Номер 9.6, страница 80 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 9. Первообразная. Глава 2. Интеграл и его применение - номер 9.6, страница 80.

9.6. Проверьте, что:

1) $\int x \cos x \,dx = \cos x + x \sin x + C$, где $C$ — любое число;

2) $\int \frac{x}{\sqrt{x^2+4}} \,dx = \sqrt{x^2+4} + C$, где $C$ — любое число.

1) Чтобы проверить данное равенство, необходимо найти производную от его правой части. По определению первообразной, производная от интеграла $\int f(x)dx$ равна подынтегральной функции $f(x)$. Следовательно, если производная от функции $F(x) = \cos x + x \sin x + C$ будет равна $x \cos x$, то равенство верно.

Найдем производную от $F(x)$:

$F'(x) = (\cos x + x \sin x + C)'$

Используем правило дифференцирования суммы:

$F'(x) = (\cos x)' + (x \sin x)' + (C)'$

Найдем каждую производную отдельно:

Производная косинуса: $(\cos x)' = -\sin x$.

Производная константы: $(C)' = 0$.

Для производной произведения $x \sin x$ используем формулу $(uv)' = u'v + uv'$:

$(x \sin x)' = (x)' \sin x + x (\sin x)' = 1 \cdot \sin x + x \cdot \cos x = \sin x + x \cos x$.

Теперь подставим найденные производные обратно в выражение для $F'(x)$:

$F'(x) = -\sin x + (\sin x + x \cos x) + 0 = -\sin x + \sin x + x \cos x = x \cos x$.

Полученная производная $x \cos x$ совпадает с подынтегральной функцией. Следовательно, равенство доказано.

Ответ: Равенство верно.

2) Проверим второе равенство аналогичным образом. Найдем производную от правой части $F(x) = \sqrt{x^2 + 4} + C$ и сравним ее с подынтегральной функцией $\frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}$.

Найдем производную от $F(x)$:

$F'(x) = (\sqrt{x^2 + 4} + C)' = (\sqrt{x^2 + 4})' + (C)'$.

Производная константы $(C)' = 0$.

Для нахождения производной от $\sqrt{x^2 + 4}$ используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило). Запишем функцию как $(x^2 + 4)^{1/2}$.

Пусть $u = x^2 + 4$, тогда $u' = 2x$. Наша функция имеет вид $y = u^{1/2}$, ее производная $y' = \frac{1}{2}u^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{u}}$.

По правилу производной сложной функции:

$(\sqrt{x^2 + 4})' = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 4}} \cdot (x^2 + 4)' = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 4}} \cdot 2x = \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + 4}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}$.

Таким образом, производная всей правой части равна:

$F'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}} + 0 = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}$.

Полученная производная совпадает с подынтегральной функцией. Следовательно, равенство доказано.

Ответ: Равенство верно.