Номер 9.10, страница 80 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 9. Первообразная. Глава 2. Интеграл и его применение - номер 9.10, страница 80.

9.10. Для функции $f$ найдите на промежутке $I$ первообразную $F$, которая принимает данное значение в указанной точке:

1) $f(x) = \frac{1}{x^2}$, $I = (0; +\infty)$, $F\left(\frac{1}{3}\right) = -9$;

2) $f(x) = \frac{1}{\cos^2 x}$, $I = \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$, $F\left(\frac{\pi}{3}\right) = 3\sqrt{3}$;

3) $f(x) = \frac{1}{x}$, $I = (-\infty; 0)$, $F(-e^3) = 7;

4) $f(x) = \frac{1}{x^4}$, $I = (-\infty; 0)$, $F\left(-\frac{1}{2}\right) = 3.

1) Для функции $f(x) = \frac{1}{x^2}$ на промежутке $I = (0; +\infty)$ найдем первообразную $F(x)$, удовлетворяющую условию $F(\frac{1}{3}) = -9$.

Сначала найдем общий вид первообразной для функции $f(x)$, вычислив неопределенный интеграл. Функцию $f(x)$ можно записать в виде $f(x) = x^{-2}$.

$F(x) = \int \frac{1}{x^2} dx = \int x^{-2} dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + C = \frac{x^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{x} + C$,

где $C$ – произвольная постоянная (константа интегрирования).

Теперь используем заданное условие $F(\frac{1}{3}) = -9$, чтобы найти значение $C$. Подставим $x = \frac{1}{3}$ в выражение для $F(x)$:

$F(\frac{1}{3}) = -\frac{1}{1/3} + C = -3 + C$.

Приравниваем полученное выражение к заданному значению:

$-3 + C = -9$

$C = -9 + 3 = -6$.

Подставляем найденное значение $C$ в общую формулу первообразной. Искомая первообразная:

$F(x) = -\frac{1}{x} - 6$.

Ответ: $F(x) = -\frac{1}{x} - 6$.

2) Для функции $f(x) = \frac{1}{\cos^2 x}$ на промежутке $I = (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ найдем первообразную $F(x)$, удовлетворяющую условию $F(\frac{\pi}{3}) = 3\sqrt{3}$.

Общий вид первообразной для $f(x) = \frac{1}{\cos^2 x}$ находится с помощью табличного интеграла:

$F(x) = \int \frac{1}{\cos^2 x} dx = \tan x + C$.

Эта формула верна на любом интервале, где $\cos x \ne 0$, в том числе на заданном интервале $I = (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Используем условие $F(\frac{\pi}{3}) = 3\sqrt{3}$ для нахождения константы $C$. Подставим $x = \frac{\pi}{3}$ в выражение для $F(x)$:

$F(\frac{\pi}{3}) = \tan(\frac{\pi}{3}) + C$.

Зная, что $\tan(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$, получаем:

$\sqrt{3} + C = 3\sqrt{3}$

$C = 3\sqrt{3} - \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$.

Следовательно, искомая первообразная имеет вид:

$F(x) = \tan x + 2\sqrt{3}$.

Ответ: $F(x) = \tan x + 2\sqrt{3}$.

3) Для функции $f(x) = \frac{1}{x}$ на промежутке $I = (-\infty; 0)$ найдем первообразную $F(x)$, удовлетворяющую условию $F(-e^3) = 7$.

Общий вид первообразной для $f(x) = \frac{1}{x}$ дается формулой:

$F(x) = \int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$.

Поскольку по условию задачи мы рассматриваем промежуток $I = (-\infty; 0)$, то для всех $x$ из этого промежутка выполняется $x < 0$. Следовательно, $|x| = -x$. Таким образом, на данном промежутке первообразная имеет вид:

$F(x) = \ln(-x) + C$.

Теперь используем условие $F(-e^3) = 7$ для нахождения $C$. Подставим $x = -e^3$:

$F(-e^3) = \ln(-(-e^3)) + C = \ln(e^3) + C$.

Используя свойство логарифма $\ln(e^a) = a$, получаем:

$3 + C = 7$

$C = 7 - 3 = 4$.

Таким образом, искомая первообразная:

$F(x) = \ln(-x) + 4$.

Ответ: $F(x) = \ln(-x) + 4$.

4) Для функции $f(x) = \frac{1}{x^4}$ на промежутке $I = (-\infty; 0)$ найдем первообразную $F(x)$, удовлетворяющую условию $F(-\frac{1}{2}) = 3$.

Найдем общий вид первообразной, представив функцию в виде $f(x) = x^{-4}$ и проинтегрировав ее:

$F(x) = \int \frac{1}{x^4} dx = \int x^{-4} dx = \frac{x^{-4+1}}{-4+1} + C = \frac{x^{-3}}{-3} + C = -\frac{1}{3x^3} + C$.

Используем заданное условие $F(-\frac{1}{2}) = 3$ для нахождения константы $C$. Подставим $x = -\frac{1}{2}$ в выражение для $F(x)$:

$F(-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{3(-\frac{1}{2})^3} + C = -\frac{1}{3(-\frac{1}{8})} + C = -\frac{1}{-\frac{3}{8}} + C = \frac{8}{3} + C$.

Приравниваем это значение к 3:

$\frac{8}{3} + C = 3$

$C = 3 - \frac{8}{3} = \frac{9}{3} - \frac{8}{3} = \frac{1}{3}$.

Следовательно, искомая первообразная:

$F(x) = -\frac{1}{3x^3} + \frac{1}{3}$.

Ответ: $F(x) = -\frac{1}{3x^3} + \frac{1}{3}$.