Номер 9.17, страница 82 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения. § 9. Первообразная. Глава 2. Интеграл и его применение - номер 9.17, страница 82.

9.17. Решите уравнение $\frac{3x}{x^3 - 1} - \frac{5}{4x^2 + 4x + 4} = \frac{1}{2(1-x)}$.

Решение:

Исходное уравнение:

$ \frac{3x}{x^3 - 1} - \frac{5}{4x^2 + 4x + 4} = \frac{1}{2(1 - x)} $

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ), при которых знаменатели дробей не равны нулю.

Знаменатель первой дроби: $x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$. Этот знаменатель равен нулю при $x=1$. Выражение $x^2 + x + 1$ всегда положительно, так как его дискриминант отрицателен ($D=1^2-4 \cdot 1 \cdot 1 = -3$).

Знаменатель второй дроби: $4x^2 + 4x + 4 = 4(x^2 + x + 1)$. Этот знаменатель никогда не равен нулю.

Знаменатель третьей дроби: $2(1 - x)$. Этот знаменатель равен нулю при $x=1$.

Таким образом, область допустимых значений (ОДЗ) уравнения: $x \neq 1$.

Преобразуем уравнение, разложив знаменатели на множители и используя тождество $1 - x = -(x - 1)$:

$ \frac{3x}{(x - 1)(x^2 + x + 1)} - \frac{5}{4(x^2 + x + 1)} = \frac{1}{-2(x - 1)} $

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$ \frac{3x}{(x - 1)(x^2 + x + 1)} - \frac{5}{4(x^2 + x + 1)} + \frac{1}{2(x - 1)} = 0 $

Общий знаменатель для всех дробей: $4(x - 1)(x^2 + x + 1)$. Приведем все дроби к общему знаменателю:

$ \frac{4 \cdot 3x}{4(x - 1)(x^2 + x + 1)} - \frac{5 \cdot (x - 1)}{4(x - 1)(x^2 + x + 1)} + \frac{2(x^2 + x + 1) \cdot 1}{4(x - 1)(x^2 + x + 1)} = 0 $

Так как мы работаем в ОДЗ, где знаменатель не равен нулю, мы можем приравнять к нулю числитель:

$ 4 \cdot 3x - 5(x - 1) + 2(x^2 + x + 1) = 0 $

Раскроем скобки и упростим выражение:

$ 12x - 5x + 5 + 2x^2 + 2x + 2 = 0 $

$ 2x^2 + 9x + 7 = 0 $

Мы получили квадратное уравнение. Решим его через дискриминант:

$ D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 2 \cdot 7 = 81 - 56 = 25 $

Корни уравнения:

$ x_1 = \frac{-9 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-9 - 5}{4} = \frac{-14}{4} = -3.5 $

$ x_2 = \frac{-9 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-9 + 5}{4} = \frac{-4}{4} = -1 $

Оба корня ($-3.5$ и $-1$) не равны $1$, следовательно, они удовлетворяют ОДЗ и являются решениями исходного уравнения.

Ответ: $-3.5; -1$.