Номер 10.8, страница 89 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 2. Интеграл и его применение. Параграф 10. Правила нахождения первообразной. Упражнения - номер 10.8, страница 89.

Учебник.

10.8. Для функции $f(x) = x^2 - 12$ найдите первообразную $F$, один из нулей которой равен 3.

Решение.

Решение 2.

Для нахождения первообразной $F(x)$ для функции $f(x)$, необходимо найти ее неопределенный интеграл. Общий вид первообразной для функции $f(x)$ записывается как $F(x) = \int f(x) \,dx$.

Дана функция $f(x) = x^2 - 12$.

Найдем общий вид первообразной $F(x)$, вычислив интеграл от $f(x)$: $F(x) = \int (x^2 - 12) \,dx = \int x^2 \,dx - \int 12 \,dx$

Используя основные правила интегрирования (формула для степенной функции $\int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$ и для константы), получаем: $F(x) = \frac{x^3}{3} - 12x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

В условии задачи сказано, что один из нулей первообразной $F$ равен 3. Нуль функции — это значение аргумента, при котором значение функции равно нулю. Таким образом, у нас есть условие $F(3) = 0$.

Подставим $x = 3$ в выражение для $F(x)$ и используем это условие для нахождения константы $C$: $F(3) = \frac{3^3}{3} - 12 \cdot 3 + C = 0$

Вычислим значение выражения: $\frac{27}{3} - 36 + C = 0$
$9 - 36 + C = 0$
$-27 + C = 0$

Отсюда находим $C$: $C = 27$

Подставив найденное значение $C$ в общий вид первообразной, получаем искомую функцию $F(x)$: $F(x) = \frac{x^3}{3} - 12x + 27$

Ответ: $F(x) = \frac{x^3}{3} - 12x + 27$