Номер 9.5, страница 80 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 9. Первообразная. Глава 2. Интеграл и его применение - номер 9.5, страница 80.

9.5. Найдите общий вид первообразных функции:

1) $f(x) = 0;$

2) $f(x) = x^8;$

3) $f(x) = \frac{1}{3^x};$

4) $f(x) = \frac{1}{x^{20}}$ на промежутке $(0; +\infty);$

5) $f(x) = \sqrt[7]{x}$ на промежутке $(4; +\infty);$

6) $f(x) = \sqrt[4]{x}$ на промежутке $[0.5; +\infty).$

1) Для нахождения общего вида первообразных функции $f(x)$ необходимо найти неопределенный интеграл $\int f(x) \,dx$. Первообразная $F(x)$ — это функция, производная которой равна $f(x)$, то есть $F'(x) = f(x)$. Общий вид первообразных записывается как $F(x) + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Для функции $f(x) = 0$, нам нужно найти функцию, производная которой равна нулю. Это свойство любой постоянной функции.
$F(x) = C$, так как $F'(x) = (C)' = 0$.
Ответ: $F(x) = C$.

2) Для нахождения первообразной степенной функции $f(x) = x^n$ используется табличная формула интегрирования: $\int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (при $n \ne -1$).
В данном случае $f(x) = x^8$, значит $n=8$.
$F(x) = \int x^8 \,dx = \frac{x^{8+1}}{8+1} + C = \frac{x^9}{9} + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{x^9}{9} + C$.

3) Преобразуем функцию: $f(x) = \frac{1}{3^x} = 3^{-x}$.
Для нахождения первообразной показательной функции $f(x) = a^x$ используется формула $\int a^x \,dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$. В нашем случае аргумент имеет вид $kx$, поэтому формула будет $\int a^{kx} \,dx = \frac{a^{kx}}{k \ln a} + C$.
Здесь $a=3$ и $k=-1$.
$F(x) = \int 3^{-x} \,dx = \frac{3^{-x}}{-1 \cdot \ln 3} + C = -\frac{3^{-x}}{\ln 3} + C = -\frac{1}{3^x \ln 3} + C$.
Ответ: $F(x) = -\frac{1}{3^x \ln 3} + C$.

4) Представим функцию в виде степенной: $f(x) = \frac{1}{x^{20}} = x^{-20}$.
Используем ту же формулу для степенной функции, что и в пункте 2. Здесь $n=-20$.
$F(x) = \int x^{-20} \,dx = \frac{x^{-20+1}}{-20+1} + C = \frac{x^{-19}}{-19} + C = -\frac{1}{19x^{19}} + C$.
Функция непрерывна на заданном промежутке $(0; +\infty)$, и найденная первообразная также определена на этом промежутке.
Ответ: $F(x) = -\frac{1}{19x^{19}} + C$.

5) Представим функцию в виде степенной: $f(x) = \sqrt[7]{x} = x^{\frac{1}{7}}$.
Используем формулу для степенной функции. Здесь $n=\frac{1}{7}$.
$F(x) = \int x^{\frac{1}{7}} \,dx = \frac{x^{\frac{1}{7}+1}}{\frac{1}{7}+1} + C = \frac{x^{\frac{8}{7}}}{\frac{8}{7}} + C = \frac{7}{8}x^{\frac{8}{7}} + C$.
Результат можно также записать как $\frac{7}{8}x\sqrt[7]{x} + C$. Функция и ее первообразная определены на заданном промежутке $(4; +\infty)$.
Ответ: $F(x) = \frac{7}{8}x^{\frac{8}{7}} + C$.

6) Представим функцию в виде степенной: $f(x) = \sqrt[4]{x} = x^{\frac{1}{4}}$.
Используем формулу для степенной функции. Здесь $n=\frac{1}{4}$.
$F(x) = \int x^{\frac{1}{4}} \,dx = \frac{x^{\frac{1}{4}+1}}{\frac{1}{4}+1} + C = \frac{x^{\frac{5}{4}}}{\frac{5}{4}} + C = \frac{4}{5}x^{\frac{5}{4}} + C$.
Результат можно также записать как $\frac{4}{5}x\sqrt[4]{x} + C$. Функция и ее первообразная определены на заданном промежутке $[0,5; +\infty)$.
Ответ: $F(x) = \frac{4}{5}x^{\frac{5}{4}} + C$.