Страница 90 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

10.16. Найдите:

1) $\int \cos^2 2x dx;$

2) $\int \cos x \cos 8x dx.$

1) Для нахождения интеграла $\int \cos^2 2x \, dx$ воспользуемся формулой понижения степени для косинуса: $\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$.

В нашем случае $\alpha = 2x$, поэтому $2\alpha = 4x$. Подставляем это в формулу:

$\cos^2 2x = \frac{1 + \cos(4x)}{2}$

Теперь интегрируем полученное выражение:

$\int \cos^2 2x \, dx = \int \frac{1 + \cos(4x)}{2} \, dx = \frac{1}{2} \int (1 + \cos(4x)) \, dx$

Разбиваем интеграл на сумму двух интегралов:

$\frac{1}{2} \left( \int 1 \, dx + \int \cos(4x) \, dx \right)$

Вычисляем каждый интеграл по отдельности, используя табличные интегралы:

$\int 1 \, dx = x$

$\int \cos(4x) \, dx = \frac{1}{4} \sin(4x)$

Собираем все вместе, не забывая про константу интегрирования $C$:

$\frac{1}{2} \left( x + \frac{1}{4} \sin(4x) \right) + C = \frac{x}{2} + \frac{\sin(4x)}{8} + C$

Ответ: $\frac{x}{2} + \frac{\sin(4x)}{8} + C$.

2) Для нахождения интеграла $\int \cos x \cos 8x \, dx$ используем тригонометрическую формулу преобразования произведения косинусов в сумму: $\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta))$.

В нашем случае пусть $\alpha = 8x$ и $\beta = x$ (для удобства, чтобы разность была положительной). Тогда:

$\alpha - \beta = 8x - x = 7x$

$\alpha + \beta = 8x + x = 9x$

Подставляем в формулу:

$\cos x \cos 8x = \frac{1}{2}(\cos(7x) + \cos(9x))$

Теперь интегрируем полученное выражение:

$\int \cos x \cos 8x \, dx = \int \frac{1}{2}(\cos(7x) + \cos(9x)) \, dx = \frac{1}{2} \int (\cos(7x) + \cos(9x)) \, dx$

Разбиваем интеграл на сумму двух интегралов:

$\frac{1}{2} \left( \int \cos(7x) \, dx + \int \cos(9x) \, dx \right)$

Вычисляем каждый интеграл, используя табличный интеграл $\int \cos(kx) \, dx = \frac{1}{k}\sin(kx)$:

$\int \cos(7x) \, dx = \frac{1}{7} \sin(7x)$

$\int \cos(9x) \, dx = \frac{1}{9} \sin(9x)$

Собираем все вместе и добавляем константу интегрирования $C$:

$\frac{1}{2} \left( \frac{1}{7} \sin(7x) + \frac{1}{9} \sin(9x) \right) + C = \frac{\sin(7x)}{14} + \frac{\sin(9x)}{18} + C$

Ответ: $\frac{\sin(7x)}{14} + \frac{\sin(9x)}{18} + C$.

10.17. Для функции $f (x) = 2x^2 + 3x$ найдите такую первообразную, чтобы прямая $y = 5x - 2$ являлась касательной к её графику.

Пусть $F(x)$ — искомая первообразная для функции $f(x) = 2x^2 + 3x$. Общий вид первообразной для $f(x)$ находится путем интегрирования:

$F(x) = \int (2x^2 + 3x) \,dx = 2 \frac{x^3}{3} + 3 \frac{x^2}{2} + C = \frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + C$, где $C$ — некоторая константа, которую нам предстоит найти.

Прямая $y = 5x - 2$ является касательной к графику функции $F(x)$ в некоторой точке с абсциссой $x_0$. Условие касания означает, что в этой точке должны одновременно выполняться два условия:

1. Угловой коэффициент касательной равен значению производной функции в точке касания: $F'(x_0) = k$.

2. Значения функции и касательной в этой точке совпадают: $F(x_0) = y(x_0)$.

Угловой коэффициент касательной $y = 5x - 2$ равен $k=5$. Производная первообразной по определению равна исходной функции: $F'(x) = f(x) = 2x^2 + 3x$.

Приравняем производную к угловому коэффициенту, чтобы найти абсциссу точки касания $x_0$:

$F'(x_0) = 5$

$2x_0^2 + 3x_0 = 5$

Решим полученное квадратное уравнение:

$2x_0^2 + 3x_0 - 5 = 0$

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49$.

Корни уравнения: $x_{0,1} = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - 7}{4} = -\frac{10}{4} = -\frac{5}{2}$ и $x_{0,2} = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 7}{4} = \frac{4}{4} = 1$.

Мы получили две возможные абсциссы точки касания. Для каждой из них найдем соответствующее значение константы $C$.

Случай 1: абсцисса точки касания $x_0 = 1$

Найдем ординату точки касания, подставив $x_0 = 1$ в уравнение касательной:

$y_0 = 5(1) - 2 = 3$.

Точка касания — $(1, 3)$. Эта точка принадлежит графику первообразной, поэтому $F(1) = 3$. Подставим эти значения в общую формулу для $F(x)$:

$\frac{2}{3}(1)^3 + \frac{3}{2}(1)^2 + C = 3$

$\frac{2}{3} + \frac{3}{2} + C = 3$

$\frac{4}{6} + \frac{9}{6} + C = 3$

$\frac{13}{6} + C = 3$

$C = 3 - \frac{13}{6} = \frac{18}{6} - \frac{13}{6} = \frac{5}{6}$

Таким образом, первая возможная первообразная: $F(x) = \frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + \frac{5}{6}$.

Случай 2: абсцисса точки касания $x_0 = -\frac{5}{2}$

Найдем ординату точки касания:

$y_0 = 5(-\frac{5}{2}) - 2 = -\frac{25}{2} - \frac{4}{2} = -\frac{29}{2}$.

Точка касания — $(-\frac{5}{2}, -\frac{29}{2})$. Эта точка принадлежит графику первообразной, поэтому $F(-\frac{5}{2}) = -\frac{29}{2}$.

$\frac{2}{3}(-\frac{5}{2})^3 + \frac{3}{2}(-\frac{5}{2})^2 + C = -\frac{29}{2}$

$\frac{2}{3}(-\frac{125}{8}) + \frac{3}{2}(\frac{25}{4}) + C = -\frac{29}{2}$

$-\frac{125}{12} + \frac{75}{8} + C = -\frac{29}{2}$

Приведем дроби к общему знаменателю 24:

$-\frac{250}{24} + \frac{225}{24} + C = -\frac{348}{24}$

$-\frac{25}{24} + C = -\frac{348}{24}$

$C = -\frac{348}{24} + \frac{25}{24} = -\frac{323}{24}$

Таким образом, вторая возможная первообразная: $F(x) = \frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 - \frac{323}{24}$.

Ответ: $F(x) = \frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + \frac{5}{6}$ или $F(x) = \frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 - \frac{323}{24}$.

10.18. Для функции $f(x) = x^2 - 4$ найдите такую первообразную, чтобы прямая $y = -3$ являлась касательной к её графику.

Пусть $F(x)$ — искомая первообразная для функции $f(x) = x^2 - 4$.

1. Найдём общий вид первообразной для функции $f(x)$. Первообразная находится путём интегрирования функции: $F(x) = \int f(x) dx = \int (x^2 - 4) dx = \frac{x^3}{3} - 4x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

2. Условие задачи гласит, что прямая $y = -3$ является касательной к графику функции $F(x)$. Это означает, что в точке касания $(x_0, y_0)$ должны выполняться два условия:

а) Значение функции в точке касания равно значению на касательной: $F(x_0) = y_0 = -3$.

б) Производная функции в точке касания равна угловому коэффициенту касательной. Угловой коэффициент горизонтальной прямой $y = -3$ равен нулю. Следовательно, $F'(x_0) = 0$.

3. Используем второе условие (б). По определению первообразной, $F'(x) = f(x)$. Значит, нам нужно найти $x_0$, для которого $f(x_0) = 0$. $f(x_0) = x_0^2 - 4 = 0$ $x_0^2 = 4$ Отсюда получаем два возможных значения для абсциссы точки касания: $x_0 = 2$ и $x_0 = -2$.

4. Теперь для каждого найденного значения $x_0$ найдём соответствующую постоянную $C$, используя первое условие (а), $F(x_0) = -3$.

Случай 1: $x_0 = 2$

Подставляем $x_0 = 2$ в выражение для $F(x)$ и приравниваем к -3: $F(2) = \frac{2^3}{3} - 4(2) + C = -3$ $\frac{8}{3} - 8 + C = -3$ $\frac{8 - 24}{3} + C = -3$ $-\frac{16}{3} + C = -3$ $C = -3 + \frac{16}{3} = -\frac{9}{3} + \frac{16}{3} = \frac{7}{3}$

Таким образом, одна из искомых первообразных: $F(x) = \frac{x^3}{3} - 4x + \frac{7}{3}$.

Случай 2: $x_0 = -2$

Подставляем $x_0 = -2$ в выражение для $F(x)$ и приравниваем к -3: $F(-2) = \frac{(-2)^3}{3} - 4(-2) + C = -3$ $-\frac{8}{3} + 8 + C = -3$ $\frac{-8 + 24}{3} + C = -3$ $\frac{16}{3} + C = -3$ $C = -3 - \frac{16}{3} = -\frac{9}{3} - \frac{16}{3} = -\frac{25}{3}$

Таким образом, вторая возможная первообразная: $F(x) = \frac{x^3}{3} - 4x - \frac{25}{3}$.

Обе найденные функции удовлетворяют условию задачи.

Ответ: $F(x) = \frac{x^3}{3} - 4x + \frac{7}{3}$ или $F(x) = \frac{x^3}{3} - 4x - \frac{25}{3}$.

10.19. Для функции $f(x) = -2x + 5$ найдите такую первообразную, чтобы её график имел только одну общую точку с прямой $y=2$.

Первым шагом найдем общий вид первообразной для заданной функции $f(x) = -2x + 5$. Первообразная $F(x)$ находится путем интегрирования функции $f(x)$.

$F(x) = \int (-2x + 5) \,dx = -2 \int x \,dx + 5 \int \,dx$

Используя таблицу первообразных, получаем:

$F(x) = -2 \cdot \frac{x^2}{2} + 5x + C = -x^2 + 5x + C$

Здесь $C$ — произвольная постоянная. График любой из этих первообразных, $y = F(x)$, является параболой с ветвями, направленными вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен.

Согласно условию задачи, график первообразной должен иметь только одну общую точку с прямой $y=2$. Это означает, что парабола $y = -x^2 + 5x + C$ должна касаться прямой $y=2$.

Парабола с ветвями вниз касается горизонтальной прямой в своей вершине. Следовательно, ордината (координата $y$) вершины параболы должна быть равна 2.

Найдем координаты вершины параболы $y = ax^2 + bx + c$. Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$.

В нашем случае $a = -1$ и $b = 5$.

$x_0 = -\frac{5}{2(-1)} = \frac{5}{2} = 2.5$

Ордината вершины $y_0$ находится подстановкой $x_0$ в уравнение параболы:

$y_0 = F(x_0) = F(2.5) = -(2.5)^2 + 5(2.5) + C = -6.25 + 12.5 + C = 6.25 + C$

Так как ордината вершины должна быть равна 2, мы можем составить уравнение для нахождения $C$:

$y_0 = 2$

$6.25 + C = 2$

$C = 2 - 6.25 = -4.25$

Теперь, подставив найденное значение $C$ в общий вид первообразной, мы получаем искомую функцию:

$F(x) = -x^2 + 5x - 4.25$

Ответ: $F(x) = -x^2 + 5x - 4.25$

10.20. Для функции $f(x) = x + 1$ найдите такую первообразную, чтобы её график имел только одну общую точку с прямой $y = -4$.

Для нахождения искомой первообразной сначала определим общий вид всех первообразных для функции $f(x) = x + 1$. Первообразная $F(x)$ находится путем интегрирования функции $f(x)$:

$F(x) = \int (x + 1) dx = \frac{x^2}{2} + x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

График функции $F(x) = \frac{x^2}{2} + x + C$ представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($\frac{1}{2} > 0$).

Условие, что график первообразной имеет только одну общую точку с прямой $y = -4$, означает, что эта горизонтальная прямая касается параболы в её вершине. Следовательно, ордината (значение $y$) вершины параболы должна быть равна $-4$.

Найдём координаты вершины параболы. Абсцисса вершины $x_v$ для параболы вида $y = ax^2+bx+c$ находится по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$. В нашем случае $a = \frac{1}{2}$ и $b = 1$:

$x_v = -\frac{1}{2 \cdot (\frac{1}{2})} = -1$.

Теперь найдём ординату вершины $y_v$, подставив $x_v = -1$ в уравнение для $F(x)$:

$y_v = F(-1) = \frac{(-1)^2}{2} + (-1) + C = \frac{1}{2} - 1 + C = C - \frac{1}{2}$.

Так как $y_v$ должна быть равна $-4$, мы можем составить уравнение для нахождения $C$:

$C - \frac{1}{2} = -4$

$C = -4 + \frac{1}{2} = -\frac{8}{2} + \frac{1}{2} = -\frac{7}{2}$.

Таким образом, искомая первообразная, удовлетворяющая заданному условию, имеет вид:

$F(x) = \frac{x^2}{2} + x - \frac{7}{2}$.

Ответ: $F(x) = \frac{x^2}{2} + x - \frac{7}{2}$.

10.21. Ученик предлагает искать первообразную функции $y = \cos x^2$ так:

1) делает замену $x^2 = t$ и получает функцию $y = \cos t$;

2) далее ищет первообразную функции $y = \cos t$ и получает $y = \sin t$;

3) потом вместо $t$ подставляет значение $t = x^2$ и делает вывод, что каждая первообразная имеет вид $y = \sin x^2 + C$, где $C$ — некоторое число.

В чём состоит ошибка этого ученика?

Ошибка ученика заключается в неверном применении метода замены переменной для нахождения первообразной (интегрирования). Ученик выполнил замену переменной в функции, но не учёл, как эта замена влияет на операцию интегрирования в целом, которая является обратной к дифференцированию по цепному правилу.

Чтобы доказать, что предложенное решение неверно, достаточно проверить его с помощью дифференцирования. По определению, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$, если её производная $F'(x)$ равна $f(x)$.

Исходная функция: $f(x) = \cos(x^2)$.
Предполагаемая первообразная: $F(x) = \sin(x^2) + C$.

Найдём производную от $F(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции (цепное правило):

$F'(x) = (\sin(x^2) + C)' = (\sin(x^2))' + (C)'$

Производная константы $(C)' = 0$. Производная $\sin(x^2)$ находится как производная внешней функции ($\sin$) по внутреннему аргументу ($x^2$), умноженная на производную внутреннего аргумента:

$F'(x) = \cos(x^2) \cdot (x^2)' = \cos(x^2) \cdot 2x = 2x \cos(x^2)$

Полученная производная $F'(x) = 2x \cos(x^2)$ не равна исходной функции $f(x) = \cos(x^2)$. Следовательно, вывод ученика ошибочен.

В чём состоит ошибка этого ученика?

Основная ошибка заключается в том, что метод нахождения первообразной (интегрирования) с помощью замены переменной требует не только замены переменной в самой функции, но и соответствующего преобразования дифференциала. Этот метод является обратной операцией к цепному правилу дифференцирования.

Правильная процедура интегрирования заменой для $\int \cos(x^2) dx$ выглядела бы так:

1. Замена: $t = x^2$.

2. Нахождение нового дифференциала: $dt = (x^2)' dx \implies dt = 2x \, dx$.

Метод работает, если в подынтегральном выражении присутствует множитель $2x$. В нашем случае его нет. Алгоритм, использованный учеником, был бы правильным для нахождения первообразной функции $y = 2x \cos(x^2)$, но не для $y = \cos(x^2)$. Ученик проигнорировал множитель, появляющийся из производной внутренней функции, и поэтому его метод является фундаментально неверным.

Ответ: Ошибка ученика в том, что он применил некорректный метод, который не является методом интегрирования заменой. Он подменил часть функции, нашёл первообразную от упрощенной функции и выполнил обратную подстановку, но проигнорировал обязательное для этого метода преобразование дифференциала ($dx$). Это привело к неверному результату, поскольку производная от полученной им функции $(\sin(x^2)+C)$ равна $2x \cos(x^2)$, а не исходной функции $\cos(x^2)$.

$\frac{a+b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} : \left(\frac{a+b}{a-b} - \frac{b}{b-\sqrt{ab}} + \frac{a}{\sqrt{ab}+a}\right) - \frac{\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}}}{2}.$

Для упрощения данного выражения сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменных $a$ и $b$.

Выражение содержит квадратные корни $\sqrt{a}$ и $\sqrt{b}$, поэтому должно выполняться $a \ge 0$ и $b \ge 0$.
Также знаменатели дробей не должны быть равны нулю:

1. $\sqrt{a} + \sqrt{b} \ne 0$, что выполняется для всех неотрицательных $a$ и $b$, кроме случая $a=b=0$.

2. $a-b \ne 0$, следовательно, $a \ne b$.

3. $b-\sqrt{ab} = \sqrt{b}(\sqrt{b}-\sqrt{a}) \ne 0$. Отсюда следует, что $b \ne 0$ и $\sqrt{b} \ne \sqrt{a}$, то есть $b \ne a$.

4. $\sqrt{ab}+a = \sqrt{a}(\sqrt{b}+\sqrt{a}) \ne 0$. Отсюда следует, что $a \ne 0$.

Объединяя все условия, получаем, что выражение определено при $a > 0$, $b > 0$ и $a \ne b$.

Упростим выражение по действиям.

1. Упрощение выражения в скобках

Рассмотрим выражение в скобках: $\left( \frac{a+b}{a-b} - \frac{b}{b-\sqrt{ab}} + \frac{a}{\sqrt{ab}+a} \right)$.

Преобразуем вторую и третью дроби, вынеся общие множители в знаменателях:

$\frac{b}{b-\sqrt{ab}} = \frac{(\sqrt{b})^2}{\sqrt{b}(\sqrt{b}-\sqrt{a})} = \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}-\sqrt{a}}$

$\frac{a}{\sqrt{ab}+a} = \frac{(\sqrt{a})^2}{\sqrt{a}(\sqrt{b}+\sqrt{a})} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$

Подставим эти выражения обратно в скобки и изменим знак у второй дроби:

$\frac{a+b}{a-b} - \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}-\sqrt{a}} + \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \frac{a+b}{a-b} + \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} + \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$

Сложим последние две дроби, приведя их к общему знаменателю $(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b}) = a-b$:

$\frac{\sqrt{b}(\sqrt{a}+\sqrt{b}) + \sqrt{a}(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{a-b} = \frac{\sqrt{ab}+b+a-\sqrt{ab}}{a-b} = \frac{a+b}{a-b}$

Таким образом, всё выражение в скобках равно сумме первого слагаемого и результата сложения второго и третьего:

$\frac{a+b}{a-b} + \frac{a+b}{a-b} = \frac{2(a+b)}{a-b}$

2. Выполнение деления

Теперь выполним деление первого члена на результат, полученный в скобках:

$\frac{a+b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} : \frac{2(a+b)}{a-b} = \frac{a+b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} \cdot \frac{a-b}{2(a+b)}$

Сократим на $(a+b)$: $\frac{a-b}{2(\sqrt{a}+\sqrt{b})}$.

Применим формулу разности квадратов $a-b = (\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})$ в числителе:

$\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{2(\sqrt{a}+\sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{2}$

3. Упрощение вычитаемого

Рассмотрим последний член выражения: $\frac{\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}}}{2}$.

Выражение под корнем является формулой квадрата разности: $a+b-2\sqrt{ab} = (\sqrt{a})^2 - 2\sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 = (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2$.

Тогда, $\frac{\sqrt{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}}{2} = \frac{|\sqrt{a}-\sqrt{b}|}{2}$.

4. Окончательное упрощение

Теперь вычтем из результата второго действия результат третьего:

$\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{2} - \frac{|\sqrt{a}-\sqrt{b}|}{2}$

Значение этого выражения зависит от знака разности $\sqrt{a}-\sqrt{b}$. Учитывая ОДЗ ($a \ne b$), рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: $a > b$
В этом случае $\sqrt{a} > \sqrt{b}$, следовательно, $\sqrt{a}-\sqrt{b} > 0$. Тогда $|\sqrt{a}-\sqrt{b}| = \sqrt{a}-\sqrt{b}$.
Выражение становится равным:
$\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{2} - \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{2} = 0$.

Случай 2: $a < b$
В этом случае $\sqrt{a} < \sqrt{b}$, следовательно, $\sqrt{a}-\sqrt{b} < 0$. Тогда $|\sqrt{a}-\sqrt{b}| = -(\sqrt{a}-\sqrt{b}) = \sqrt{b}-\sqrt{a}$.
Выражение становится равным:
$\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{2} - \frac{\sqrt{b}-\sqrt{a}}{2} = \frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b}) - (\sqrt{b}-\sqrt{a})}{2} = \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}-\sqrt{b}+\sqrt{a}}{2} = \frac{2\sqrt{a}-2\sqrt{b}}{2} = \sqrt{a}-\sqrt{b}$.

Ответ: $0$ при $a>b$; $\sqrt{a}-\sqrt{b}$ при $a<b$.

10.23. Исследуйте на чётность функцию $y = \frac{x^3 - 2x^2}{x+3} - \frac{x^3 + 2x^2}{x-3}$.

Для исследования функции на чётность необходимо определить её область определения и проверить её на симметричность, а затем найти значение функции $y(-x)$ и сравнить его с $y(x)$.

Функция $y(x)$ является чётной, если $y(-x) = y(x)$, и нечётной, если $y(-x) = -y(x)$ для всех $x$ из области определения.

Исходная функция: $y(x) = \frac{x^3 - 2x^2}{x + 3} - \frac{x^3 + 2x^2}{x - 3}$.

1. Область определения функции

Функция определена, когда знаменатели дробей не равны нулю: $x + 3 \neq 0$ и $x - 3 \neq 0$. Следовательно, $x \neq -3$ и $x \neq 3$.

Область определения $D(y) = (-\infty; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; +\infty)$. Эта область является симметричной относительно начала координат, что является необходимым условием для чётности или нечётности функции.

2. Проверка на чётность

Для удобства анализа упростим исходное выражение, приведя дроби к общему знаменателю $(x+3)(x-3) = x^2 - 9$:

$y(x) = \frac{(x^3 - 2x^2)(x - 3) - (x^3 + 2x^2)(x + 3)}{x^2 - 9}$

Раскроем скобки в числителе:

$(x^3 - 2x^2)(x - 3) = x^4 - 3x^3 - 2x^3 + 6x^2 = x^4 - 5x^3 + 6x^2$

$(x^3 + 2x^2)(x + 3) = x^4 + 3x^3 + 2x^3 + 6x^2 = x^4 + 5x^3 + 6x^2$

Подставим результаты в числитель и выполним вычитание:

$(x^4 - 5x^3 + 6x^2) - (x^4 + 5x^3 + 6x^2) = x^4 - 5x^3 + 6x^2 - x^4 - 5x^3 - 6x^2 = -10x^3$

Таким образом, функция имеет упрощенный вид:

$y(x) = \frac{-10x^3}{x^2 - 9}$

Теперь найдем $y(-x)$, подставив $-x$ в упрощенное выражение:

$y(-x) = \frac{-10(-x)^3}{(-x)^2 - 9} = \frac{-10(-x^3)}{x^2 - 9} = \frac{10x^3}{x^2 - 9}$

Сравним полученное выражение с $-y(x)$:

$-y(x) = - \left(\frac{-10x^3}{x^2 - 9}\right) = \frac{10x^3}{x^2 - 9}$

Поскольку выполняется равенство $y(-x) = -y(x)$, функция является нечётной.

Ответ: функция нечётная.

10.24. Найдите область значений функции

$y = \sqrt{x^2 + 2x + 2}$

Чтобы найти область значений функции $y = \sqrt{x^2 + 2x + 2}$, нужно определить, какие значения может принимать подкоренное выражение $g(x) = x^2 + 2x + 2$, а затем найти значения квадратного корня из этих чисел.

Рассмотрим подкоренное выражение $g(x) = x^2 + 2x + 2$. Это квадратичная функция, её график — парабола с ветвями, направленными вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительное число). Это означает, что функция имеет наименьшее значение в своей вершине.

Для нахождения наименьшего значения функции $g(x)$ выделим полный квадрат:
$g(x) = x^2 + 2x + 2 = (x^2 + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2) - 1^2 + 2 = (x+1)^2 + 1$.

Выражение $(x+1)^2$ всегда больше или равно нулю для любого действительного числа $x$. То есть, $(x+1)^2 \ge 0$.
Следовательно, наименьшее значение выражения $(x+1)^2 + 1$ достигается, когда $(x+1)^2 = 0$, то есть при $x = -1$.
Наименьшее значение $g(x)$ равно $g_{min} = ( -1 + 1)^2 + 1 = 0^2 + 1 = 1$.

Таким образом, подкоренное выражение $x^2 + 2x + 2$ принимает значения в промежутке $[1, +\infty)$.

Теперь рассмотрим исходную функцию $y = \sqrt{x^2 + 2x + 2}$. Так как функция $f(t) = \sqrt{t}$ является возрастающей, её наименьшее значение будет соответствовать наименьшему значению её аргумента.
Наименьшее значение функции $y$ равно $y_{min} = \sqrt{1} = 1$.
Поскольку подкоренное выражение может принимать сколь угодно большие значения (стремится к $+\infty$), то и значение функции $y$ также может быть сколь угодно большим.

Таким образом, область значений функции $y$ — это все числа от 1, включая 1, до $+\infty$.

Ответ: $[1, +\infty)$.

Рис. 10.1

10.25. На рисунке 10.1 изображён график квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$. Определите знаки коэффициентов $a, b$ и $c$.

10.24.

Область значений функции $y = \sqrt{x^2 + 2x + 2}$ определяется множеством значений подкоренного выражения $g(x) = x^2 + 2x + 2$.

Выражение $g(x)$ является квадратичной функцией, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен $1 > 0$. Следовательно, эта функция имеет наименьшее значение в своей вершине.

Найдем абсциссу вершины параболы по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. Для $g(x) = x^2 + 2x + 2$ имеем $a=1$ и $b=2$.

$x_0 = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$.

Наименьшее значение подкоренного выражения равно значению функции $g(x)$ в точке $x_0 = -1$:

$g(-1) = (-1)^2 + 2(-1) + 2 = 1 - 2 + 2 = 1$.

Альтернативный способ — выделить полный квадрат: $x^2 + 2x + 2 = (x^2 + 2x + 1) + 1 = (x+1)^2 + 1$. Так как $(x+1)^2 \ge 0$ для любого $x$, то наименьшее значение выражения $(x+1)^2 + 1$ равно $0+1=1$.

Таким образом, область значений подкоренного выражения $g(x)$ есть промежуток $[1; +\infty)$.

Функция $y=\sqrt{t}$ является монотонно возрастающей на своей области определения. Следовательно, наименьшее значение функции $y$ будет достигаться при наименьшем значении подкоренного выражения. Наименьшее значение $y$ равно $\sqrt{1} = 1$. Поскольку $g(x)$ может принимать сколь угодно большие значения, то и $y$ может принимать сколь угодно большие значения.

Следовательно, область значений исходной функции — это промежуток $[1; +\infty)$.

Ответ: $[1; +\infty)$.

10.25.

Проанализируем график квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$, чтобы определить знаки коэффициентов $a, b$ и $c$.

1. Знак коэффициента a: Ветви параболы направлены вверх. Это означает, что старший коэффициент $a$ является положительным.

$a > 0$.

2. Знак коэффициента c: Коэффициент $c$ равен значению функции в точке $x=0$, то есть $c = y(0)$. Это ордината точки пересечения графика с осью $Oy$. Из рисунка видно, что парабола пересекает ось $Oy$ в точке с положительной ординатой (выше оси $Ox$).

$c > 0$.

3. Знак коэффициента b: Абсцисса вершины параболы вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. На графике вершина параболы находится в первой координатной четверти, что означает, что ее абсцисса $x_0$ положительна.

$x_0 > 0 \Rightarrow -\frac{b}{2a} > 0$.

Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства:

$\frac{b}{2a} < 0$.

Так как мы уже установили, что $a > 0$, то знаменатель $2a$ также положителен. Для того чтобы дробь была отрицательной, ее числитель $b$ должен быть отрицательным.

$b < 0$.

Ответ: $a > 0, b < 0, c > 0$.