Номер 9.1, страница 79 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 9. Первообразная. Глава 2. Интеграл и его применение - номер 9.1, страница 79.

9.1. Определите, является ли функция F первообразной функции f:

1) $F(x) = 3x^2 + x - 2, f(x) = 6x + 1;$

2) $F(x) = x^{-4}, f(x) = -4x^{-5}$ на промежутке $(0; +\infty);$

3) $F(x) = \sin x + 3, f(x) = \cos x + 3;$

4) $F(x) = \cos 2x, f(x) = -\sin 2x;$

5) $F(x) = \sqrt{2x + 1}, f(x) = \frac{1}{\sqrt{2x + 1}}$ на промежутке $(-\frac{1}{2}; +\infty);$

6) $F(x) = 5^x, f(x) = 5^x \ln 5.$

Функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на заданном промежутке, если для всех $x$ из этого промежутка выполняется равенство $F'(x) = f(x)$. Для решения задачи необходимо найти производную функции $F(x)$ и сравнить ее с функцией $f(x)$.

1) $F(x) = 3x^2 + x - 2, f(x) = 6x + 1$
Найдем производную функции $F(x)$:
$F'(x) = (3x^2 + x - 2)' = (3x^2)' + (x)' - (2)' = 3 \cdot 2x + 1 - 0 = 6x + 1$.
Сравним полученный результат с функцией $f(x)$:
$F'(x) = 6x + 1$ и $f(x) = 6x + 1$.
Так как $F'(x) = f(x)$, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.
Ответ: да, является.

2) $F(x) = x^{-4}, f(x) = -4x^{-5}$ на промежутке $(0; +\infty)$
Найдем производную функции $F(x)$, используя формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:
$F'(x) = (x^{-4})' = -4 \cdot x^{-4-1} = -4x^{-5}$.
Сравним полученный результат с функцией $f(x)$:
$F'(x) = -4x^{-5}$ и $f(x) = -4x^{-5}$.
Так как $F'(x) = f(x)$ на промежутке $(0; +\infty)$, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.
Ответ: да, является.

3) $F(x) = \sin x + 3, f(x) = \cos x + 3$
Найдем производную функции $F(x)$:
$F'(x) = (\sin x + 3)' = (\sin x)' + (3)' = \cos x + 0 = \cos x$.
Сравним полученный результат с функцией $f(x)$:
$F'(x) = \cos x$ и $f(x) = \cos x + 3$.
Так как $F'(x) \neq f(x)$, функция $F(x)$ не является первообразной для функции $f(x)$.
Ответ: нет, не является.

4) $F(x) = \cos 2x, f(x) = -\sin 2x$
Найдем производную сложной функции $F(x)$, используя правило $(\cos(u))' = -\sin(u) \cdot u'$:
$F'(x) = (\cos 2x)' = -\sin(2x) \cdot (2x)' = -\sin(2x) \cdot 2 = -2\sin 2x$.
Сравним полученный результат с функцией $f(x)$:
$F'(x) = -2\sin 2x$ и $f(x) = -\sin 2x$.
Так как $F'(x) \neq f(x)$, функция $F(x)$ не является первообразной для функции $f(x)$.
Ответ: нет, не является.

5) $F(x) = \sqrt{2x + 1}, f(x) = \frac{1}{\sqrt{2x + 1}}$ на промежутке $(-\frac{1}{2}; +\infty)$
Найдем производную сложной функции $F(x)$, представив ее в виде $F(x) = (2x+1)^{1/2}$:
$F'(x) = ((2x+1)^{1/2})' = \frac{1}{2}(2x+1)^{\frac{1}{2}-1} \cdot (2x+1)' = \frac{1}{2}(2x+1)^{-1/2} \cdot 2 = (2x+1)^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{2x+1}}$.
Сравним полученный результат с функцией $f(x)$:
$F'(x) = \frac{1}{\sqrt{2x+1}}$ и $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2x+1}}$.
Так как $F'(x) = f(x)$ на заданном промежутке, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.
Ответ: да, является.

6) $F(x) = 5^x, f(x) = 5^x \ln 5$
Найдем производную функции $F(x)$, используя формулу производной показательной функции $(a^x)' = a^x \ln a$:
$F'(x) = (5^x)' = 5^x \ln 5$.
Сравним полученный результат с функцией $f(x)$:
$F'(x) = 5^x \ln 5$ и $f(x) = 5^x \ln 5$.
Так как $F'(x) = f(x)$, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.
Ответ: да, является.