Номер 9.8, страница 80 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 2. Интеграл и его применение. Параграф 9. Первообразная. Упражнения - номер 9.8, страница 80.

Учебник.

9.8. Для функции $f$ найдите первообразную, график которой проходит через указанную точку:

1) $f(x) = x^2$, $A (-1; 3)$;

2) $f(x) = \sin x$, $F (\pi; -1)$;

3) $f(x) = e^x$, $C (0; -6)$.

Решение.

Решение 2.

1) f(x) = x², A(-1; 3);

Чтобы найти первообразную для функции $f(x)$, график которой проходит через заданную точку, сначала найдем общий вид первообразной, а затем, используя координаты точки, определим значение константы интегрирования $C$.

Общий вид первообразной $F(x)$ для функции $f(x) = x^2$ находится путем интегрирования:
$F(x) = \int x^2 dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} + C = \frac{x^3}{3} + C$.

Теперь используем условие, что график первообразной проходит через точку $A(-1; 3)$. Это означает, что при $x = -1$, значение функции $F(x)$ равно $3$, то есть $F(-1) = 3$.
Подставим эти значения в уравнение для $F(x)$:
$3 = \frac{(-1)^3}{3} + C$
$3 = \frac{-1}{3} + C$

Отсюда найдем $C$:
$C = 3 + \frac{1}{3} = \frac{9}{3} + \frac{1}{3} = \frac{10}{3}$.

Подставив найденное значение $C$ в общий вид первообразной, получаем искомую функцию:
$F(x) = \frac{x^3}{3} + \frac{10}{3}$.

Ответ: $F(x) = \frac{x^3}{3} + \frac{10}{3}$

2) f(x) = sin x, F(π; -1);

Найдем общий вид первообразной для функции $f(x) = \sin x$:
$F(x) = \int \sin x dx = -\cos x + C$.

График первообразной проходит через точку с координатами $(\pi; -1)$. Это означает, что $F(\pi) = -1$.
Подставим эти значения в уравнение для $F(x)$:
$-1 = -\cos(\pi) + C$

Так как $\cos(\pi) = -1$, получаем:
$-1 = -(-1) + C$
$-1 = 1 + C$
$C = -1 - 1 = -2$.

Следовательно, искомая первообразная имеет вид:
$F(x) = -\cos x - 2$.

Ответ: $F(x) = -\cos x - 2$

3) f(x) = eˣ, C(0; -6).

Найдем общий вид первообразной для функции $f(x) = e^x$:
$F(x) = \int e^x dx = e^x + C$.

График первообразной проходит через точку $C(0; -6)$, что означает $F(0) = -6$.
Подставим эти значения в уравнение для $F(x)$:
$-6 = e^0 + C$

Так как $e^0 = 1$, получаем:
$-6 = 1 + C$
$C = -6 - 1 = -7$.

Таким образом, искомая первообразная:
$F(x) = e^x - 7$.

Ответ: $F(x) = e^x - 7$