Номер 12, страница 68 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Когда сделаны уроки. § 8. Производные показательной и логарифмической функции. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 12, страница 68.

12. Решите неравенство $\sqrt{-x^2 + 7x - 10 \log_2 (x-3)} \le 0$.

Для решения неравенства $ \sqrt{-x^2+7x-10} \cdot \log_2(x-3) \le 0 $ сначала определим область допустимых значений (ОДЗ).

ОДЗ задается системой из двух условий:

1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $ -x^2+7x-10 \ge 0 $.

2. Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $ x-3 > 0 $.

Решим первое неравенство: $ -x^2+7x-10 \ge 0 $. Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $ x^2-7x+10 \le 0 $. Найдем корни квадратного уравнения $ x^2-7x+10=0 $. По теореме Виета, сумма корней равна 7, а произведение равно 10, следовательно, корни $ x_1=2 $ и $ x_2=5 $. Поскольку парабола $ y=x^2-7x+10 $ имеет ветви, направленные вверх, неравенство $ x^2-7x+10 \le 0 $ выполняется на отрезке между корнями: $ x \in [2, 5] $.

Решим второе неравенство: $ x-3 > 0 $, что дает $ x > 3 $.

Пересечение этих двух условий дает нам ОДЗ: $ [2, 5] \cap (3, +\infty) = (3, 5] $.

Теперь перейдем к решению самого неравенства на ОДЗ $ x \in (3, 5] $.

Множитель $ \sqrt{-x^2+7x-10} $ всегда неотрицателен ($ \ge 0 $) на своей области определения. Произведение неотрицательного множителя на второй множитель будет меньше или равно нулю, если:

Либо первый множитель равен нулю:

$ \sqrt{-x^2+7x-10} = 0 \implies -x^2+7x-10 = 0 $. Корнями этого уравнения являются $ x=2 $ и $ x=5 $. Из этих значений только $ x=5 $ входит в ОДЗ $ (3, 5] $. При $ x=5 $ исходное неравенство становится $ 0 \le 0 $, что является верным. Следовательно, $ x=5 $ — это решение.

Либо второй множитель не положителен (меньше или равен нулю), а первый строго положителен:

$ \log_2(x-3) \le 0 $.

Представим 0 как логарифм с основанием 2: $ 0 = \log_2(1) $.

$ \log_2(x-3) \le \log_2(1) $.

Так как основание логарифма $ 2 > 1 $, логарифмическая функция является возрастающей, поэтому можно перейти к неравенству для аргументов, сохраняя знак:

$ x-3 \le 1 \implies x \le 4 $.

Теперь нам нужно найти пересечение этого решения с ОДЗ, при этом исключив точку, где первый множитель равен нулю ( $ x=5 $), так как этот случай мы уже рассмотрели. Мы ищем значения $ x $, которые удовлетворяют одновременно условиям $ x \in (3, 5] $ и $ x \le 4 $.

Пересечением множеств $ (3, 5] $ и $ (-\infty, 4] $ является промежуток $ (3, 4] $.

Объединяя все найденные решения, получаем итоговый результат.

Решение из первого случая: $ \{5\} $.

Решение из второго случая: $ (3, 4] $.

Общее решение: $ (3, 4] \cup \{5\} $.

Ответ: $ x \in (3, 4] \cup \{5\} $