Номер 9.8, страница 80 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2016 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий, зелёный
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика. Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 11 классе
Упражнения. § 9. Первообразная. Глава 2. Интеграл и его применение - номер 9.8, страница 80.
№9.8 (с. 80)
Учебник. №9.8 (с. 80)
скриншот условия

9.8. Для функции $f$ найдите первообразную, график которой проходит через указанную точку:
1) $f(x) = x^2$, $A (-1; 3)$;
2) $f(x) = \sin x$, $F (\pi; -1)$;
3) $f(x) = e^x$, $C (0; -6)$.
Решение. №9.8 (с. 80)

Решение 2. №9.8 (с. 80)
1) f(x) = x², A(-1; 3);
Чтобы найти первообразную для функции $f(x)$, график которой проходит через заданную точку, сначала найдем общий вид первообразной, а затем, используя координаты точки, определим значение константы интегрирования $C$.
Общий вид первообразной $F(x)$ для функции $f(x) = x^2$ находится путем интегрирования:
$F(x) = \int x^2 dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} + C = \frac{x^3}{3} + C$.
Теперь используем условие, что график первообразной проходит через точку $A(-1; 3)$. Это означает, что при $x = -1$, значение функции $F(x)$ равно $3$, то есть $F(-1) = 3$.
Подставим эти значения в уравнение для $F(x)$:
$3 = \frac{(-1)^3}{3} + C$
$3 = \frac{-1}{3} + C$
Отсюда найдем $C$:
$C = 3 + \frac{1}{3} = \frac{9}{3} + \frac{1}{3} = \frac{10}{3}$.
Подставив найденное значение $C$ в общий вид первообразной, получаем искомую функцию:
$F(x) = \frac{x^3}{3} + \frac{10}{3}$.
Ответ: $F(x) = \frac{x^3}{3} + \frac{10}{3}$
2) f(x) = sin x, F(π; -1);
Найдем общий вид первообразной для функции $f(x) = \sin x$:
$F(x) = \int \sin x dx = -\cos x + C$.
График первообразной проходит через точку с координатами $(\pi; -1)$. Это означает, что $F(\pi) = -1$.
Подставим эти значения в уравнение для $F(x)$:
$-1 = -\cos(\pi) + C$
Так как $\cos(\pi) = -1$, получаем:
$-1 = -(-1) + C$
$-1 = 1 + C$
$C = -1 - 1 = -2$.
Следовательно, искомая первообразная имеет вид:
$F(x) = -\cos x - 2$.
Ответ: $F(x) = -\cos x - 2$
3) f(x) = eˣ, C(0; -6).
Найдем общий вид первообразной для функции $f(x) = e^x$:
$F(x) = \int e^x dx = e^x + C$.
График первообразной проходит через точку $C(0; -6)$, что означает $F(0) = -6$.
Подставим эти значения в уравнение для $F(x)$:
$-6 = e^0 + C$
Так как $e^0 = 1$, получаем:
$-6 = 1 + C$
$C = -6 - 1 = -7$.
Таким образом, искомая первообразная:
$F(x) = e^x - 7$.
Ответ: $F(x) = e^x - 7$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 9.8 расположенного на странице 80 к учебнику 2016 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №9.8 (с. 80), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.