Номер 10.3, страница 86 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 10. Правила нахождения первообразной. Глава 2. Интеграл и его применение - номер 10.3, страница 86.

10.3. Найдите общий вид первообразных функции:

1) $f(x) = \sin 5x;$

2) $f(x) = 2\cos \frac{x}{2};$

3) $f(x) = \left(6x + \frac{1}{2}\right)^3;$

4) $f(x) = \left(\frac{x}{7} - 2\right)^4;$

5) $f(x) = \frac{1}{e^{2x}};$

6) $f(x) = 7^{3x};$

7) $f(x) = -\frac{1}{3}\sin \left(\frac{x}{3} - \frac{\pi}{4}\right);$

8) $f(x) = \frac{1}{\cos^2 3x}$ на промежутке $\left(-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}\right);$

9) $f(x) = \frac{8}{\sin^2 4x}$ на промежутке $\left(0, \frac{\pi}{4}\right);$

10) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2x - 1}}$ на промежутке $\left(\frac{1}{2}, +\infty\right);$

11) $f(x) = \sqrt{x + 4}$ на промежутке $\left[-4, +\infty\right);$

12) $f(x) = \frac{6}{3x + 2}$ на промежутке $\left(-\frac{2}{3}, +\infty\right);$

13) $f(x) = \frac{4}{\left(4x - 3\right)^2}$ на промежутке $\left(-\infty, \frac{3}{4}\right);$

14) $f(x) = \sqrt{1 - \frac{x}{2}}$ на промежутке $\left(-\infty, 2\right].$

1) Для нахождения общего вида первообразных функции $f(x) = \sin 5x$ воспользуемся табличной первообразной для синуса и правилом интегрирования сложной функции. Первообразная для $\sin u$ есть $-\cos u$. Так как аргумент равен $5x$, то есть $k=5$, получаем: $F(x) = \int \sin(5x) dx = \frac{1}{5}(-\cos(5x)) + C = -\frac{1}{5}\cos(5x) + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: $F(x) = -\frac{1}{5}\cos(5x) + C$.

2) Для функции $f(x) = 2\cos \frac{x}{2}$ используем первообразную для косинуса, которая равна $\sin u$. Коэффициент при $x$ равен $k = \frac{1}{2}$. $F(x) = \int 2\cos(\frac{x}{2}) dx = 2 \cdot \frac{\sin(\frac{x}{2})}{1/2} + C = 4\sin(\frac{x}{2}) + C$.
Ответ: $F(x) = 4\sin(\frac{x}{2}) + C$.

3) Для функции $f(x) = (6x + \frac{1}{2})^3$ применяем формулу для степенной функции. Первообразная для $u^3$ есть $\frac{u^4}{4}$. Коэффициент $k=6$. $F(x) = \int (6x + \frac{1}{2})^3 dx = \frac{1}{6} \cdot \frac{(6x + \frac{1}{2})^4}{4} + C = \frac{1}{24}(6x + \frac{1}{2})^4 + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{1}{24}(6x + \frac{1}{2})^4 + C$.

4) Для функции $f(x) = (\frac{x}{7} - 2)^4$ используем ту же формулу для степенной функции. Первообразная для $u^4$ есть $\frac{u^5}{5}$. Коэффициент $k=\frac{1}{7}$. $F(x) = \int (\frac{x}{7} - 2)^4 dx = \frac{1}{1/7} \cdot \frac{(\frac{x}{7} - 2)^5}{5} + C = \frac{7}{5}(\frac{x}{7} - 2)^5 + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{7}{5}(\frac{x}{7} - 2)^5 + C$.

5) Функцию $f(x) = \frac{1}{e^{2x}}$ перепишем в виде $f(x) = e^{-2x}$. Первообразная для $e^u$ есть $e^u$. Коэффициент $k=-2$. $F(x) = \int e^{-2x} dx = \frac{1}{-2}e^{-2x} + C = -\frac{1}{2}e^{-2x} + C$.
Ответ: $F(x) = -\frac{1}{2e^{2x}} + C$.

6) Для показательной функции $f(x) = 7^{3x}$ первообразная для $a^u$ есть $\frac{a^u}{\ln a}$. Здесь $a=7$, $k=3$. $F(x) = \int 7^{3x} dx = \frac{1}{3} \cdot \frac{7^{3x}}{\ln 7} + C = \frac{7^{3x}}{3\ln 7} + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{7^{3x}}{3\ln 7} + C$.

7) Для функции $f(x) = -\frac{1}{3}\sin(\frac{x}{3} - \frac{\pi}{4})$ первообразная для $\sin u$ есть $-\cos u$. Коэффициент $k=\frac{1}{3}$. $F(x) = \int -\frac{1}{3}\sin(\frac{x}{3} - \frac{\pi}{4}) dx = -\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{1/3} \cdot (-\cos(\frac{x}{3} - \frac{\pi}{4})) + C = \cos(\frac{x}{3} - \frac{\pi}{4}) + C$.
Ответ: $F(x) = \cos(\frac{x}{3} - \frac{\pi}{4}) + C$.

8) Для функции $f(x) = \frac{1}{\cos^2 3x}$ первообразная для $\frac{1}{\cos^2 u}$ есть $\tan u$. Коэффициент $k=3$. $F(x) = \int \frac{dx}{\cos^2 3x} = \frac{1}{3}\tan(3x) + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{1}{3}\tan(3x) + C$.

9) Для функции $f(x) = \frac{8}{\sin^2 4x}$ первообразная для $\frac{1}{\sin^2 u}$ есть $-\cot u$. Коэффициент $k=4$. $F(x) = \int \frac{8}{\sin^2 4x} dx = 8 \cdot \frac{1}{4}(-\cot(4x)) + C = -2\cot(4x) + C$.
Ответ: $F(x) = -2\cot(4x) + C$.

10) Функцию $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2x-1}}$ запишем как $f(x) = (2x-1)^{-1/2}$. Первообразная для $u^{-1/2}$ есть $\frac{u^{1/2}}{1/2} = 2\sqrt{u}$. Коэффициент $k=2$. $F(x) = \int (2x-1)^{-1/2} dx = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{2x-1} + C = \sqrt{2x-1} + C$.
Ответ: $F(x) = \sqrt{2x-1} + C$.

11) Функцию $f(x) = \sqrt{x+4}$ запишем как $f(x) = (x+4)^{1/2}$. Первообразная для $u^{1/2}$ есть $\frac{u^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}u^{3/2}$. Коэффициент $k=1$. $F(x) = \int (x+4)^{1/2} dx = \frac{2}{3}(x+4)^{3/2} + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{2}{3}(x+4)^{3/2} + C$.

12) Для функции $f(x) = \frac{6}{3x+2}$ первообразная для $\frac{1}{u}$ есть $\ln|u|$. Коэффициент $k=3$. На промежутке $(-\frac{2}{3}; +\infty)$ выражение $3x+2 > 0$, поэтому модуль можно опустить. $F(x) = \int \frac{6}{3x+2} dx = 6 \cdot \frac{1}{3}\ln(3x+2) + C = 2\ln(3x+2) + C$.
Ответ: $F(x) = 2\ln(3x+2) + C$.

13) Функцию $f(x) = \frac{4}{(4x-3)^2}$ запишем как $f(x) = 4(4x-3)^{-2}$. Первообразная для $u^{-2}$ есть $\frac{u^{-1}}{-1} = -\frac{1}{u}$. Коэффициент $k=4$. $F(x) = \int 4(4x-3)^{-2} dx = 4 \cdot \frac{1}{4} \cdot (-\frac{1}{4x-3}) + C = -\frac{1}{4x-3} + C$.
Ответ: $F(x) = -\frac{1}{4x-3} + C$.

14) Функцию $f(x) = \sqrt{1 - \frac{x}{2}}$ запишем как $f(x) = (1 - \frac{1}{2}x)^{1/2}$. Первообразная для $u^{1/2}$ есть $\frac{2}{3}u^{3/2}$. Коэффициент $k = -\frac{1}{2}$. $F(x) = \int (1 - \frac{x}{2})^{1/2} dx = \frac{1}{-1/2} \cdot \frac{2}{3}(1 - \frac{x}{2})^{3/2} + C = -2 \cdot \frac{2}{3}(1 - \frac{x}{2})^{3/2} + C = -\frac{4}{3}(1 - \frac{x}{2})^{3/2} + C$.
Ответ: $F(x) = -\frac{4}{3}(1 - \frac{x}{2})^{3/2} + C$.