Номер 10.13, страница 89 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 2. Интеграл и его применение. Параграф 10. Правила нахождения первообразной. Упражнения - номер 10.13, страница 89.

Учебник.

10.13. Задайте формулой функцию, определённую на промежутке $ (-\infty; +\infty) $, график которой проходит через точку $ A(-1; 6) $, а угловой коэффициент касательной, проведённой к этому графику в точке с абсциссой $ x $, равен $ 6x^2 - 5x^4 $.

Решение.

Решение 2.

Пусть искомая функция — $f(x)$. Угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции в точке с абсциссой $x$, равен значению производной функции в этой точке, $f'(x)$.

Из условия задачи известно, что угловой коэффициент касательной равен $6x^2 - 5x^4$. Следовательно, производная искомой функции имеет вид:

$f'(x) = 6x^2 - 5x^4$

Чтобы найти саму функцию $f(x)$, необходимо найти её первообразную, то есть вычислить неопределённый интеграл от её производной:

$f(x) = \int f'(x) dx = \int (6x^2 - 5x^4) dx$

Используя правила интегрирования, находим первообразную:

$f(x) = \int 6x^2 dx - \int 5x^4 dx = 6 \cdot \frac{x^3}{3} - 5 \cdot \frac{x^5}{5} + C = 2x^3 - x^5 + C$

Здесь $C$ — это константа интегрирования. Мы получили общее выражение для всех функций, производная которых равна $6x^2 - 5x^4$.

Чтобы найти конкретную функцию, воспользуемся вторым условием: её график проходит через точку $A(-1; 6)$. Это значит, что при $x = -1$, значение функции $f(-1)$ равно $6$. Подставим эти значения в найденное уравнение функции, чтобы определить константу $C$:

$f(-1) = 2(-1)^3 - (-1)^5 + C = 6$

Выполним вычисления:

$2(-1) - (-1) + C = 6$

$-2 + 1 + C = 6$

$-1 + C = 6$

$C = 6 + 1$

$C = 7$

Теперь, подставив найденное значение $C=7$ в общее выражение для функции, получаем искомую формулу:

$f(x) = 2x^3 - x^5 + 7$

Ответ: $f(x) = 2x^3 - x^5 + 7$