Страница 89 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

10.7. Для функции $f(x) = 4x^3 + 4x$ найдите первообразную $F$, один из нулей которой равен $-1$. Найдите остальные нули этой первообразной.

Найдите первообразную F, один из нулей которой равен -1

Для функции $f(x) = 4x^3 + 4x$ общий вид первообразной $F(x)$ находится через интегрирование:

$F(x) = \int f(x) dx = \int (4x^3 + 4x) dx$

Применяя формулу для интеграла степенной функции, получаем:

$F(x) = 4 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} + 4 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} + C = 4 \cdot \frac{x^4}{4} + 4 \cdot \frac{x^2}{2} + C = x^4 + 2x^2 + C$

где $C$ - произвольная постоянная (константа интегрирования).

По условию, один из нулей первообразной равен -1. Это значит, что при $x = -1$ значение функции $F(x)$ равно нулю, то есть $F(-1) = 0$. Используем это условие для нахождения константы $C$:

$F(-1) = (-1)^4 + 2(-1)^2 + C = 0$

$1 + 2 \cdot 1 + C = 0$

$3 + C = 0$

$C = -3$

Таким образом, искомая первообразная имеет вид $F(x) = x^4 + 2x^2 - 3$.

Ответ: $F(x) = x^4 + 2x^2 - 3$.

Найдите остальные нули этой первообразной

Чтобы найти нули функции $F(x) = x^4 + 2x^2 - 3$, необходимо решить уравнение $F(x) = 0$:

$x^4 + 2x^2 - 3 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной. Пусть $y = x^2$. Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $y \ge 0$. Уравнение принимает вид:

$y^2 + 2y - 3 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни, например, по теореме Виета:

$y_1 + y_2 = -2$

$y_1 \cdot y_2 = -3$

Отсюда легко находятся корни: $y_1 = 1$ и $y_2 = -3$.

Корень $y_2 = -3$ не удовлетворяет условию $y \ge 0$, поэтому он является посторонним.

Рассмотрим единственный подходящий корень $y_1 = 1$. Сделаем обратную замену:

$x^2 = 1$

Это уравнение имеет два решения: $x = 1$ и $x = -1$.

Таким образом, нули первообразной функции $F(x)$ - это $x=1$ и $x=-1$. В условии сказано, что один из нулей равен -1. Следовательно, остальной нуль - это 1.

Ответ: 1.

10.8. Для функции $f(x) = x^2 - 12$ найдите первообразную $F$, один из нулей которой равен 3.

Для нахождения первообразной $F(x)$ для функции $f(x)$, необходимо найти ее неопределенный интеграл. Общий вид первообразной для функции $f(x)$ записывается как $F(x) = \int f(x) \,dx$.

Дана функция $f(x) = x^2 - 12$.

Найдем общий вид первообразной $F(x)$, вычислив интеграл от $f(x)$: $F(x) = \int (x^2 - 12) \,dx = \int x^2 \,dx - \int 12 \,dx$

Используя основные правила интегрирования (формула для степенной функции $\int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$ и для константы), получаем: $F(x) = \frac{x^3}{3} - 12x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

В условии задачи сказано, что один из нулей первообразной $F$ равен 3. Нуль функции — это значение аргумента, при котором значение функции равно нулю. Таким образом, у нас есть условие $F(3) = 0$.

Подставим $x = 3$ в выражение для $F(x)$ и используем это условие для нахождения константы $C$: $F(3) = \frac{3^3}{3} - 12 \cdot 3 + C = 0$

Вычислим значение выражения: $\frac{27}{3} - 36 + C = 0$
$9 - 36 + C = 0$
$-27 + C = 0$

Отсюда находим $C$: $C = 27$

Подставив найденное значение $C$ в общий вид первообразной, получаем искомую функцию $F(x)$: $F(x) = \frac{x^3}{3} - 12x + 27$

Ответ: $F(x) = \frac{x^3}{3} - 12x + 27$

10.9. Функции $F_1$ и $F_2$ являются первообразными функции $f$. График функции $F_1$ проходит через точку $A$, а функции $F_2$ – через точку $B$. График какой из функций, $F_1$ или $F_2$, расположен выше, если:

1) $f(x) = 5x^4 - 3x^2 - 2$, $A(1; 2)$, $B(0; 5)$;

2) $f(x) = (2x - 1)^2$, $A(2; 6)$, $B(-1; 1)$?

1)

По определению, если функции $F_1(x)$ и $F_2(x)$ являются первообразными для одной и той же функции $f(x)$, то они отличаются на некоторую постоянную величину (константу). То есть, $F_2(x) = F_1(x) + C$ для любого $x$. Это означает, что график одной функции получается из графика другой параллельным переносом вдоль оси ординат. Чтобы определить, какой график расположен выше, нам нужно найти эту константу, сравнив функции $F_1(x)$ и $F_2(x)$.

Сначала найдем общий вид первообразной для функции $f(x) = 5x^4 - 3x^2 - 2$.

$F(x) = \int (5x^4 - 3x^2 - 2) dx = 5 \cdot \frac{x^{4+1}}{4+1} - 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} - 2x + C = x^5 - x^3 - 2x + C$.

Пусть первообразная $F_1(x)$ имеет вид $F_1(x) = x^5 - x^3 - 2x + C_1$, а первообразная $F_2(x)$ имеет вид $F_2(x) = x^5 - x^3 - 2x + C_2$.

График функции $F_1(x)$ проходит через точку $A(1; 2)$, это значит, что $F_1(1) = 2$. Подставим значения в уравнение для $F_1(x)$:

$F_1(1) = 1^5 - 1^3 - 2(1) + C_1 = 2$

$1 - 1 - 2 + C_1 = 2$

$-2 + C_1 = 2$

$C_1 = 4$

Таким образом, $F_1(x) = x^5 - x^3 - 2x + 4$.

График функции $F_2(x)$ проходит через точку $B(0; 5)$, это значит, что $F_2(0) = 5$. Подставим значения в уравнение для $F_2(x)$:

$F_2(0) = 0^5 - 0^3 - 2(0) + C_2 = 5$

$C_2 = 5$

Таким образом, $F_2(x) = x^5 - x^3 - 2x + 5$.

Теперь сравним функции $F_1(x)$ и $F_2(x)$:

$F_1(x) = x^5 - x^3 - 2x + 4$

$F_2(x) = x^5 - x^3 - 2x + 5$

Разность функций $F_2(x) - F_1(x) = (x^5 - x^3 - 2x + 5) - (x^5 - x^3 - 2x + 4) = 5 - 4 = 1$.

Так как $F_2(x) = F_1(x) + 1$, то для любого значения $x$ значение функции $F_2$ на 1 больше значения функции $F_1$. Следовательно, график функции $F_2$ расположен выше графика функции $F_1$.

Ответ: график функции $F_2$ расположен выше.

2)

Аналогично первому пункту, найдем общий вид первообразной для функции $f(x) = (2x - 1)^2$. Для удобства интегрирования раскроем скобки:

$f(x) = (2x - 1)^2 = 4x^2 - 4x + 1$.

Теперь найдем первообразную:

$F(x) = \int (4x^2 - 4x + 1) dx = 4 \cdot \frac{x^3}{3} - 4 \cdot \frac{x^2}{2} + x + C = \frac{4}{3}x^3 - 2x^2 + x + C$.

Первообразные $F_1(x)$ и $F_2(x)$ будут иметь вид:

$F_1(x) = \frac{4}{3}x^3 - 2x^2 + x + C_1$

$F_2(x) = \frac{4}{3}x^3 - 2x^2 + x + C_2$

График функции $F_1(x)$ проходит через точку $A(2; 6)$, значит $F_1(2) = 6$.

$F_1(2) = \frac{4}{3}(2)^3 - 2(2)^2 + 2 + C_1 = 6$

$\frac{4}{3} \cdot 8 - 2 \cdot 4 + 2 + C_1 = 6$

$\frac{32}{3} - 8 + 2 + C_1 = 6$

$\frac{32}{3} - 6 + C_1 = 6$

$C_1 = 12 - \frac{32}{3} = \frac{36 - 32}{3} = \frac{4}{3}$

Итак, $F_1(x) = \frac{4}{3}x^3 - 2x^2 + x + \frac{4}{3}$.

График функции $F_2(x)$ проходит через точку $B(-1; 1)$, значит $F_2(-1) = 1$.

$F_2(-1) = \frac{4}{3}(-1)^3 - 2(-1)^2 + (-1) + C_2 = 1$

$-\frac{4}{3} - 2 - 1 + C_2 = 1$

$-\frac{4}{3} - 3 + C_2 = 1$

$C_2 = 1 + 3 + \frac{4}{3} = 4 + \frac{4}{3} = \frac{12+4}{3} = \frac{16}{3}$

Итак, $F_2(x) = \frac{4}{3}x^3 - 2x^2 + x + \frac{16}{3}$.

Сравним константы $C_1 = \frac{4}{3}$ и $C_2 = \frac{16}{3}$.

Так как $\frac{16}{3} > \frac{4}{3}$, то $C_2 > C_1$. Разность $C_2 - C_1 = \frac{16}{3} - \frac{4}{3} = \frac{12}{3} = 4$.

Это означает, что $F_2(x) = F_1(x) + 4$. Для любого $x$ значение функции $F_2$ на 4 больше, чем значение функции $F_1$. Следовательно, график функции $F_2$ расположен выше графика функции $F_1$.

Ответ: график функции $F_2$ расположен выше.

10.10. Функции $F_1$ и $F_2$ являются первообразными функции $f(x) = \frac{1}{\sqrt{5x-1}}$ на промежутке $(\frac{1}{5}; +\infty)$. График функции $F_1$ проходит через точку $M(1; 9)$, а функции $F_2$ – через точку $N(10; 8)$. График какой из функций, $F_1$ или $F_2$, расположен выше?

Поскольку функции $F_1(x)$ и $F_2(x)$ являются первообразными одной и той же функции $f(x)$ на заданном промежутке, они отличаются друг от друга на некоторую постоянную величину (константу). Это означает, что разность $F_1(x) - F_2(x)$ является постоянным числом для любого $x$ из области определения. График той функции, у которой эта аддитивная константа больше, будет расположен выше.

Общий вид первообразной для функции $f(x) = \frac{1}{\sqrt{5x - 1}}$ можно найти с помощью интегрирования.

$F(x) = \int f(x) \,dx = \int \frac{1}{\sqrt{5x - 1}} \,dx = \int (5x - 1)^{-1/2} \,dx$

Для вычисления интеграла воспользуемся методом подстановки. Пусть $t = 5x - 1$, тогда $dt = 5 \,dx$, откуда $dx = \frac{1}{5} \,dt$.

$\int (5x - 1)^{-1/2} \,dx = \int t^{-1/2} \cdot \frac{1}{5} \,dt = \frac{1}{5} \int t^{-1/2} \,dt = \frac{1}{5} \cdot \frac{t^{1/2}}{1/2} + C = \frac{2}{5} \sqrt{t} + C$

Выполнив обратную замену $t = 5x - 1$, получаем общий вид первообразной:

$F(x) = \frac{2}{5}\sqrt{5x - 1} + C$

Таким образом, $F_1(x) = \frac{2}{5}\sqrt{5x - 1} + C_1$ и $F_2(x) = \frac{2}{5}\sqrt{5x - 1} + C_2$.

Найдем значения констант $C_1$ и $C_2$, используя условия, что график $F_1(x)$ проходит через точку $M(1; 9)$, а график $F_2(x)$ - через точку $N(10; 8)$.

Для $F_1(x)$:

$F_1(1) = 9$

$9 = \frac{2}{5}\sqrt{5(1) - 1} + C_1$

$9 = \frac{2}{5}\sqrt{4} + C_1$

$9 = \frac{2}{5} \cdot 2 + C_1$

$9 = \frac{4}{5} + C_1$

$C_1 = 9 - \frac{4}{5} = \frac{45}{5} - \frac{4}{5} = \frac{41}{5}$

Для $F_2(x)$:

$F_2(10) = 8$

$8 = \frac{2}{5}\sqrt{5(10) - 1} + C_2$

$8 = \frac{2}{5}\sqrt{49} + C_2$

$8 = \frac{2}{5} \cdot 7 + C_2$

$8 = \frac{14}{5} + C_2$

$C_2 = 8 - \frac{14}{5} = \frac{40}{5} - \frac{14}{5} = \frac{26}{5}$

Теперь сравним найденные константы:

$C_1 = \frac{41}{5} = 8.2$

$C_2 = \frac{26}{5} = 5.2$

Поскольку $C_1 > C_2$, то для любого $x$ из промежутка $(\frac{1}{5}; +\infty)$ значение функции $F_1(x)$ будет больше значения функции $F_2(x)$. Следовательно, график функции $F_1(x)$ расположен выше графика функции $F_2(x)$.

Ответ: График функции $F_1$ расположен выше.

10.11. Скорость материальной точки, которая движется по координатной прямой, изменяется по закону $v(t) = t^2 + 2t - 3$. Запишите формулу зависимости её координаты от времени, если в начальный момент времени $t = 0$ с точка находилась в начале координат (скорость движения измеряется в метрах в секунду).

Координата материальной точки $x(t)$ является первообразной для ее скорости $v(t)$. Это означает, что для нахождения закона движения $x(t)$, необходимо проинтегрировать функцию скорости $v(t)$ по времени $t$.

По условию задачи, скорость изменяется по закону:

$v(t) = t^2 + 2t - 3$

Найдем общую формулу для координаты $x(t)$, вычислив неопределенный интеграл от функции скорости:

$x(t) = \int v(t) \,dt = \int (t^2 + 2t - 3) \,dt$

Используя правила интегрирования степенной функции, получаем:

$x(t) = \frac{t^{2+1}}{2+1} + 2 \cdot \frac{t^{1+1}}{1+1} - 3t + C = \frac{t^3}{3} + \frac{2t^2}{2} - 3t + C = \frac{t^3}{3} + t^2 - 3t + C$

Здесь $C$ — это константа интегрирования, значение которой можно определить из начальных условий. В задаче сказано, что в начальный момент времени $t=0$ точка находилась в начале координат, то есть $x(0) = 0$.

Подставим $t=0$ и $x(0)=0$ в полученное уравнение:

$0 = \frac{0^3}{3} + 0^2 - 3 \cdot 0 + C$

$0 = 0 + 0 - 0 + C$

Отсюда следует, что $C = 0$.

Таким образом, подставив значение $C=0$ в общее выражение для $x(t)$, получаем искомую формулу зависимости координаты от времени.

Ответ: $x(t) = \frac{t^3}{3} + t^2 - 3t$.

10.12. Тело движется по координатной прямой со скоростью, которая определяется в любой момент времени $t$ по формуле $v(t) = 6t^2 + 1$. Найдите формулу, которая выражает зависимость координаты точки от времени, если в момент времени $t = 3$ с тело находилось на расстоянии 10 м от начала координат (скорость движения измеряется в метрах в секунду).

Чтобы найти формулу, выражающую зависимость координаты точки от времени, $s(t)$, необходимо найти первообразную для функции скорости $v(t)$, так как скорость является производной от координаты по времени ($v(t) = s'(t)$).

1. Нахождение общего вида функции координаты.
Интегрируем данную функцию скорости $v(t) = 6t^2 + 1$:
$s(t) = \int v(t) dt = \int (6t^2 + 1) dt$
Используя табличные интегралы, получаем:
$s(t) = 6 \cdot \frac{t^{3}}{3} + t + C = 2t^3 + t + C$
Здесь $C$ — это константа интегрирования.

2. Определение константы интегрирования $C$.
По условию задачи, в момент времени $t = 3$ с, тело находилось на расстоянии 10 м от начала координат, что означает $s(3) = 10$. Подставим эти значения в полученную формулу для $s(t)$:
$10 = 2 \cdot (3)^3 + 3 + C$
Выполняем вычисления:
$10 = 2 \cdot 27 + 3 + C$
$10 = 54 + 3 + C$
$10 = 57 + C$
Из этого уравнения находим значение константы $C$:
$C = 10 - 57 = -47$

3. Запись итоговой формулы для координаты.
Теперь, когда мы нашли значение $C$, подставим его в общий вид функции координаты:
$s(t) = 2t^3 + t - 47$
Это и есть искомая формула.

Ответ: $s(t) = 2t^3 + t - 47$.

10.13. Задайте формулой функцию, определённую на промежутке $ (-\infty; +\infty) $, график которой проходит через точку $ A(-1; 6) $, а угловой коэффициент касательной, проведённой к этому графику в точке с абсциссой $ x $, равен $ 6x^2 - 5x^4 $.

Пусть искомая функция — $f(x)$. Угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции в точке с абсциссой $x$, равен значению производной функции в этой точке, $f'(x)$.

Из условия задачи известно, что угловой коэффициент касательной равен $6x^2 - 5x^4$. Следовательно, производная искомой функции имеет вид:

$f'(x) = 6x^2 - 5x^4$

Чтобы найти саму функцию $f(x)$, необходимо найти её первообразную, то есть вычислить неопределённый интеграл от её производной:

$f(x) = \int f'(x) dx = \int (6x^2 - 5x^4) dx$

Используя правила интегрирования, находим первообразную:

$f(x) = \int 6x^2 dx - \int 5x^4 dx = 6 \cdot \frac{x^3}{3} - 5 \cdot \frac{x^5}{5} + C = 2x^3 - x^5 + C$

Здесь $C$ — это константа интегрирования. Мы получили общее выражение для всех функций, производная которых равна $6x^2 - 5x^4$.

Чтобы найти конкретную функцию, воспользуемся вторым условием: её график проходит через точку $A(-1; 6)$. Это значит, что при $x = -1$, значение функции $f(-1)$ равно $6$. Подставим эти значения в найденное уравнение функции, чтобы определить константу $C$:

$f(-1) = 2(-1)^3 - (-1)^5 + C = 6$

Выполним вычисления:

$2(-1) - (-1) + C = 6$

$-2 + 1 + C = 6$

$-1 + C = 6$

$C = 6 + 1$

$C = 7$

Теперь, подставив найденное значение $C=7$ в общее выражение для функции, получаем искомую формулу:

$f(x) = 2x^3 - x^5 + 7$

Ответ: $f(x) = 2x^3 - x^5 + 7$

10.14. Задайте формулой функцию, определённую на промежутке $(0; +\infty)$, график которой проходит через точку $B (4; -5)$, а угловой коэффициент касательной, проведённой к этому графику в точке с абсциссой $x$, равен $\frac{3}{\sqrt{x}} + 1$.

Пусть искомая функция $f(x)$. По условию, угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой $x$ равен $\frac{3}{\sqrt{x}} + 1$. Геометрический смысл производной заключается в том, что значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Таким образом, мы имеем выражение для производной искомой функции:

$f'(x) = \frac{3}{\sqrt{x}} + 1$

Чтобы найти саму функцию $f(x)$, необходимо найти первообразную для её производной $f'(x)$. Это делается с помощью интегрирования:

$f(x) = \int f'(x)dx = \int \left(\frac{3}{\sqrt{x}} + 1\right)dx$

Для вычисления интеграла представим $\frac{1}{\sqrt{x}}$ как $x^{-1/2}$ и применим правило интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$:

$f(x) = \int (3x^{-1/2} + 1)dx = 3 \int x^{-1/2}dx + \int 1dx = 3 \cdot \frac{x^{-1/2 + 1}}{-1/2 + 1} + x + C = 3 \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} + x + C = 3 \cdot 2x^{1/2} + x + C = 6\sqrt{x} + x + C$

Таким образом, мы получили общее выражение для искомой функции: $f(x) = 6\sqrt{x} + x + C$, где $C$ — некоторая константа.

Чтобы найти значение константы $C$, воспользуемся вторым условием: график функции проходит через точку $B(4; -5)$. Это означает, что при $x=4$ значение функции $f(4)$ равно $-5$. Подставим эти значения в найденную формулу:

$-5 = 6\sqrt{4} + 4 + C$

Решим полученное уравнение относительно $C$:

$-5 = 6 \cdot 2 + 4 + C$
$-5 = 12 + 4 + C$
$-5 = 16 + C$
$C = -5 - 16$
$C = -21$

Теперь подставим найденное значение $C$ в общее выражение для функции. Искомая формула имеет вид:

$f(x) = 6\sqrt{x} + x - 21$

Ответ: $f(x) = 6\sqrt{x} + x - 21$.

10.15. Найдите:

1) $\int \sin^2 x dx;$

2) $\int \sin 5x \cos 3x dx;$

3) $\int \sin \frac{7x}{3} \sin \frac{5x}{3} dx.$

1) Для нахождения интеграла $\int \sin^2 x \, dx$ воспользуемся формулой понижения степени, которая следует из формулы косинуса двойного угла $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x$.

Из этой формулы выразим $\sin^2 x$:

$\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$

Теперь подставим это выражение в исходный интеграл:

$\int \sin^2 x \, dx = \int \frac{1 - \cos(2x)}{2} \, dx = \frac{1}{2} \int (1 - \cos(2x)) \, dx$

Разобьем интеграл на два:

$\frac{1}{2} \left( \int 1 \, dx - \int \cos(2x) \, dx \right)$

Найдем каждый интеграл по отдельности:

$\int 1 \, dx = x$

$\int \cos(2x) \, dx = \frac{1}{2}\sin(2x)$

Собираем все вместе и не забываем про константу интегрирования C:

$\frac{1}{2} \left( x - \frac{1}{2}\sin(2x) \right) + C = \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\sin(2x) + C$

Ответ: $\frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\sin(2x) + C$

2) Для нахождения интеграла $\int \sin 5x \cos 3x \, dx$ используем тригонометрическую формулу преобразования произведения в сумму:

$\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta))$

В нашем случае $\alpha = 5x$ и $\beta = 3x$. Применим формулу:

$\sin 5x \cos 3x = \frac{1}{2}(\sin(5x + 3x) + \sin(5x - 3x)) = \frac{1}{2}(\sin 8x + \sin 2x)$

Подставим полученное выражение в интеграл:

$\int \frac{1}{2}(\sin 8x + \sin 2x) \, dx = \frac{1}{2} \int (\sin 8x + \sin 2x) \, dx$

Интегрируем почленно:

$\frac{1}{2} \left( \int \sin 8x \, dx + \int \sin 2x \, dx \right) = \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{8}\cos 8x - \frac{1}{2}\cos 2x \right) + C$

Упрощаем выражение:

$-\frac{1}{16}\cos 8x - \frac{1}{4}\cos 2x + C$

Ответ: $-\frac{1}{16}\cos 8x - \frac{1}{4}\cos 2x + C$

3) Для нахождения интеграла $\int \sin \frac{7x}{3} \sin \frac{5x}{3} \, dx$ используем тригонометрическую формулу преобразования произведения синусов в разность косинусов:

$\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta))$

В нашем случае $\alpha = \frac{7x}{3}$ и $\beta = \frac{5x}{3}$. Применим формулу:

$\sin \frac{7x}{3} \sin \frac{5x}{3} = \frac{1}{2}\left(\cos\left(\frac{7x}{3} - \frac{5x}{3}\right) - \cos\left(\frac{7x}{3} + \frac{5x}{3}\right)\right)$

$\sin \frac{7x}{3} \sin \frac{5x}{3} = \frac{1}{2}\left(\cos\left(\frac{2x}{3}\right) - \cos\left(\frac{12x}{3}\right)\right) = \frac{1}{2}\left(\cos\frac{2x}{3} - \cos 4x\right)$

Подставим полученное выражение в интеграл:

$\int \frac{1}{2}\left(\cos\frac{2x}{3} - \cos 4x\right) \, dx = \frac{1}{2} \int \left(\cos\frac{2x}{3} - \cos 4x\right) \, dx$

Интегрируем почленно:

$\frac{1}{2} \left( \int \cos\frac{2x}{3} \, dx - \int \cos 4x \, dx \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2/3}\sin\frac{2x}{3} - \frac{1}{4}\sin 4x \right) + C$

$\frac{1}{2} \left( \frac{3}{2}\sin\frac{2x}{3} - \frac{1}{4}\sin 4x \right) + C = \frac{3}{4}\sin\frac{2x}{3} - \frac{1}{8}\sin 4x + C$

Ответ: $\frac{3}{4}\sin\frac{2x}{3} - \frac{1}{8}\sin 4x + C$