)$ будут больше значений $g(x)$. Таким образом, неравенство $5^x > 6-x$ выполняется при $x > 1$.

Ответ: $x \in (1; +\infty)$.

2) Рассмотрим неравенство $5^x + 12^x < 13^x$.

Заметим, что числа 5, 12, 13 образуют пифагорову тройку: $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$. Это является ключевой подсказкой к решению.

Так как $13^x > 0$ при любом значении $x$, мы можем разделить обе части неравенства на $13^x$, не меняя знака неравенства:
$\frac{5^x}{13^x} + \frac{12^x}{13^x} < \frac{13^x}{13^x}$
$(\frac{5}{13})^x + (\frac{12}{13})^x < 1$

Введем функцию $h(x) = (\frac{5}{13})^x + (\frac{12}{13})^x$. Нам нужно решить неравенство $h(x) < 1$.

Функция $h(x)$ представляет собой сумму двух показательных функций с основаниями $\frac{5}{13}$ и $\frac{12}{13}$. Так как оба основания $0 < \frac{5}{13} < 1$ и $0 < \frac{12}{13} < 1$, каждая из этих функций является строго убывающей. Сумма двух строго убывающих функций также является строго убывающей функцией.

Теперь найдем значение $x$, при котором $h(x) = 1$:
$(\frac{5}{13})^x + (\frac{12}{13})^x = 1$
Используя замеченную нами пифагорову тройку, легко видеть, что при $x=2$ равенство выполняется:
$(\frac{5}{13})^2 + (\frac{12}{13})^2 = \frac{25}{169} + \frac{144}{169} = \frac{25+144}{169} = \frac{169}{169} = 1$.

Так как $h(x)$ — строго убывающая функция, а $h(2)=1$, то при всех $x>2$ значения функции будут меньше 1, то есть $h(x) < 1$.

Ответ: $x \in (2; +\infty)$.

6. Решите неравенство $ (2^x - 2)\sqrt{x^2 - x - 6} \ge 0 $.

Для решения неравенства $(2^x - 2)\sqrt{x^2 - x - 6} \ge 0$ сначала найдем его область допустимых значений (ОДЗ).

Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:$x^2 - x - 6 \ge 0$.

Чтобы решить это квадратное неравенство, найдем корни уравнения $x^2 - x - 6 = 0$. Используя теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения, получаем:$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$$x_1 = \frac{1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{1-5}{2} = -2$$x_2 = \frac{1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{1+5}{2} = 3$

Графиком функции $y = x^2 - x - 6$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Следовательно, неравенство $x^2 - x - 6 \ge 0$ выполняется, когда $x$ находится вне интервала между корнями, включая сами корни.Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty, -2] \cup [3, +\infty)$.

Теперь вернемся к исходному неравенству. Оно представляет собой произведение двух множителей. Множитель $\sqrt{x^2 - x - 6}$ всегда неотрицателен на своей области определения. Неравенство будет верным в двух случаях.

1. Значение выражения под корнем равно нулю. В этом случае все произведение равно нулю, что удовлетворяет знаку $\ge 0$.$x^2 - x - 6 = 0$Это дает нам решения $x = -2$ и $x = 3$. Оба этих значения входят в ОДЗ и являются решениями исходного неравенства.

2. Значение выражения под корнем строго положительно, то есть $\sqrt{x^2 - x - 6} > 0$. Это выполняется при $x \in (-\infty, -2) \cup (3, +\infty)$.В этом случае, чтобы все произведение было неотрицательным, первый множитель также должен быть неотрицательным:$2^x - 2 \ge 0$$2^x \ge 2$Поскольку основание степени $2 > 1$, показательная функция является возрастающей, и мы можем сравнить показатели:$x \ge 1$

Теперь нам нужно найти пересечение полученного условия $x \ge 1$ с условиями данного случая $x \in (-\infty, -2) \cup (3, +\infty)$.Пересечение множеств $[1, +\infty)$ и $((-\infty, -2) \cup (3, +\infty))$ дает нам интервал $(3, +\infty)$.

Итоговое решение неравенства является объединением решений, полученных в обоих случаях.Объединяем решения из первого случая (точки $x = -2$ и $x = 3$) и второго случая (интервал $(3, +\infty)$):$\{-2\} \cup \{3\} \cup (3, +\infty) = \{-2\} \cup [3, +\infty)$.

Ответ: $x \in \{-2\} \cup [3, +\infty)$.

7. Решите уравнение $\log_2 (x - 5)^2 - 2\log_2 (x + 2) = 2$.

Область допустимых значений (ОДЗ)

Для того чтобы логарифмическое уравнение имело смысл, аргументы всех логарифмов должны быть строго положительными.

1. Для логарифма $log_2(x - 5)^2$ необходимо, чтобы $(x - 5)^2 > 0$. Это неравенство выполняется для всех действительных чисел $x$, кроме $x = 5$.

2. Для логарифма $log_2(x + 2)$ необходимо, чтобы $x + 2 > 0$, что равносильно $x > -2$.

Объединяя эти два условия, получаем область допустимых значений для $x$: $x > -2$ и $x \neq 5$. В виде интервалов это записывается как $x \in (-2, 5) \cup (5, +\infty)$.

Решение уравнения

Исходное уравнение: $log_2(x - 5)^2 - 2log_2(x + 2) = 2$.

Используем свойство логарифма $log_a(b^c) = c \cdot log_a(b)$. Для чётной степени $c=2$ важно помнить о модуле: $log_a(b^2) = 2log_a|b|$.

Применим это свойство к первому слагаемому:

$2log_2|x - 5| - 2log_2(x + 2) = 2$.

Разделим обе части уравнения на 2:

$log_2|x - 5| - log_2(x + 2) = 1$.

Теперь воспользуемся свойством разности логарифмов $log_a(b) - log_a(c) = log_a\left(\frac{b}{c}\right)$:

$log_2\left(\frac{|x - 5|}{x + 2}\right) = 1$.

По определению логарифма ($log_a(b) = c \iff a^c = b$), перейдем к алгебраическому уравнению:

$\frac{|x - 5|}{x + 2} = 2^1 = 2$.

Отсюда следует $|x - 5| = 2(x + 2)$, или $|x - 5| = 2x + 4$.

Для решения этого уравнения необходимо раскрыть модуль. Рассмотрим два случая в соответствии с ОДЗ.

Случай 1: $x-5 \ge 0$, то есть $x \ge 5$.

В этом случае $|x - 5| = x - 5$. Уравнение принимает вид:

$x - 5 = 2x + 4$

$x - 2x = 4 + 5$

$-x = 9 \implies x = -9$.

Этот корень не удовлетворяет условию $x \ge 5$, поэтому он является посторонним.

Случай 2: $x-5 < 0$, то есть $x < 5$.

В этом случае $|x - 5| = -(x - 5) = 5 - x$. Уравнение принимает вид:

$5 - x = 2x + 4$

$5 - 4 = 2x + x$

$1 = 3x \implies x = \frac{1}{3}$.

Проверим, принадлежит ли этот корень ОДЗ. Условие $x < 5$ выполняется. Также $1/3 > -2$. Таким образом, корень $x = \frac{1}{3}$ удовлетворяет ОДЗ: $-2 < \frac{1}{3} < 5$. Следовательно, это единственное решение уравнения.

Проверка

Подставим $x=\frac{1}{3}$ в исходное уравнение, чтобы убедиться в правильности решения:

$log_2\left(\frac{1}{3} - 5\right)^2 - 2log_2\left(\frac{1}{3} + 2\right) = log_2\left(-\frac{14}{3}\right)^2 - 2log_2\left(\frac{7}{3}\right)$

$= log_2\left(\frac{196}{9}\right) - 2log_2\left(\frac{7}{3}\right) = 2log_2\left(\frac{14}{3}\right) - 2log_2\left(\frac{7}{3}\right)$

$= 2\left(log_2\frac{14}{3} - log_2\frac{7}{3}\right) = 2 \cdot log_2\left(\frac{14/3}{7/3}\right) = 2 \cdot log_2(2) = 2 \cdot 1 = 2$.

Так как $2=2$, равенство верно.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

8. Решите уравнение:

1) $\log_{7} (x + 8) = -x;$

2) $\log_{2}^2 x + (x - 1)\log_{2} x = 6 - 2x.$

1) $\log_7(x + 8) = -x$

Первым шагом найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$x + 8 > 0$
$x > -8$

Преобразуем уравнение, используя определение логарифма: $\log_b a = c \iff b^c = a$.
$x + 8 = 7^{-x}$

Это трансцендентное уравнение. Решим его, рассмотрев функции, стоящие в левой и правой частях уравнения:
$f(x) = x + 8$
$g(x) = 7^{-x} = (\frac{1}{7})^x$

Проанализируем монотонность этих функций:

• Функция $f(x) = x + 8$ — линейная, возрастающая на всей числовой оси, так как ее производная $f'(x) = 1 > 0$.
• Функция $g(x) = 7^{-x}$ — показательная с основанием меньше 1, убывающая на всей числовой оси, так как ее производная $g'(x) = -7^{-x}\ln{7} < 0$.

Поскольку одна функция является строго возрастающей, а другая — строго убывающей, они могут пересечься не более одного раза. Следовательно, уравнение имеет не более одного корня.

Найдем корень подбором. Проверим целые значения $x$, удовлетворяющие ОДЗ.
Пусть $x = -1$.
Левая часть: $\log_7(-1 + 8) = \log_7 7 = 1$.
Правая часть: $-(-1) = 1$.
$1 = 1$.
Следовательно, $x = -1$ является корнем уравнения. Так как корень единственный, других решений нет.

Корень $x = -1$ удовлетворяет ОДЗ ($ -1 > -8 $).

Ответ: -1.

2) $\log_2^2 x + (x - 1)\log_2 x = 6 - 2x$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
$x > 0$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:
$\log_2^2 x + (x - 1)\log_2 x - (6 - 2x) = 0$
$\log_2^2 x + (x - 1)\log_2 x + 2x - 6 = 0$

Рассмотрим это уравнение как квадратное относительно переменной $\log_2 x$. Сделаем замену: $y = \log_2 x$.
$y^2 + (x - 1)y + (2x - 6) = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $y$, используя формулу корней. Здесь коэффициенты $a=1$, $b=x-1$, $c=2x-6$.
Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (x - 1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2x - 6) = x^2 - 2x + 1 - 8x + 24 = x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2$.

Теперь найдем корни для $y$:
$y = \frac{-(x-1) \pm \sqrt{(x-5)^2}}{2} = \frac{1-x \pm (x-5)}{2}$

Рассмотрим два случая:

1. $y_1 = \frac{1 - x + (x - 5)}{2} = \frac{1 - 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.

2. $y_2 = \frac{1 - x - (x - 5)}{2} = \frac{1 - x - x + 5}{2} = \frac{6 - 2x}{2} = 3 - x$.

Вернемся к исходной переменной $x$, подставив $y = \log_2 x$. Получим совокупность двух уравнений:
$\log_2 x = -2$
$\log_2 x = 3 - x$

Решим каждое уравнение по отдельности.
Из первого уравнения:
$\log_2 x = -2 \implies x = 2^{-2} \implies x = \frac{1}{4}$.
Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($ \frac{1}{4} > 0 $).

Решим второе уравнение:
$\log_2 x = 3 - x$
Это также трансцендентное уравнение. Рассмотрим функции $f(x) = \log_2 x$ (возрастающая на $x > 0$) и $g(x) = 3 - x$ (убывающая). Уравнение имеет не более одного корня.
Найдем корень подбором.
Пусть $x = 2$.
Левая часть: $\log_2 2 = 1$.
Правая часть: $3 - 2 = 1$.
$1 = 1$.
Значит, $x = 2$ является корнем.
Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($ 2 > 0 $).

Таким образом, исходное уравнение имеет два корня.

Ответ: $\frac{1}{4}; 2$.

9. Решите уравнение

$\operatorname{lg}^2(x+1) = \operatorname{lg}(x+1)\operatorname{lg}(x-1) + 2\operatorname{lg}^2(x-1)$

Для решения уравнения $\lg^2(x + 1) = \lg(x + 1)\lg(x - 1) + 2\lg^2(x - 1)$ сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases}x + 1 > 0 \\x - 1 > 0\end{cases}\implies\begin{cases}x > -1 \\x > 1\end{cases}$

Следовательно, ОДЗ уравнения: $x \in (1, \infty)$.

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$\lg^2(x + 1) - \lg(x + 1)\lg(x - 1) - 2\lg^2(x - 1) = 0$

Данное уравнение является однородным квадратным уравнением относительно $\lg(x + 1)$ и $\lg(x - 1)$. Заметим, что $\lg(x - 1) \neq 0$, так как если $\lg(x - 1) = 0$, то $x - 1 = 1 \implies x = 2$. Подстановка $x = 2$ в исходное уравнение приводит к неверному равенству $\lg^2(3) = 0$. Следовательно, мы можем разделить обе части уравнения на $\lg^2(x - 1)$:

$\left(\frac{\lg(x + 1)}{\lg(x - 1)}\right)^2 - \frac{\lg(x + 1)}{\lg(x - 1)} - 2 = 0$

Введем замену $t = \frac{\lg(x + 1)}{\lg(x - 1)}$. Уравнение примет вид:

$t^2 - t - 2 = 0$

Корнями этого квадратного уравнения, найденными по теореме Виета, являются $t_1 = 2$ и $t_2 = -1$.

Выполним обратную замену для каждого из найденных значений $t$.

Случай 1: $t = 2$.
$\frac{\lg(x + 1)}{\lg(x - 1)} = 2$
$\lg(x + 1) = 2\lg(x - 1)$
$\lg(x + 1) = \lg((x - 1)^2)$
$x + 1 = (x - 1)^2$
$x + 1 = x^2 - 2x + 1$
$x^2 - 3x = 0$
$x(x - 3) = 0$
Получаем два возможных корня: $x = 0$ и $x = 3$.

Случай 2: $t = -1$.
$\frac{\lg(x + 1)}{\lg(x - 1)} = -1$
$\lg(x + 1) = -\lg(x - 1)$
$\lg(x + 1) = \lg\left((x - 1)^{-1}\right)$
$x + 1 = \frac{1}{x - 1}$
$(x+1)(x-1) = 1$
$x^2 - 1 = 1$
$x^2 = 2$
Получаем еще два возможных корня: $x = \sqrt{2}$ и $x = -\sqrt{2}$.

Проверим все найденные корни на соответствие ОДЗ ($x > 1$):
- $x = 3$ — удовлетворяет ОДЗ ($3 > 1$).
- $x = \sqrt{2}$ — удовлетворяет ОДЗ (так как $\sqrt{2} \approx 1.414 > 1$).
- $x = 0$ — не удовлетворяет ОДЗ ($0 \ngtr 1$).
- $x = -\sqrt{2}$ — не удовлетворяет ОДЗ ($-\sqrt{2} \ngtr 1$).

Таким образом, решениями уравнения являются два корня.

Ответ: $3; \sqrt{2}$.

10. Решите уравнение $\sqrt{\operatorname{tg} x + 1} \log_{\frac{1}{2}} (3-x) = 0$.

Для решения данного уравнения сначала найдем его область допустимых значений (ОДЗ).

1. Область допустимых значений (ОДЗ)

Уравнение содержит три элемента, накладывающих ограничения на переменную $x$:

• Подкоренное выражение для квадратного корня должно быть неотрицательным:
  $ \tg x \geq 0 $
• Тангенс должен быть определен, что означает:
  $ x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n $, где $n \in \mathbb{Z}$.
  Это условие уже включено в неравенство $ \tg x \geq 0 $, так как в точках $ \frac{\pi}{2} + \pi n $ тангенс не существует.
• Аргумент логарифма должен быть строго положительным:
  $ 3 - x > 0 \implies x < 3 $

Решим неравенство $ \tg x \geq 0 $. Тангенс неотрицателен в первой и третьей четвертях координатной окружности. Это соответствует промежуткам:
$ x \in [n\pi, \frac{\pi}{2} + n\pi) $, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь объединим это условие с условием $ x < 3 $:

• При $ n = 0 $: $ x \in [0, \frac{\pi}{2}) $. Так как $ \frac{\pi}{2} \approx 1.57 < 3 $, этот промежуток полностью входит в ОДЗ.
• При $ n = 1 $: $ x \in [\pi, \frac{3\pi}{2}) $. Так как $ \pi \approx 3.14 > 3 $, этот и все последующие промежутки для $ n > 0 $ не входят в ОДЗ.
• При $ n = -1 $: $ x \in [-\pi, -\frac{\pi}{2}) $. Этот промежуток полностью входит в ОДЗ, так как $ -\frac{\pi}{2} < 3 $.
• При $ n = -2 $: $ x \in [-2\pi, -\frac{3\pi}{2}) $. Этот промежуток также полностью входит в ОДЗ.

Таким образом, ОДЗ представляет собой объединение бесконечного числа промежутков:
$ x \in [0, \frac{\pi}{2}) \cup \bigcup_{n=1}^{\infty} [-n\pi, -\frac{\pi}{2} - (n-1)\pi) $
Или, более компактно, $ x \in [n\pi, \frac{\pi}{2} + n\pi) $ для всех целых $ n \le 0 $.

2. Анализ и решение уравнения

Рассмотрим функцию $ F(x) = \sqrt{\tg x} + 1 + \log_{\frac{1}{2}}(3-x) $. Нам нужно найти корни уравнения $ F(x) = 0 $.

Проанализируем монотонность этой функции на ее области определения. Для этого найдем ее производную $ F'(x) $:
$ F'(x) = (\sqrt{\tg x})' + (1)' + (\log_{\frac{1}{2}}(3-x))' $
$ (\sqrt{\tg x})' = \frac{1}{2\sqrt{\tg x}} \cdot (\tg x)' = \frac{1}{2\sqrt{\tg x} \cdot \cos^2 x} $
Внутри интервалов ОДЗ (где $ \tg x > 0 $), эта производная строго положительна.
$ (\log_{\frac{1}{2}}(3-x))' = \frac{1}{(3-x) \ln(\frac{1}{2})} \cdot (3-x)' = \frac{1}{-(3-x)\ln 2} \cdot (-1) = \frac{1}{(3-x)\ln 2} $
В области ОДЗ $ x < 3 $, поэтому $ 3-x > 0 $, и эта производная также строго положительна.

Поскольку $ F'(x) $ является суммой двух положительных слагаемых, $ F'(x) > 0 $ на всей области определения. Это означает, что функция $ F(x) $ является строго возрастающей на каждом непрерывном промежутке своей области определения.

Строго возрастающая функция может пересекать ось абсцисс (т.е. иметь корень) не более одного раза на каждом непрерывном промежутке. Исследуем поведение функции на границах этих промежутков.

• Промежуток $ [0, \frac{\pi}{2}) $:
  Значение на левой границе: $ F(0) = \sqrt{\tg 0} + 1 + \log_{\frac{1}{2}}(3) = 1 - \log_2 3 $. Так как $ \log_2 3 > \log_2 2 = 1 $, то $ F(0) < 0 $.
  Предел на правой границе: $ \lim_{x \to (\pi/2)^-} F(x) $. При $ x \to (\pi/2)^- $, $ \tg x \to +\infty $, следовательно, $ F(x) \to +\infty $.
  Так как функция непрерывна, возрастает и меняет знак с "-" на "+", на интервале $ (0, \frac{\pi}{2}) $ существует ровно один корень.
• Промежуток $ [-n\pi, -\frac{\pi}{2} - (n-1)\pi) $ для $ n \in \mathbb{N} $:
  Для любого такого промежутка (например, $ [-\pi, -\frac{\pi}{2}) $):
  Значение на левой границе $ x = -n\pi $: $ F(-n\pi) = \sqrt{\tg(-n\pi)} + 1 + \log_{\frac{1}{2}}(3-(-n\pi)) = 1 - \log_2(3+n\pi) $. Так как при $ n \ge 1 $, $ 3+n\pi > 4 $, то $ \log_2(3+n\pi) > 2 $, а значит $ F(-n\pi) < 0 $.
  Предел на правой границе: $ \lim_{x \to (-\frac{\pi}{2} - (n-1)\pi)^-} F(x) $. При приближении к правой границе $ \tg x \to +\infty $, следовательно, $ F(x) \to +\infty $.
  Таким образом, на каждом из этих бесконечного числа промежутков также существует ровно один корень.

Найти точное аналитическое выражение для этих корней не представляется возможным, так как уравнение является трансцендентным.

Ответ: Уравнение имеет бесконечное множество решений. Для каждого целого числа $ n \le 0 $ существует единственный корень $ x_n $, принадлежащий интервалу $ (n\pi, \frac{\pi}{2} + n\pi) $. Эти корни не могут быть выражены через элементарные функции.

11. Решите неравенство:

1) $\log_{x-2} (2x-9) < 0$;

2) $\log_{x+1} (5-x) > 1$.

1) Решим неравенство $ \log_{x-2}(2x-9) < 0 $. Данное логарифмическое неравенство имеет переменное основание. Представим 0 как логарифм с тем же основанием: $ 0 = \log_{x-2}(1) $. Тогда неравенство примет вид $ \log_{x-2}(2x-9) < \log_{x-2}(1) $. Такое неравенство равносильно системе, которая учитывает область определения логарифма (основание больше 0 и не равно 1, аргумент больше 0) и знак неравенства в зависимости от величины основания (метод рационализации). Система выглядит следующим образом: $ \begin{cases} x-2 > 0 \\ x-2 \neq 1 \\ 2x-9 > 0 \\ (x-2-1)(2x-9-1) < 0 \end{cases} $ Решим каждое неравенство системы:
1. Из $ x-2 > 0 $ следует $ x > 2 $.
2. Из $ x-2 \neq 1 $ следует $ x \neq 3 $.
3. Из $ 2x-9 > 0 $ следует $ 2x > 9 $, то есть $ x > 4.5 $.
4. $ (x-3)(2x-10) < 0 $, что эквивалентно $ 2(x-3)(x-5) < 0 $. Корнями выражения в левой части являются $ x=3 $ и $ x=5 $. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется на интервале между корнями: $ 3 < x < 5 $.
Теперь необходимо найти пересечение всех полученных решений: $ x > 2 $, $ x \neq 3 $, $ x > 4.5 $ и $ 3 < x < 5 $. Наиболее сильным из первых трех условий является $ x > 4.5 $. Найдем пересечение этого условия с последним: $ (4.5, \infty) \cap (3, 5) $. Результатом пересечения является интервал $ (4.5, 5) $.
Ответ: $ x \in (4.5, 5) $.

2) Решим неравенство $ \log_{x+1}(5-x) > 1 $. Представим правую часть в виде логарифма с основанием $ x+1 $: $ 1 = \log_{x+1}(x+1) $. Неравенство принимает вид: $ \log_{x+1}(5-x) > \log_{x+1}(x+1) $. Используя метод рационализации и учитывая область определения, запишем равносильную систему: $ \begin{cases} x+1 > 0 \\ x+1 \neq 1 \\ 5-x > 0 \\ (x+1-1)((5-x)-(x+1)) > 0 \end{cases} $ Решим каждое неравенство системы:
1. Из $ x+1 > 0 $ следует $ x > -1 $.
2. Из $ x+1 \neq 1 $ следует $ x \neq 0 $.
3. Из $ 5-x > 0 $ следует $ x < 5 $.
4. $ x(5-x-x-1) > 0 $, что упрощается до $ x(4-2x) > 0 $ или $ 2x(2-x) > 0 $. Разделив на -2 и изменив знак неравенства, получим $ x(x-2) < 0 $. Решением этого квадратного неравенства является интервал $ 0 < x < 2 $.
Найдем пересечение решений всех неравенств. Сначала определим общую область допустимых значений из первых трех условий: $ x \in (-1, 5) $ и $ x \neq 0 $, то есть $ x \in (-1, 0) \cup (0, 5) $. Теперь пересечем эту область с решением четвертого неравенства $ (0, 2) $: $ ((-1, 0) \cup (0, 5)) \cap (0, 2) $. Результатом пересечения является интервал $ (0, 2) $.
Ответ: $ x \in (0, 2) $.

12. Решите неравенство $\sqrt{-x^2 + 7x - 10 \log_2 (x-3)} \le 0$.

Для решения неравенства $ \sqrt{-x^2+7x-10} \cdot \log_2(x-3) \le 0 $ сначала определим область допустимых значений (ОДЗ).

ОДЗ задается системой из двух условий:

1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $ -x^2+7x-10 \ge 0 $.

2. Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $ x-3 > 0 $.

Решим первое неравенство: $ -x^2+7x-10 \ge 0 $. Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $ x^2-7x+10 \le 0 $. Найдем корни квадратного уравнения $ x^2-7x+10=0 $. По теореме Виета, сумма корней равна 7, а произведение равно 10, следовательно, корни $ x_1=2 $ и $ x_2=5 $. Поскольку парабола $ y=x^2-7x+10 $ имеет ветви, направленные вверх, неравенство $ x^2-7x+10 \le 0 $ выполняется на отрезке между корнями: $ x \in [2, 5] $.

Решим второе неравенство: $ x-3 > 0 $, что дает $ x > 3 $.

Пересечение этих двух условий дает нам ОДЗ: $ [2, 5] \cap (3, +\infty) = (3, 5] $.

Теперь перейдем к решению самого неравенства на ОДЗ $ x \in (3, 5] $.

Множитель $ \sqrt{-x^2+7x-10} $ всегда неотрицателен ($ \ge 0 $) на своей области определения. Произведение неотрицательного множителя на второй множитель будет меньше или равно нулю, если:

Либо первый множитель равен нулю:

$ \sqrt{-x^2+7x-10} = 0 \implies -x^2+7x-10 = 0 $. Корнями этого уравнения являются $ x=2 $ и $ x=5 $. Из этих значений только $ x=5 $ входит в ОДЗ $ (3, 5] $. При $ x=5 $ исходное неравенство становится $ 0 \le 0 $, что является верным. Следовательно, $ x=5 $ — это решение.

Либо второй множитель не положителен (меньше или равен нулю), а первый строго положителен:

$ \log_2(x-3) \le 0 $.

Представим 0 как логарифм с основанием 2: $ 0 = \log_2(1) $.

$ \log_2(x-3) \le \log_2(1) $.

Так как основание логарифма $ 2 > 1 $, логарифмическая функция является возрастающей, поэтому можно перейти к неравенству для аргументов, сохраняя знак:

$ x-3 \le 1 \implies x \le 4 $.

Теперь нам нужно найти пересечение этого решения с ОДЗ, при этом исключив точку, где первый множитель равен нулю ( $ x=5 $), так как этот случай мы уже рассмотрели. Мы ищем значения $ x $, которые удовлетворяют одновременно условиям $ x \in (3, 5] $ и $ x \le 4 $.

Пересечением множеств $ (3, 5] $ и $ (-\infty, 4] $ является промежуток $ (3, 4] $.

Объединяя все найденные решения, получаем итоговый результат.

Решение из первого случая: $ \{5\} $.

Решение из второго случая: $ (3, 4] $.

Общее решение: $ (3, 4] \cup \{5\} $.

Ответ: $ x \in (3, 4] \cup \{5\} $