Номер 5, страница 68 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 1. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 8. Производные показательной и логарифмической функции. Когда сделаны уроки - номер 5, страница 68.

Учебник.

5. Решите неравенство:

1) $5^x > 6 - x;$

2) $5^x + 12^x < 13^x.$

Решение 2.

1) Рассмотрим неравенство $5^x > 6 - x$.

Это трансцендентное неравенство, которое решается с помощью анализа свойств функций. Введем две функции: $f(x) = 5^x$ и $g(x) = 6 - x$. Нам нужно найти значения $x$, при которых $f(x) > g(x)$.

Проанализируем свойства этих функций:

• Функция $f(x) = 5^x$ является показательной с основанием $5 > 1$, следовательно, она строго возрастает на всей своей области определения.
• Функция $g(x) = 6 - x$ является линейной с угловым коэффициентом $-1$, следовательно, она строго убывает на всей своей области определения.

Так как одна функция строго возрастает, а другая строго убывает, их графики могут пересечься не более чем в одной точке. Найдем эту точку, решив уравнение $f(x) = g(x)$, то есть $5^x = 6 - x$.

Методом подбора легко найти корень этого уравнения. Проверим целые значения $x$: при $x=1$ получаем $5^1 = 5$ и $6-1=5$. Так как $5=5$, $x=1$ является корнем уравнения.

Поскольку $x=1$ — единственная точка пересечения, а функция $f(x)=5^x$ возрастает быстрее, чем убывает функция $g(x)=6-x$, то при всех $x$, больших этого корня, значения $f(x)$ будут больше значений $g(x)$. Таким образом, неравенство $5^x > 6-x$ выполняется при $x > 1$.

Ответ: $x \in (1; +\infty)$.

2) Рассмотрим неравенство $5^x + 12^x < 13^x$.

Заметим, что числа 5, 12, 13 образуют пифагорову тройку: $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$. Это является ключевой подсказкой к решению.

Так как $13^x > 0$ при любом значении $x$, мы можем разделить обе части неравенства на $13^x$, не меняя знака неравенства:
$\frac{5^x}{13^x} + \frac{12^x}{13^x} < \frac{13^x}{13^x}$
$(\frac{5}{13})^x + (\frac{12}{13})^x < 1$

Введем функцию $h(x) = (\frac{5}{13})^x + (\frac{12}{13})^x$. Нам нужно решить неравенство $h(x) < 1$.

Функция $h(x)$ представляет собой сумму двух показательных функций с основаниями $\frac{5}{13}$ и $\frac{12}{13}$. Так как оба основания $0 < \frac{5}{13} < 1$ и $0 < \frac{12}{13} < 1$, каждая из этих функций является строго убывающей. Сумма двух строго убывающих функций также является строго убывающей функцией.

Теперь найдем значение $x$, при котором $h(x) = 1$:
$(\frac{5}{13})^x + (\frac{12}{13})^x = 1$
Используя замеченную нами пифагорову тройку, легко видеть, что при $x=2$ равенство выполняется:
$(\frac{5}{13})^2 + (\frac{12}{13})^2 = \frac{25}{169} + \frac{144}{169} = \frac{25+144}{169} = \frac{169}{169} = 1$.

Так как $h(x)$ — строго убывающая функция, а $h(2)=1$, то при всех $x>2$ значения функции будут меньше 1, то есть $h(x) < 1$.

Ответ: $x \in (2; +\infty)$.